高中数学高考 2021届高考二轮精品专题八 排列组合、二项式定理（理） 教师版(1)

1．排列组合的考查主要以实际生活为背景，以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，通常还会与概率结合进行考查，难度中等．

2．二项式定理主要以选择题或者填空题的形式进行考查，常考的内容为，求展开式中特定项的系数，或者已知特定项的系数求参数，以及运用赋值法求特定项系数和的问题．

1．排列、组合的定义

2．排列数、组合数的定义、公式、性质

正确理解组合数的性质

（1）：从个不同元素中取出个元素的方法数等于取出剩余个元素的方法数．

（2）：从个不同元素中取出个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素有种方法；②含特殊元素有种方法．

3．二项式定理

（1）二项式定理： ❶；

（2）通项公式：，它表示第项；

（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为❷．

4．二项式系数的性质

（1）①项数为．

②各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为．

③字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到．

（2）二项式系数与项的系数的区别

二项式系数是指，，…，，它只与各项的项数有关，而与，的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与，的值有关．如的二项展开式中，第项的二项式系数是，而该项的系数是．当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．

一、选择题．

1．在的展开式中，的系数为（    ）

A． B．15 C． D．20

【答案】C

【解析】由二项式定理得的展开式的通项

，

令，得，

所以，所以的系数为，故选C．

【点评】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．

2．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（    ）

A．63 B． C． D．

【答案】B

【解析】常数项是，

令求各项系数和，，

则除常数项外，其余各项系数的和为，故选B．

【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项公式的应用．

3．为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（    ）

A．540 B．240 C．150 D．120

【答案】C

【解析】根据题意分派到3个贫困村得人数为或，

当分派到3个贫困村得人数为时，有种；

当分派到3个贫困村得人数为时，有种，

所以共有种，故选C．

【点评】本题考查了两个计数原理和简单的排列组合问题，属于基础题．

4．高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，

乙与戊相邻的站法种数为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．24

【答案】B

【解析】由题可知，戊站在正中间，位置确定，则只需排其余四人即可，

则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法有（种），故选B．

【点评】本题主要考查了分布分类计数原理，属于基础题．

5．甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人

不能同去一个地方，则不同分法的种数（    ）

A．18 B．24 C．30 D．36

【答案】C

【解析】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有种，再排除甲乙被分在同一地方的情况共有种，

所以不同的安排方法种数是，故选C．

【点评】本题考查了排列组合的综合运用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于中档题．

6．2020年我国实现全面建设成小康社会的目标之年，也是全面打赢脱贫攻坚战之年．某乡镇为了了解本镇脱贫攻坚情况，现派出甲、乙、丙3个调研组到、、、、等5个村去，每个村一个调研组，每个调研组至多去两个村，则甲调研组到村去的派法有（    ）

A．48种 B．42种 C．36种 D．30种

【答案】D

【解析】甲只去1村，则方法为，甲去2个村调查，则方法数有，

∴总方法数为，故选D．

【点评】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件的过程方法，

根据完成事件的方法选择分类计数原理和分步计数原理．

7．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ）

A．56 B．72 C．64 D．84

【答案】D

【解析】分两种情况：

（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，

所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有种；

（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，

所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有种，

共有84种，故答案为D．

【点评】（1）本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．

（2）排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．

8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆．将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（    ）

A．72 B．84 C．96 D．120

【答案】B

【解析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，

其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，

考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有种排法，

其中一半是重复的，故此时有12种重复．

故共有种，故选B．

【点评】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力．

9．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务， 基本事件总数，

大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数，

所以大夫、不更恰好在同一组的概率为，故选B．

【点评】本题考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10．（多选）已知的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．展开式中偶数项的二项式系数和为512

