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人教版18.2.2 菱形第1课时课堂检测
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这是一份人教版18.2.2 菱形第1课时课堂检测，共21页。试卷主要包含了5D．，5 ．等内容，欢迎下载使用。
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
一．选择题（共4小题）
1．（如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）
2．（菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（ ）
A．15 B． C．7.5 D．
二．填空题（共15小题）
5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是 _________ cm2．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．
7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．
6题图 7题图 8题图 9题图
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为 _________ ．
9．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________ 度．
10．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________ 度．
10题图 12题 13题图 14题图
11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 _________ ．
12．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在 _________ 点．
13．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 _________ cm．
14．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 _________ ．
15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为 _________ cm2．
16．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是 _________ cm2．
17．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 _________ ．
17题图 18题图 19题图
18．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 _________ ．
19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= _________ 度．
三．解答题（共7小题）
20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．
（1）求点D的坐标；
（2）求经过点C的反比例函数解析式．
21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．
求证：DE=BE．
22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求线段BE的长．
23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？
25．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连接 _________ ；
（2）猜想： _________ = _________ ；
（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）
26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．
答案与评分标准
一．选择题（共4小题）
1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）
考点：菱形的性质；坐标与图形性质。
专题：数形结合。
分析：此题可过P作PE⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出．
解答：解：过P作PE⊥OM，
∵顶点P的坐标是（3，4），
∴OE=3，PE=4，
∴OP==5，
∴点M的坐标为（5，0），
∵5+3=8，
∴点N的坐标为（8，4）．
故选A．
点评：此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．
2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
考点：菱形的性质；等边三角形的判定。
分析：根据菱形的性质，求出菱形的边长，由菱形的两边和较短的对角线组成的三角形是等边三角形，进而求出较短的对角线长．
解答：解：如图，∵四边形ABCD为菱形，且周长为4，
∴AB=BC=CD=DA=1，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC=1．
故选C．
点评：本题既考查了菱形的性质，又考查了等边三角形的判定，是菱形性质应用中一道比较典型的题目．
3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
考点：菱形的性质；含30度角的直角三角形。
分析：根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．
解答：解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1．
故选C．
点评：此题主要考查的知识点：
（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；
（2）菱形的两个邻角互补．
4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（ ）
A．15 B． C．7.5 D．
考点：菱形的性质。
分析：先求出∠A等于60°，连接BD得到△ABD是等边三角形，所以BD等于菱形边长．
解答：解：连接BD，∵∠ADC=120°，
∴∠A=180°﹣120°=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=15．
故选A．
点评：本题考查有一个角是60°的菱形，有一条对角线等于菱形的边长．
二．填空题（共15小题）
5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是 3 cm2．
考点：菱形的性质。
分析：由知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．
解答：解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，
∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．
故答案为：3．
点评：此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线乘积的一半．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ．
考点：菱形的性质；点到直线的距离；勾股定理。
分析：因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．
解答：解：∵AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，
∴AB=5．
AO•BO=AB•OH，
OH=．
故答案为：．
点评：本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH．
7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 2 cm2．
考点：菱形的性质；勾股定理。
分析：因为DE丄AB，E是AB的中点，所以AE=1cm，根据勾股定理可求出BD的长，菱形的面积=底边×高，从而可求出解．
解答：解：∵E是AB的中点，
∴AE=1cm，
∵DE丄AB，
∴DE==cm．
∴菱形的面积为：2×=2cm2．
故答案为：2．
点评：本题考查菱形的性质，四边都相等，菱形面积的计算公式以及勾股定理的运用等．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为 60 ．
