2021年九年级中考数学一轮复习 16　全等三角形（通用版）

16　全等三角形

基础巩固

1．(2020·甘孜)如图，在等腰三角形ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是(  B  )

第1题图

A．AD＝AE  B．BE＝CD

C．∠ADC＝∠AEB  D．∠DCB＝∠EBC

2．(北师大七下P102习题T4改编)如图，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(  C  )

第2题图

A．带①去  B．带②去

C．带③去  D．带①和②去

3．如图，△ABC≌△A′B′C，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为(  A  )

第3题图

A．30°  B．45°

C．60°  D．15°

4．(2020·毕节)如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于(  D  )

第4题图

A．a  B．b

C．  D．c

5．(2020·龙东地区)如图，在Rt△ABC 和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝ED(答案不唯一)，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．

第5题图

6．(2021·原创)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E.若AD＝2.5 cm，DE＝1.7 cm，则BE的长为0.8cm.

第6题图

7.(2020·无锡)如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF.

第7题图

求证：(1)△ABF≌△DCE；

(2)AF∥DE.

证明：(1)∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C.

∵BE＝CF，

∴BE－EF＝CF－EF，

即BF＝CE.

在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE(SAS)．

(2)由(1)知△ABF≌△DCE，

∴∠AFB＝∠DEC，

∴∠AFE＝∠DEF，

∴AF∥DE.

8．(2020·镇江)如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF.

第8题图

(1)求证：∠D＝∠2；

(2)若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．

(1)证明：在△BEF和△CDA中，

∴△BEF≌△CDA(SAS)，

∴∠D＝∠2.

(2)解：∵∠D＝∠2，∠D＝78°，

∴∠2＝78°.

∵EF∥AC，

∴∠BAC＝∠2＝78°.

9．(2020·内江)如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.

第9题图

(1)求证：AB＝CD；

(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．

(1)证明：∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C.

在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF(AAS)，

∴AB＝CD.

(2)解：由(1)知△ABE≌△DCF，

∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C.

∵∠B＝40°，

∴∠C＝40°.

∵AB＝CF，∴CF＝CD，

∴∠D＝∠CFD＝×(180°－40°)＝70°.

10．(2020·温州)如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE.

第10题图

(1)求证：△ABC≌△DCE；

(2)连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．

(1)证明：∵AB∥DE，

∴∠BAC＝∠D.

在△ABC和△DCE中，

∴△ABC≌△DCE(AAS)．

(2)解：由(1)知△ABC≌△DCE，

∴CE＝BC＝5.

∵∠ACE＝90°，

∴AE＝＝＝13.

11．(2020·河池)(1)如图1，已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2.求证：△ACE≌△BCE.

(2)如图2，已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由．

第11题图

(1)证明：在△ACE和△BCE中，

∴△ACE≌△BCE(SAS)．

(2)解：AE＝BE.

理由如下：

如答图，在CE上截取CF＝DE.

第11题答图

在△ADE和△BCF中，

∴△ADE≌△BCF(SAS)，

∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB.

∵∠AED＋∠BEF＝180°，∠CFB＋∠EFB＝180°，

∴∠BEF＝∠EFB，

∴BE＝BF，∴AE＝BE.

能力提升

1．(2020·鄂州)如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°.连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.其中正确的结论有(  B  )

第1题图

A．4个  B．3个

C．2个  D．1个

2．(2020·南通)如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE＋BF的最大值为(  A  )

第2题图

A.  B．2

C．2  D．3

3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，D为BC上一点，CD＝2BD，∠ADC＝60°.AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE，CF相交于点G.

第3题图

(1)求证：△AFG≌△CFD；

(2)若BC＝3，AF＝，求线段EG的长．

(1)证明：连接BF，如答图．

第3答图

∵CF⊥AD，

∴∠AFC＝∠CFD＝90°.

∵∠ADC＝60°，

∴∠FCD＝30°，

∴CD＝2DF.

∵CD＝2BD，

∴BD＝DF，

∴∠DBF＝∠DFB.

