新高考数学三轮冲刺精品专题三 排列组合、二项式定理（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺精品专题三 排列组合、二项式定理（含解析），共15页。试卷主要包含了排列、组合的定义，二项式定理，二项式系数的性质等内容，欢迎下载使用。

命题趋势
排列组合多以实际生活为背景对其应用进行考查，在解答题中常与概率统计等知识综合命题，主要考查逻辑推理的核心素养．二项式定理主要考查运算求解能力，比如二项展开式某项的系数，注意转化与化归的思想．
考点清单
1．排列、组合的定义
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
正确理解组合数的性质
（1）：从个不同元素中取出个元素的方法数等于取出剩余个元素的方法数．
（2）：从个不同元素中取出个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素有种方法；②含特殊元素有种方法．
3．二项式定理
（1）二项式定理： ❶；
（2）通项公式：，它表示第项；
（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为❷．
4．二项式系数的性质
（1） = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①项数为．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到．
（2）二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指，，…，，它只与各项的项数有关，而与，的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与，的值有关．如的二项展开式中，第项的二项式系数是，而该项的系数是．
当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．
精题集训
（70分钟）
经典训练题
一、选择题．
1．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）
A．24B．12C．10D．6
【答案】C
【解析】当个位数是0时，有个；当个位数是5时，有个，
所以能被5整除的个数是10，故选C．
【点评】本题主要考查了分类计数原理，以及排列的思想，属于基础题．
2．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为 SKIPIF 1 < 0 ．
从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有 SKIPIF 1 < 0 种情况，
再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有 SKIPIF 1 < 0 种情况，
故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求的概率 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点评】排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．
3．今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，
则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有种，
当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有 SKIPIF 1 < 0 种，
同理：当排名第四的6号排在最高的9号的右边时，也有10种，
所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，
所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点评】本题考查了排列中的定序问题，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
4．已知某年级有4个班级，在一次数学学科考试中安排4个班级的班主任监考，则4个班主任都不监考本班的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意，4个班级的班主任监考4个班级，共有种不同的监考方式，
其中有1人在本班监考的有种；
有2人在班监考的有 SKIPIF 1 < 0 种；
有4人在班监考的有1种，
在不符合条件的监考安排方法有种，
所以4个班主任都不监考，共有种，
则4个班主任都不监考的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
【点评】本题主要考查了组合数公式的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中若直接法比较复杂或没有思路时，可采用间接法求解，着重考查推理与运算能力．
5．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．
某班按此四类由位同学组成四个宣传小组，
其中可回收物宣传小组有位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有位同学．
现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，基本事件总数，
每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
则每个宣传小组至少选派人的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
【点评】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可．
6．从名男同学和名女同学中选人去参加一个会议，规定男女同学至少各有人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：
①；②；③．
则其中正确算式的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】①错，计算有重复；
②对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；
③对，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，
故选C．
【点评】求解排列、组合问题常用的解题方法：
（1）元素相邻的排列问题——“捆绑法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．
7． SKIPIF 1 < 0 的展开式中的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
【点评】本题考查了二项式定理展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
8． SKIPIF 1 < 0 展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．
【答案】C
【解析】二项式展开式的通项为，
令可得二项式展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为，
∴ SKIPIF 1 < 0 展开式中的系数为，
可得，解得，故选C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，属于基础题．
二、填空题．
9．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法．
【答案】535
【解析】四个盒子放球的个数如下：
1号盒子：{0，1}；
2号盒子：{0，1，2}；
3号盒子：{0，1，2，3}；
4号盒子：{0，1，2，3，4}，
结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法：
SKIPIF 1 < 0 ：种；
SKIPIF 1 < 0 ：种；
SKIPIF 1 < 0 ：种；
SKIPIF 1 < 0 ：种；
SKIPIF 1 < 0 ：种，
∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种，故答案为535．
【点评】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算．
10．某会议有来自个学校的代表参加，每个学校有名代表．会议要选出来自个不同学校的人构成主席团，不同的选取方法数为______．
【答案】
【解析】第一步：从个学校中选出个学校，方法数有；
第二步，从选出的个学校中各选取个代表，方法数有 SKIPIF 1 < 0 ；
根据分步计数原理可知，总的方法数有种，
故答案为．
【点评】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题．
11．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第秒末到达点的跳法共有______种．
【答案】
【解析】分两类情况讨论：
第一类，向上跳次，向右跳次，向左跳次，有种；
第二类，向上跳次，向下跳次，向右跳次，有种，
根据分类计数原理得，共有种方法，
故答案为．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