考点：菱形的性质；勾股定理。
专题：数形结合。
分析：因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB，然后利用平行四边形的判定及性质就可以求出△BDE的周长．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=13，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=5，
∴OB==12，BD=2OB=24，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=BC=13，DE=AC=10，
∴△BDE的周长是：BD+BC+CE+DE=24+10+26=60．
故答案为：60．
点评：本题主要利考查用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决，关键是根据菱形的性质得出AC⊥BD，从而利用勾股定理求出BD的长度，难度一般．
9．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= 65 度．
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：因为AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根据三角形内角和定理求解．
解答：解：∵ABCD是菱形，∴AB=AD．∴∠ABD=∠ADB．
∵∠BAD=80°，∴∠ABD=×（180°﹣80°）=50°．
又∵BE=BO，
∴∠BEO=∠BOE=×（180°﹣50°）=65°．
故答案为：65．
点评：此题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．属基础题．
10．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= 120 度．
考点：菱形的性质。
专题：应用题。
分析：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，从而不难求得∠1的度数．
解答：解：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，则∠1=120°．
故答案为120．
点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．
11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 2或6 ．
考点：菱形的性质。
专题：计算题；分类讨论。
分析：题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以就分两种情况进行分析．
解答：解：①当较长对角线长为2时，则另一对角线长为2；
②当较短对角线长为2时，则另一对角线长为6；
故另一条对角线的长为2或6．
点评：此题主要考查菱形的性质以及勾股定理，做题时注意分两种情况进行分析．
12．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在 B 点．
考点：菱形的性质。
专题：规律型。
分析：根据题意可求得其每走一个循环是8米，从而可求得其行走2009米走了几个循环，即可得到其停在哪点．
解答：解：根据“由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动”可得出，每经过8米完成一个循环，
∵2009÷8=251余1，
∴行走2009米停下，即是在第252个循环中行走了一米，即停到了B点．
故答案为B．
点评：本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论．
13．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 3 cm．
考点：菱形的性质；角平分线的性质。
专题：计算题。
分析：由已知得AC为∠DAB的角平分线，且PE，PF分别到角两边的距离，根据角平分线的性质得到PE=PF．
解答：解：∵ABCD是菱形
∴AC为∠DAB的角平分线
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm．
∴PE=PF=3cm．
故答案为3．
点评：本题考查了菱形的性质及角平分线的性质的运用．
14．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 16 ．
考点：菱形的性质；正方形的性质。
专题：计算题。
分析：根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC=AB，再根据正方形的周长公式计算即可．
解答：解：∵B=60°，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=4
∴正方形ACEF的周长=4×4=16．
16故答案为．
点评：本题考查菱形与正方形的性质．
15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为 96 cm2．
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：根据已知可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到其面积．
解答：解：设两条对角线长分别为3x，4x，
根据勾股定理可得（）2+（）2=102，
解之得，x=4，
则两条对角线长分别为12cm、16cm，
∴菱形的面积=12×16÷2=96cm2．
故答案为96．
点评：主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．
16．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是 120 cm2．
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：已知菱形的周长以及一条对角线的长，根据菱形的性质利用勾股定理可求得另一对角线的长度，然后易求得菱形的面积．
解答：解：由题意可得，AD=13cm，OA=12cm，
根据勾股定理可得，OD=5cm，则BD=10cm，则它的面积是24×10×=120cm2．
故答案为：120．
点评：此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．
17．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 2.5 ．
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
解答：解：阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积=AC•BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故答案为2.5．
点评：本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．
18．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质。
专题：动点型。
分析：过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB，根据已知得到PA=2EP，根据勾股定理可求得PE，PA的值，从而可得到PE+PB的最小值．
解答：解：当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值．
过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB．
∵∠B=120°
∴∠CAB=30°
∴PA=2EP
∵AB=2，E是AB的中点
∴AE=1
在Rt△APE中，PA2﹣PE2=1
∴PE=，PA=
∴PE+PB=PE+PA=．
故答案为．
点评：本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补．勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使PE+PB成为最小值．
19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= 45 度．
考点：菱形的性质；等边三角形的判定。
专题：计算题。
分析：首先证明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，证明△AEF是等边三角形，最后可求出∠AFD，∠CFE的度数．
解答：解：连接AC，
∵菱形ABCD，∴AB=AC，∠B=∠D=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120°
∴AB=AC，∠ACF=∠BCD=60°，