∵∠ADC＝∠DFB＋∠DBF＝60°，

∴∠DFB＝∠DBF＝30°.

∵∠ABC＝45°，

∴∠ABF＝45°－30°＝15°.

∵∠ABF＋∠BAF＝∠BFD＝30°，

∴∠FAB＝15°，

∴∠BAF＝∠ABF，

∴BF＝AF.

∵∠FBC＝∠FCB＝30°，

∴BF＝CF＝AF.

∵AE⊥BC，

∴∠AED＝90°.

∵∠ADC＝60°，

∴∠FAG＝30°＝∠DCF.

在△AFG和△CFD中，

∴△AFG≌△CFD(ASA)．

(2)解：∵BC＝3，CD＝2BD，

∴BD＝1，CD＝2.

∵DF＝BD，

∴DF＝1，

∴在Rt△CFD中，由勾股定理得CF＝＝.

∵△AFG≌△CFD，

∴DF＝FG＝1，

∴CG＝CF－FG＝－1.

在Rt△CEG中，∵∠GEC＝90°，∠GCE＝30°，

∴EG＝CG＝.

4．(2020·泰安)若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°.

(1)如图1，点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；

(2)如图2，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD.

求证：①EB＝DC；

②∠EBG＝∠BFC.

第4题图

 (1)解：四边形BEAC是平行四边形．

理由如下：

∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，

∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°.

∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，

∴BC∥AE，AC∥BE，

∴四边形BEAC是平行四边形．

(2)证明：①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，

∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，

∴△AEB≌△ADC(SAS)，

∴EB＝DC.

第3题答图

②延长FG至点H，使GH＝FG，如答图．

∵G是EC的中点，

∴EG＝GC.

又∵∠EGH＝∠CGF，

∴△EGH≌△CGF(SAS)，

∴∠BFC＝∠H，CF＝EH.

∵CF＝CD，CD＝BE，

∴EH＝BE，

∴∠H＝∠EBG，

∴∠EBG＝∠BFC.

                         中考预测

1．如图，在△ABC和△DEF中，已知AB∥DE，AB＝DE，则添加下列哪一个条件，不能判定这两个三角形全等(  A  )

第1题图

A．∠A＝∠D　　　 B．AF＝CD

C．∠B＝∠E  D．∠BCA＝∠EFD

2．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，ED⊥AB于点D，AB＝7 cm，AC＝3 cm，则BD的长为(  B  )

第2题图

A．3 cm　 B．4 cm　

C．1 cm　 D．2 cm

3．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′＝40°.

第3题图

4．如图，在四边形ABED中，∠B＝∠E＝90°，点C是边BE上一点，AC⊥CD，CB＝DE.

(1)求证：△ABC≌△CED；

(2)若AB＝5，CB＝2，求AD的长．

第4题图

(1)证明：∵∠B＝∠E＝90°，

∴∠BAC＋∠ACB＝90°.

∵AC⊥CD，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，

∴∠BAC＝∠DCE.

在△ABC和△CED中，

 ∴△ABC≌△CED(AAS)．

(2)解：∵△ABC≌△CED，

∴AB＝CE＝5，AC＝CD.

∵BC＝2，

∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝，

∴CD＝，

∴在Rt△ACD中，AD＝＝.

5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD的中点，连接AO并延长交BC的延长线于点E，且BC＝CE.

第5题图

(1)求证：△AOD≌△EOC；

(2)若∠BAE＝90°，AB＝6，OE＝4，求AD的长．

(1)证明：∵AD∥BE，∴∠DAO＝∠CEO.

又∵O是CD的中点，∴CO＝DO.

在△AOD和△EOC中，

∴△AOD≌△EOC(AAS)．

(2)解：由(1)知△AOD≌△EOC，∴AO＝EO，AD＝EC.

∵BC＝CE，∴点C，O分别是BE和AE的中点，

即CO是△ABE的中位线．

∵OE＝4，∴AE＝8.

在Rt△ABE中，∵AB＝6，∠BAE＝90°，

∴BE＝＝＝10，

∴EC＝BE＝5.又∵AD＝EC，∴AD＝5.