C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为45

【答案】BCD

【解析】由题意，，所以（负值舍去），

又展开式中各项系数之和为1024，所以，所以，故A错误；

偶数项的二项式系数和为，故B正确；

展开式的二项式系数与对应项的系数相同，

所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；

的展开式的通项，

令，解得，所以常数项为，故D正确，

故选BCD．

【点评】本题主要考查了二项式基本定理及其通项，属于基础题．

二、填空题．

11．记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有________．

【答案】432

【解析】根据题意，，，，，，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，

则共有个排列，

若为偶数的对立事件为“为奇数”，

、、全部为奇数，有，

故为偶数的排列的个数共有，

故答案为432．

【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．

12．现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是_______．

【答案】

【解析】现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．

现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，

基本事件总数，

最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：

优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有种，

4只次品必有一只排在第五次测试，有种，

那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有种．

于是根据分步计数原理有种．

∴最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率p，

故答案为．

【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．

13．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种．（结果用数字表示）

【答案】336

【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法；

再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，

因此所求放法种数为．

【点评】本题考查排列组合应用，考查综合分析与求解能力，属中档题．

14．在二项式的展开式中，含的项的系数为______；各项系数的最小值为______．（结果均用数值表示）

【答案】15，

【解析】因为二项式，所以，

当时，则，含的项的系数为15；

当时，则，此时系数最小，最小值为，

故答案为15，．

【点评】本题考查二项式定理展开式的系数问题，是基础题．

一、填空题．

1．本相同的资料书分配给三个班级，要求每班至少一本且至多六本，则不同的分配方法共有_____种．

【答案】25

【解析】先分组，再排序，12本书分三个班级，且每班至少一本且至多六本，

可能有1、5、6；2、4、6；2、5、5；3、3、6；3、4、5；4、4、4共6中情况，

当一个班分1本，一个班分5本，一个班分6本，不同的方法有种；

当一个班分2本，一个班分4本，一个班分6本，不同的方法有种；

当一个班分2本，一个班分5本，一个班分5本，不同的方法有种；

当一个班分3本，一个班分3本，一个班分6本，不同的方法有种；

当一个班分3本，一个班分4本，一个班分5本，不同的方法有种；

当一个班分4本，一个班分4本，一个班分4本，不同的方法有种；

所以一共有，故答案为25．

【点评】本题考查了排列组合，此种情况解题的关键是先分组，再排序，属于中档题．

一、选择题．

1．展开式中项的系数为160，则（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】C

【解析】二项式展开式的通项为，

令可得二项式展开式中的系数为，

∴展开式中的系数为，

可得，解得，故选C．

【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项，属于基础题．

2．已知随机变量服从二项分布，其期望，当时，目标函数的最小值为，则的展开式中各项系数之和为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】根据二项分布期望的定义，可知，得，

画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，

其中，，，

平移直线，当直线经过点时，取最小值，即，

于是，

令，可得展开式的各项系数之和为，故选B．

【点评】本题把二项式定理与线性划结合以及二项分布考查，属于中档题．

3．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可得基本事件总数，

第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，

所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是，故选D．

【点评】本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．

4．某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（    ）

A．96种 B．84种 C．78种 D．16种

【答案】B

【解析】先确定选的两门，再确定学生选，

所以不同的选课方案有故选B．

【点评】本题主要考了分步分类计数原理，属于基础题．

5．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，

则不同的站法总数是（    ）

A．90 B．120 C．210 D．216

【答案】C

【解析】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，

所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：种站法；

第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：种站法；

所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是，

故选C．

【点评】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题．

6．2020年5月22日，国务院总理李克强在发布的2020年国务院政府工作报告中提出，2020年要优先稳就业保民生，坚决打赢脱贫攻坚战，努力实现全面建成小康社会目标任务．为响应党中央号召，某单位决定再加派五名工作人员甲、乙、丙、丁、戊去所负责的A，B，C，D四个村小组帮助指导贫困户脱贫，每个村小组至少派一人，为工作方便，甲不去A小组，乙去B小组，则不同的安排方法有（    ）

A．24 B．42 C．120 D．240

【答案】B

【解析】当甲、乙在同一小组时，即都在B小组时，则不同的安排方法有：；

当甲、乙不在同一小组时，根据题意可以分成组，乙所在的小组去B小组，甲有2种方法，剩下的两人有2种方法，

因此有不同的安排方法有：，

因此符合题意的不同的安排方法有种方法，故选B．

【点评】本题考查了排列组合的应用，考查了数学分析问题能力，属于中档题．

二、填空题．

7．的展开式中常数项为________．

【答案】

【解析】，

展开式中常数项为，故答案为．

【点评】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

8．数列中，，（），则________．

【答案】454

【解析】因为，

所以以为首项，为公比的等比数列，

所以，所以，

则

，

又

，

，

所以原式，故答案为454．

【点评】本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量．

9．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有______种不同的选法．（用数字作答）

【答案】360

【解析】分两类：

①只有1名护士，共有：种选法；

②有2名护士，共有：种，

故共有种选法，故答案为360．

【点评】此题考查排列组合的应用，分类讨论方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．

10．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3中的一个．

（i）当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有______种；

（ii）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．

【答案】4，6

【解析】（i）每条边上的三个数字之和为4，填法如图1，共4种；

（ii）同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法如图2，共6种．

故答案为4，6．

【点评】本题考查了简单的排列组合问题，关键是分步和分类，属于基础题．

11．如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．

【答案】576，264

【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有．

（2）若，，，用四种颜色，则有；

若，，，用三种颜色，则有；

若，，，用两种颜色，则有，

所以共有264种．

故答案为①576；②264．

【点评】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

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