∴∠B=∠ACF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，
又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE与△ACF中
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，
又∠AFD=180°﹣45°﹣60°=75°，
则∠CFE=180°﹣75°﹣60°=45°．
故答案为45．
点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理．
三．解答题（共7小题）
20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．
（1）求点D的坐标；
（2）求经过点C的反比例函数解析式．
考点：菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式。
专题：代数几何综合题；数形结合。
分析：（1）菱形的四边相等，对边平行，根据此可求出D点的坐标．
（2）求出C点的坐标，设出反比例函数的解析式，根据C点的坐标可求出确定函数式．
解答：解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OB=3，OA=4，
∴AB=5．
在菱形ABCD中，AD=AB=5，
∴OD=1，
∴D（0，﹣1）．
（2）∵BC∥AD，BC=AB=5，
∴C（﹣3，﹣5）．
设经过点C的反比例函数解析式为y=．
把（﹣3，﹣5）代入解析式得：k=15，
∴y=．
点评：本题考查菱形的性质，四边相等，对边平行，以及待定系数法求反比例函数解析式．
21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．
求证：DE=BE．
考点：菱形的性质。
专题：证明题。
分析：由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得BD⊥AC，∠DBC=30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得DE=BE．
解答：证明：
法一：如右图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，∠DBC=30°，
∵DE∥AC，
∴DE⊥BD，
即∠BDE=90°，
∴DE=BE．
法二：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AD∥BC，AC=AD，
∵AC∥DE，
∴四边形ACED是菱形，
∴DE=CE=AC=AD，
又四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
∴BC=EC=DE，即C为BE中点，
∴DE=BC=BE．
点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求线段BE的长．
考点：菱形的性质。
分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°；
（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．
解答：解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°；（4分）
（2）由（1）可知BD=AB=4，
又∵O为BD的中点，
∴OB=2（6分），
又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=1．（8分）
点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握．
23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。
分析：（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明△ABE与△CBF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C，
∵BE⊥AD、BF⊥CD，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF．
（2）解：如图，
∵对角线AC=8，BD=6，
∴对角线的一半分别为4、3，
∴菱形的边长为=5，
菱形的面积=5BE=×8×6，
解得BE=．
点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法．
24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
专题：证明题；动点型。
分析：（1）可先证△BCE≌△DCE得到∠EBC=∠EDC，再根据AB∥DC即可得到结论．
（2）当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD，证明S△ADP=×AB•DP=S菱形ABCD即可．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD，AC平分∠BCD（2分）
∵CE=CE
∴△BCE≌△DCE（4分）
∴∠EBC=∠EDC
又∵AB∥DC
∴∠APD=∠CDP（5分）
∴∠EBC=∠APD（6分）
（2）解：当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD．（8分）
理由：连接DB
∵∠DAB=60°，AD=AB
∴△ABD等边三角形（9分）
∵P是AB边的中点
∴DP⊥AB（10分）
∴S△ADP=AP•DP，S菱形ABCD=AB•DP（11分）
∵AP=AB
∴S△ADP=×AB•DP=S菱形ABCD
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的．（12分）
点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD是难点．
25．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连接 AF ；
（2）猜想： AF = AE ；
（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：几何综合题。
分析：观察图形应该是连接AF，可通过证△AFB和△ADE全等来实现AF=AE．
解答：解：（1）如图，连接AF；
（2）AF=AE；
（3）证明：四边形ABCD是菱形．
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABF=∠ADE，
在△ABF和△ADE中
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE．
点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明．
26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．
考点：菱形的性质；矩形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）设经过x秒后，四边形AQCP是菱形，根据菱形的四边相等列方程即可求得所需的时间．
（2）根据第一问可求得菱形的边长，从而不难求得其周长及面积．
解答：解：（1）经过x秒后，四边形AQCP是菱形
由题意得16+x2=（8﹣x）2，解得x=3
即经过3秒后四边形是菱形．
（2）由第一问得菱形的边长为5
∴菱形AQCP的周长=5×4=20（cm）
菱形AQCP的面积=5×4=20（cm2）
点评：此题主要考查菱形的性质及矩形的性质的理解及运用．
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
一．选择题（共4小题）
1．（如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）
2．（菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（ ）
A．15 B． C．7.5 D．
二．填空题（共15小题）
5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是 _________ cm2．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．
7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．
6题图 7题图 8题图 9题图
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为 _________ ．
9．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________ 度．
