（新高考）2021届高考二轮复习专题三 排列组合、二项式定理 学生版

这是一份（新高考）2021届高考二轮复习专题三 排列组合、二项式定理 学生版，共18页。试卷主要包含了排列、组合的定义，二项式定理，二项式系数的性质，的展开式中x3的系数为等内容，欢迎下载使用。
     排列组合多以实际生活为背景对其应用进行考查，在解答题中常与概率统计等知识综合命题，主要考查逻辑推理的核心素养．二项式定理主要考查运算求解能力，比如二项展开式某项的系数，注意转化与化归的思想．  1．排列、组合的定义排列的定义从个不同元素中取出个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合2．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数组合数定义从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数公式性质，，，正确理解组合数的性质（1）：从个不同元素中取出个元素的方法数等于取出剩余个元素的方法数．（2）：从个不同元素中取出个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素有种方法；②含特殊元素有种方法．3．二项式定理（1）二项式定理： ❶；（2）通项公式：，它表示第项；（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为❷．4．二项式系数的性质（1）①项数为．②各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为．③字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到．（2）二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指，，…，，它只与各项的项数有关，而与，的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与，的值有关．如的二项展开式中，第项的二项式系数是，而该项的系数是．当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．  
      一、选择题．1．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（    ）A．24 B．12 C．10 D．62．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（    ）A． B． C． D．3．今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（    ）A． B． C． D．4．已知某年级有4个班级，在一次数学学科考试中安排4个班级的班主任监考，则4个班主任都不监考本班的概率是（    ）A． B． C． D．5．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（    ）A． B． C． D．6．从名男同学和名女同学中选人去参加一个会议，规定男女同学至少各有人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：①；②；③．则其中正确算式的个数是（    ）A． B． C． D．7．的展开式中的系数为（    ）A． B． C． D．8．展开式中项的系数为160，则（    ）A．2 B．4 C． D． 二、填空题．9．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法．10．某会议有来自个学校的代表参加，每个学校有名代表．会议要选出来自个不同学校的人构成主席团，不同的选取方法数为______．11．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第秒末到达点的跳法共有______种．12．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．13．数列中，，（），则________．14．多项式展开式的常数项为__________．（用数字作答） 一、选择题．1．新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院．每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（    ）种．A．252 B．540 C．792 D．6842．市教体局选派5名专家到三所学校视导高三工作，要求每个学校至少派一名专家，则不同的派法种数是（    ）A． B． C． D． 二、填空题．3．某宾馆安排、、、、五人入住个房间，每个房间至少住人，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答） 一、选择题．1．在的展开式中，含的项的系数是（    ）A．4840 B． C．3871 D．2．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ）A． B． C． D．3．式子的展开式中，的系数为（    ）A． B． C． D．4．的展开式中的系数为（    ）A．400 B．120 C．80 D．0 二、填空题．5．一排个座位，现安排人就座，规定中间的个座位不能坐，且人不相邻，则不同排法的种数是_________．6．高三年级毕业成人礼活动中，要求，，三个班级各出三人，组成小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为________．7．某班要从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出4人参加4×100米的接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，丙丁两人如果都参加，他们必须是相邻的两棒，则不同的选派方式有______种．8．已知的展开式的所有项系数之和为27，则展开式中含的项的系数是_________．9．展开式中的系数为_______；所有项的系数和为________．  
 一、选择题．1．【答案】C【解析】当个位数是0时，有个；当个位数是5时，有个，所以能被5整除的个数是10，故选C．【点评】本题主要考查了分类计数原理，以及排列的思想，属于基础题．2．【答案】B【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为，所以所求的概率，故选B．【点评】排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．3．【答案】A【解析】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有种，当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有种，同理：当排名第四的6号排在最高的9号的右边时，也有10种，所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为，故选A．【点评】本题考查了排列中的定序问题，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．4．【答案】D【解析】由题意，4个班级的班主任监考4个班级，共有种不同的监考方式，其中有1人在本班监考的有种；有2人在班监考的有种；有4人在班监考的有1种，在不符合条件的监考安排方法有种，所以4个班主任都不监考，共有种，则4个班主任都不监考的概率为，故选D．【点评】本题主要考查了组合数公式的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中若直接法比较复杂或没有思路时，可采用间接法求解，着重考查推理与运算能力．5．【答案】D【解析】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有位同学．