12．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．
【答案】80
【解析】分步计算，第一步最近走法有2种；
第二步最近走法有种；
第三步 SKIPIF 1 < 0 最近走法有2种，
故由最近走法有 SKIPIF 1 < 0 种，
故答案为80．
【点评】本题主要考查乘法原理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平．
13．数列中，，（），则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】454
【解析】因为，
所以以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
则
，
又
，
，所以原式，
故答案为454．
【点评】本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量．
14．多项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的常数项为__________．（用数字作答）
【答案】6
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，
当时，，
故答案为6．
【点评】本题考查多项式求常数项，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型．
高频易错题
一、选择题．
1．新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院．每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种．
A．252B．540C．792D．684
【答案】D
【解析】护士名，可分为或者两类．
先安排医生，再安排护士．
安排医生，方法数有种，
安排护士，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，
故方法数有 SKIPIF 1 < 0 种．
其中表示护士甲和护士乙共人一组的方法数，
表示护士甲和护士乙与另一人共人一组的方法数．
所以总的方法数有种，故选D．
【点评】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于中档题．
2．市教体局选派5名专家到三所学校视导高三工作，要求每个学校至少派一名专家，则不同的派法种数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可知：每个学校去的人数可以是：1，1，3或2，2，1，
所以不同的派法种数是 SKIPIF 1 < 0 （种），故选B．
【点评】本题考查排列组合的应用，尤其对平均分组的情况，要除以平均分组的组数的全排列，属基础题．
二、填空题．
3．某宾馆安排、、、、五人入住个房间，每个房间至少住人，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）
【答案】
【解析】将五人分成三组，则三组人数分别为、、或、、，
则分组方法种数为 SKIPIF 1 < 0 ，
再将三组分配给三个房间，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为．
【点评】本题考查人员的安排问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题．
精准预测题
一、选择题．
1．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．4840B．C．3871D．
【答案】B
【解析】由题意得含的项的系数为
，
故选B．
【点评】本题考查二项式定理，利用组合数的性质简化运算是解题的关键．
2．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，
正方体表面四点共面不能构成四面体有种，
正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，
所以可得到的四面体的个数为种，故选A．
【点评】本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键．
3．式子 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
的展开式通项为，
SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，式子 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，的系数为，
故选B．
【点评】求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．
4．的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．400B．120C．80D．0
【答案】D
【解析】∵，
二项展开式的通项为，
二项展开式 SKIPIF 1 < 0 的通项式为
故 SKIPIF 1 < 0 的通项为，所以，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为，故选D．
【点评】本题考查二项式中制定项系数的求解，涉及通项公式的使用，属基础题．
二、填空题．
5．一排个座位，现安排人就座，规定中间的个座位不能坐，且人不相邻，则不同排法的种数是_________．
【答案】
【解析】根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，
当两人在三个空位左侧时：共（种），
同理，当两人在三个空位右侧时：共（种），
当两人在三个空位异侧时：共（种），
即共（种），故答案为．
【点评】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
6．高三年级毕业成人礼活动中，要求，，三个班级各出三人，组成小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意，，，三个班级各出三人，组成小方阵，有 SKIPIF 1 < 0 种安排方法，
若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有种，
第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；
第一行的每个位置的人员安排方法有 SKIPIF 1 < 0 种，
第二行的每个位置的人员安排有种，
第三行的每个位置的人员安排有种，
则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题．
7．某班要从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出4人参加4×100米的接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，丙丁两人如果都参加，他们必须是相邻的两棒，则不同的选派方式有______种．
【答案】50
【解析】根据题意可分两种情况：
1．甲乙都参加．若四人为甲乙丙丁，
根据计数原理，则有种选派方式；
若四人为甲乙丙戊或甲乙丁戊，
根据计数原理则有种选派方式．
2．甲乙只有一人参加．若四人为甲丙丁戊，
根据计数原理则有种选派方式；
若四人为乙丙丁戊，根据计数原理则有种选派方式．
根据分类加法计数原理不同的选派方式共有，
故答案为50．
【点评】本题考查分类加法计数原理和排列的综合应用，重点是分类要不重不漏，属于中档题．
8．已知的展开式的所有项系数之和为27，则展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数是_________．
【答案】23
【解析】已知的展开式的所有项系数之和为27，
将代入表达式得到．
展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数是，
故答案为23．
【点评】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，及求指定项的系数，掌握二项式通项公式是解题基础．
9．展开式中的系数为_______；所有项的系数和为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】因为，令，，
所以的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
设，
令，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以所有项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题主要考查了二项展开式的通项公式，二项式所有项的系数和，属于中档题．
排列的定义
从个不同元素中取出个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
组合的定义
合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
排列数
组合数
定
义
从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数
从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数
公
式
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
性
质
，
，，