10．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________ 度．
10题图 12题 13题图 14题图
11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 _________ ．
12．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在 _________ 点．
13．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 _________ cm．
14．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 _________ ．
15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为 _________ cm2．
16．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是 _________ cm2．
17．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 _________ ．
17题图 18题图 19题图
18．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 _________ ．
19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= _________ 度．
三．解答题（共7小题）
20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．
（1）求点D的坐标；
（2）求经过点C的反比例函数解析式．
21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．
求证：DE=BE．
22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求线段BE的长．
23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？
25．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连接 _________ ；
（2）猜想： _________ = _________ ；
（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）
26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．
答案与评分标准
一．选择题（共4小题）
1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）
考点：菱形的性质；坐标与图形性质。
专题：数形结合。
分析：此题可过P作PE⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出．
解答：解：过P作PE⊥OM，
∵顶点P的坐标是（3，4），
∴OE=3，PE=4，
∴OP==5，
∴点M的坐标为（5，0），
∵5+3=8，
∴点N的坐标为（8，4）．
故选A．
点评：此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．
2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
考点：菱形的性质；等边三角形的判定。
分析：根据菱形的性质，求出菱形的边长，由菱形的两边和较短的对角线组成的三角形是等边三角形，进而求出较短的对角线长．
解答：解：如图，∵四边形ABCD为菱形，且周长为4，
∴AB=BC=CD=DA=1，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC=1．
故选C．
点评：本题既考查了菱形的性质，又考查了等边三角形的判定，是菱形性质应用中一道比较典型的题目．
3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
考点：菱形的性质；含30度角的直角三角形。
分析：根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．
解答：解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1．
故选C．
点评：此题主要考查的知识点：
（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；
（2）菱形的两个邻角互补．
4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（ ）
A．15 B． C．7.5 D．
考点：菱形的性质。
分析：先求出∠A等于60°，连接BD得到△ABD是等边三角形，所以BD等于菱形边长．
解答：解：连接BD，∵∠ADC=120°，
∴∠A=180°﹣120°=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=15．
故选A．
点评：本题考查有一个角是60°的菱形，有一条对角线等于菱形的边长．
二．填空题（共15小题）
5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是 3 cm2．
考点：菱形的性质。
分析：由知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．
解答：解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，
∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．
故答案为：3．
点评：此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线乘积的一半．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ．
考点：菱形的性质；点到直线的距离；勾股定理。
分析：因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．
解答：解：∵AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，
∴AB=5．
AO•BO=AB•OH，
OH=．
故答案为：．
点评：本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH．
7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 2 cm2．
考点：菱形的性质；勾股定理。
分析：因为DE丄AB，E是AB的中点，所以AE=1cm，根据勾股定理可求出BD的长，菱形的面积=底边×高，从而可求出解．
解答：解：∵E是AB的中点，
∴AE=1cm，
∵DE丄AB，
∴DE==cm．
∴菱形的面积为：2×=2cm2．
故答案为：2．
点评：本题考查菱形的性质，四边都相等，菱形面积的计算公式以及勾股定理的运用等．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为 60 ．
考点：菱形的性质；勾股定理。
专题：数形结合。
分析：因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB，然后利用平行四边形的判定及性质就可以求出△BDE的周长．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=13，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=5，
∴OB==12，BD=2OB=24，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=BC=13，DE=AC=10，
∴△BDE的周长是：BD+BC+CE+DE=24+10+26=60．
故答案为：60．
点评：本题主要利考查用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决，关键是根据菱形的性质得出AC⊥BD，从而利用勾股定理求出BD的长度，难度一般．
9．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= 65 度．
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：因为AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根据三角形内角和定理求解．
解答：解：∵ABCD是菱形，∴AB=AD．∴∠ABD=∠ADB．
∵∠BAD=80°，∴∠ABD=×（180°﹣80°）=50°．
又∵BE=BO，
∴∠BEO=∠BOE=×（180°﹣50°）=65°．
