（新高考）2021届高考二轮复习专题三 排列组合、二项式定理 教师版

排列组合多以实际生活为背景对其应用进行考查，在解答题中常与概率统计等知识综合命题，主要考查逻辑推理的核心素养．二项式定理主要考查运算求解能力，比如二项展开式某项的系数，注意转化与化归的思想．

1．排列、组合的定义

2．排列数、组合数的定义、公式、性质

正确理解组合数的性质

（1）：从个不同元素中取出个元素的方法数等于取出剩余个元素的方法数．

（2）：从个不同元素中取出个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素有种方法；②含特殊元素有种方法．

3．二项式定理

（1）二项式定理： ❶；

（2）通项公式：，它表示第项；

（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为❷．

4．二项式系数的性质

（1）①项数为．

②各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为．

③字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到．

（2）二项式系数与项的系数的区别

二项式系数是指，，…，，它只与各项的项数有关，而与，的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与，的值有关．如的二项展开式中，第项的二项式系数是，而该项的系数是．

当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．

一、选择题．

1．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（    ）

A．24 B．12 C．10 D．6

【答案】C

【解析】当个位数是0时，有个；当个位数是5时，有个，

所以能被5整除的个数是10，故选C．

【点评】本题主要考查了分类计数原理，以及排列的思想，属于基础题．

2．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为．

从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，

再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，

故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为，

所以所求的概率，故选B．

【点评】排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．

3．今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，

则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有种，

当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有种，

同理：当排名第四的6号排在最高的9号的右边时，也有10种，

所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，

所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为，故选A．

【点评】本题考查了排列中的定序问题，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．

4．已知某年级有4个班级，在一次数学学科考试中安排4个班级的班主任监考，则4个班主任都不监考本班的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，4个班级的班主任监考4个班级，共有种不同的监考方式，

其中有1人在本班监考的有种；

有2人在班监考的有种；

有4人在班监考的有1种，

在不符合条件的监考安排方法有种，

所以4个班主任都不监考，共有种，

则4个班主任都不监考的概率为，故选D．

【点评】本题主要考查了组合数公式的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中若直接法比较复杂或没有思路时，可采用间接法求解，着重考查推理与运算能力．

5．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．

某班按此四类由位同学组成四个宣传小组，

其中可回收物宣传小组有位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有位同学．

现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，基本事件总数，

每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为，

则每个宣传小组至少选派人的概率为，故选D．

【点评】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可．

6．从名男同学和名女同学中选人去参加一个会议，规定男女同学至少各有人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：

①；②；③．

则其中正确算式的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】①错，计算有重复；

②对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；

③对，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，

故选C．

【点评】求解排列、组合问题常用的解题方法：

（1）元素相邻的排列问题——“捆绑法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．

7．的展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】展开式的通项公式为，

令，则，

所以的展开式中的系数为，故选D．

【点评】本题考查了二项式定理展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

8．展开式中项的系数为160，则（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】C

【解析】二项式展开式的通项为，

令可得二项式展开式中的系数为，

∴展开式中的系数为，

可得，解得，故选C．

【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，属于基础题．

二、填空题．

9．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法．

【答案】535

【解析】四个盒子放球的个数如下：

1号盒子：{0，1}；

2号盒子：{0，1，2}；

3号盒子：{0，1，2，3}；

4号盒子：{0，1，2，3，4}，

结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法：

：种；

：种；

：种；

：种；

：种，

∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种，故答案为535．

【点评】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算．

10．某会议有来自个学校的代表参加，每个学校有名代表．会议要选出来自个不同学校的人构成主席团，不同的选取方法数为______．

【答案】

【解析】第一步：从个学校中选出个学校，方法数有；

第二步，从选出的个学校中各选取个代表，方法数有；

根据分步计数原理可知，总的方法数有种，

故答案为．

【点评】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题．

11．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第秒末到达点的跳法共有______种．

【答案】

【解析】分两类情况讨论：

第一类，向上跳次，向右跳次，向左跳次，有种；

第二类，向上跳次，向下跳次，向右跳次，有种，

根据分类计数原理得，共有种方法，

故答案为．

【点评】本题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．

12．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．

【答案】80

【解析】分步计算，第一步最近走法有2种；

第二步最近走法有种；

第三步最近走法有2种，

故由最近走法有种，

故答案为80．

【点评】本题主要考查乘法原理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平．

13．数列中，，（），则________．

【答案】454

【解析】因为，

所以以为首项，为公比的等比数列，

所以，所以，

则

，

又

，

，所以原式，

故答案为454．

【点评】本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量．

14．多项式展开式的常数项为__________．（用数字作答）

【答案】6

【解析】，通项公式，

当时，，

故答案为6．

【点评】本题考查多项式求常数项，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型．

一、选择题．

1．新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院．每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（    ）种．