现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，基本事件总数，每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为，则每个宣传小组至少选派人的概率为，故选D．【点评】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可．6．【答案】C【解析】①错，计算有重复；②对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；③对，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，故选C．【点评】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题——“捆绑法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．7．【答案】D【解析】展开式的通项公式为，令，则，所以的展开式中的系数为，故选D．【点评】本题考查了二项式定理展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．8．【答案】C【解析】二项式展开式的通项为，令可得二项式展开式中的系数为，∴展开式中的系数为，可得，解得，故选C．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，属于基础题． 二、填空题．9．【答案】535【解析】四个盒子放球的个数如下：1号盒子：{0，1}；2号盒子：{0，1，2}；3号盒子：{0，1，2，3}；4号盒子：{0，1，2，3，4}，结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法：：种；：种；：种；：种；：种，∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种，故答案为535．【点评】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算．10．【答案】【解析】第一步：从个学校中选出个学校，方法数有；第二步，从选出的个学校中各选取个代表，方法数有；根据分步计数原理可知，总的方法数有种，故答案为．【点评】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题．11．【答案】【解析】分两类情况讨论：第一类，向上跳次，向右跳次，向左跳次，有种；第二类，向上跳次，向下跳次，向右跳次，有种，根据分类计数原理得，共有种方法，故答案为．【点评】本题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．12．【答案】80【解析】分步计算，第一步最近走法有2种；第二步最近走法有种；第三步最近走法有2种，故由最近走法有种，故答案为80．【点评】本题主要考查乘法原理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平．13．【答案】454【解析】因为，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则，又，，所以原式，故答案为454．【点评】本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量．14．【答案】6【解析】，通项公式，当时，，故答案为6．【点评】本题考查多项式求常数项，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型． 一、选择题．1．【答案】D【解析】护士名，可分为或者两类．先安排医生，再安排护士．安排医生，方法数有种，安排护士，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，故方法数有种．其中表示护士甲和护士乙共人一组的方法数，表示护士甲和护士乙与另一人共人一组的方法数．所以总的方法数有种，故选D．【点评】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于中档题．2．【答案】B【解析】由题可知：每个学校去的人数可以是：1，1，3或2，2，1，所以不同的派法种数是（种），故选B．【点评】本题考查排列组合的应用，尤其对平均分组的情况，要除以平均分组的组数的全排列，属基础题． 二、填空题．3．【答案】【解析】将五人分成三组，则三组人数分别为、、或、、，则分组方法种数为，再将三组分配给三个房间，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为，故答案为．【点评】本题考查人员的安排问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题． 一、选择题．1．【答案】B【解析】由题意得含的项的系数为，故选B．【点评】本题考查二项式定理，利用组合数的性质简化运算是解题的关键．2．【答案】A【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，正方体表面四点共面不能构成四面体有种，正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，所以可得到的四面体的个数为种，故选A．【点评】本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键．3．【答案】B【解析】，的展开式通项为，的展开式通项为，由，可得，因此，式子的展开式中，的系数为，故选B．【点评】求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．4．【答案】D【解析】∵，二项展开式的通项为，二项展开式的通项式为故的通项为，所以，所以展开式中的系数为，故选D．【点评】本题考查二项式中制定项系数的求解，涉及通项公式的使用，属基础题． 二、填空题．5．【答案】【解析】根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，当两人在三个空位左侧时：共（种），同理，当两人在三个空位右侧时：共（种），当两人在三个空位异侧时：共（种），即共（种），故答案为．【点评】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．6．【答案】【解析】根据题意，，，三个班级各出三人，组成小方阵，有种安排方法，若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有种，第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；第一行的每个位置的人员安排方法有种，第二行的每个位置的人员安排有种，第三行的每个位置的人员安排有种，则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率，故答案为．【点评】本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题．7．【答案】50【解析】根据题意可分两种情况：1．甲乙都参加．若四人为甲乙丙丁，根据计数原理，则有种选派方式；若四人为甲乙丙戊或甲乙丁戊，根据计数原理则有种选派方式．2．甲乙只有一人参加．若四人为甲丙丁戊，根据计数原理则有种选派方式；若四人为乙丙丁戊，根据计数原理则有种选派方式．根据分类加法计数原理不同的选派方式共有，故答案为50．【点评】本题考查分类加法计数原理和排列的综合应用，重点是分类要不重不漏，属于中档题．8．【答案】23【解析】已知的展开式的所有项系数之和为27，将代入表达式得到．展开式中含的项的系数是，故答案为23．【点评】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，及求指定项的系数，掌握二项式通项公式是解题基础．9．【答案】，【解析】因为，令，，所以的系数为，设，令，则，所以所有项的系数和为．【点评】本题主要考查了二项展开式的通项公式，二项式所有项的系数和，属于中档题