A．252 B．540 C．792 D．684

【答案】D

【解析】护士名，可分为或者两类．

先安排医生，再安排护士．

安排医生，方法数有种，

安排护士，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，

故方法数有种．

其中表示护士甲和护士乙共人一组的方法数，

表示护士甲和护士乙与另一人共人一组的方法数．

所以总的方法数有种，故选D．

【点评】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于中档题．

2．市教体局选派5名专家到三所学校视导高三工作，要求每个学校至少派一名专家，则不同的派法种数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题可知：每个学校去的人数可以是：1，1，3或2，2，1，

所以不同的派法种数是（种），故选B．

【点评】本题考查排列组合的应用，尤其对平均分组的情况，要除以平均分组的组数的全排列，属基础题．

二、填空题．

3．某宾馆安排、、、、五人入住个房间，每个房间至少住人，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）

【答案】

【解析】将五人分成三组，则三组人数分别为、、或、、，

则分组方法种数为，

再将三组分配给三个房间，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为，

故答案为．

【点评】本题考查人员的安排问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题．

一、选择题．

1．在的展开式中，含的项的系数是（    ）

A．4840 B． C．3871 D．

【答案】B

【解析】由题意得含的项的系数为

，

故选B．

【点评】本题考查二项式定理，利用组合数的性质简化运算是解题的关键．

2．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，

正方体表面四点共面不能构成四面体有种，

正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，

所以可得到的四面体的个数为种，故选A．

【点评】本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键．

3．式子的展开式中，的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

的展开式通项为，

的展开式通项为，

由，可得，

因此，式子的展开式中，的系数为，

故选B．

【点评】求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．

4．的展开式中的系数为（    ）

A．400 B．120 C．80 D．0

【答案】D

【解析】∵，

二项展开式的通项为，

二项展开式的通项式为

故的通项为，所以，

所以展开式中的系数为，故选D．

【点评】本题考查二项式中制定项系数的求解，涉及通项公式的使用，属基础题．

二、填空题．

5．一排个座位，现安排人就座，规定中间的个座位不能坐，且人不相邻，则不同排法的种数是_________．

【答案】

【解析】根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，

当两人在三个空位左侧时：共（种），

同理，当两人在三个空位右侧时：共（种），

当两人在三个空位异侧时：共（种），

即共（种），故答案为．

【点评】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．

6．高三年级毕业成人礼活动中，要求，，三个班级各出三人，组成小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为________．

【答案】

【解析】根据题意，，，三个班级各出三人，组成小方阵，有种安排方法，

若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有种，

第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；

第一行的每个位置的人员安排方法有种，

第二行的每个位置的人员安排有种，

第三行的每个位置的人员安排有种，

则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率，

故答案为．

【点评】本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题．

7．某班要从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出4人参加4×100米的接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，丙丁两人如果都参加，他们必须是相邻的两棒，则不同的选派方式有______种．

【答案】50

【解析】根据题意可分两种情况：

1．甲乙都参加．若四人为甲乙丙丁，

根据计数原理，则有种选派方式；

若四人为甲乙丙戊或甲乙丁戊，

根据计数原理则有种选派方式．

2．甲乙只有一人参加．若四人为甲丙丁戊，

根据计数原理则有种选派方式；

若四人为乙丙丁戊，根据计数原理则有种选派方式．

根据分类加法计数原理不同的选派方式共有，

故答案为50．

【点评】本题考查分类加法计数原理和排列的综合应用，重点是分类要不重不漏，属于中档题．

8．已知的展开式的所有项系数之和为27，则展开式中含的项的系数是_________．

【答案】23

【解析】已知的展开式的所有项系数之和为27，

将代入表达式得到．

展开式中含的项的系数是，

故答案为23．

【点评】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，及求指定项的系数，掌握二项式通项公式是解题基础．

9．展开式中的系数为_______；所有项的系数和为________．

【答案】，

【解析】因为，令，，

所以的系数为，

设，

令，则，所以所有项的系数和为．

【点评】本题主要考查了二项展开式的通项公式，二项式所有项的系数和，属于中档题．