故答案为：65．
点评：此题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．属基础题．
10．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= 120 度．
考点：菱形的性质。
专题：应用题。
分析：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，从而不难求得∠1的度数．
解答：解：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，则∠1=120°．
故答案为120．
点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．
11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 2或6 ．
考点：菱形的性质。
专题：计算题；分类讨论。
分析：题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以就分两种情况进行分析．
解答：解：①当较长对角线长为2时，则另一对角线长为2；
②当较短对角线长为2时，则另一对角线长为6；
故另一条对角线的长为2或6．
点评：此题主要考查菱形的性质以及勾股定理，做题时注意分两种情况进行分析．
12．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在 B 点．
考点：菱形的性质。
专题：规律型。
分析：根据题意可求得其每走一个循环是8米，从而可求得其行走2009米走了几个循环，即可得到其停在哪点．
解答：解：根据“由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动”可得出，每经过8米完成一个循环，
∵2009÷8=251余1，
∴行走2009米停下，即是在第252个循环中行走了一米，即停到了B点．
故答案为B．
点评：本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论．
13．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 3 cm．
考点：菱形的性质；角平分线的性质。
专题：计算题。
分析：由已知得AC为∠DAB的角平分线，且PE，PF分别到角两边的距离，根据角平分线的性质得到PE=PF．
解答：解：∵ABCD是菱形
∴AC为∠DAB的角平分线
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm．
∴PE=PF=3cm．
故答案为3．
点评：本题考查了菱形的性质及角平分线的性质的运用．
14．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 16 ．
考点：菱形的性质；正方形的性质。
专题：计算题。
分析：根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC=AB，再根据正方形的周长公式计算即可．
解答：解：∵B=60°，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=4
∴正方形ACEF的周长=4×4=16．
16故答案为．
点评：本题考查菱形与正方形的性质．
15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为 96 cm2．
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：根据已知可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到其面积．
解答：解：设两条对角线长分别为3x，4x，
根据勾股定理可得（）2+（）2=102，
解之得，x=4，
则两条对角线长分别为12cm、16cm，
∴菱形的面积=12×16÷2=96cm2．
故答案为96．
点评：主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．
16．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是 120 cm2．
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：已知菱形的周长以及一条对角线的长，根据菱形的性质利用勾股定理可求得另一对角线的长度，然后易求得菱形的面积．
解答：解：由题意可得，AD=13cm，OA=12cm，
根据勾股定理可得，OD=5cm，则BD=10cm，则它的面积是24×10×=120cm2．
故答案为：120．
点评：此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．
17．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 2.5 ．
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
解答：解：阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积=AC•BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故答案为2.5．
点评：本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．
18．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质。
专题：动点型。
分析：过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB，根据已知得到PA=2EP，根据勾股定理可求得PE，PA的值，从而可得到PE+PB的最小值．
解答：解：当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值．
过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB．
∵∠B=120°
∴∠CAB=30°
∴PA=2EP
∵AB=2，E是AB的中点
∴AE=1
在Rt△APE中，PA2﹣PE2=1
∴PE=，PA=
∴PE+PB=PE+PA=．
故答案为．
点评：本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补．勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使PE+PB成为最小值．
19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= 45 度．
考点：菱形的性质；等边三角形的判定。
专题：计算题。
分析：首先证明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，证明△AEF是等边三角形，最后可求出∠AFD，∠CFE的度数．
解答：解：连接AC，
∵菱形ABCD，∴AB=AC，∠B=∠D=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120°
∴AB=AC，∠ACF=∠BCD=60°，
∴∠B=∠ACF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，
又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE与△ACF中
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，
又∠AFD=180°﹣45°﹣60°=75°，
则∠CFE=180°﹣75°﹣60°=45°．
故答案为45．
点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理．
三．解答题（共7小题）
20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．
（1）求点D的坐标；
（2）求经过点C的反比例函数解析式．
考点：菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式。
专题：代数几何综合题；数形结合。
分析：（1）菱形的四边相等，对边平行，根据此可求出D点的坐标．
（2）求出C点的坐标，设出反比例函数的解析式，根据C点的坐标可求出确定函数式．
解答：解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OB=3，OA=4，
∴AB=5．
在菱形ABCD中，AD=AB=5，
∴OD=1，
∴D（0，﹣1）．
（2）∵BC∥AD，BC=AB=5，
∴C（﹣3，﹣5）．
设经过点C的反比例函数解析式为y=．
把（﹣3，﹣5）代入解析式得：k=15，
∴y=．
点评：本题考查菱形的性质，四边相等，对边平行，以及待定系数法求反比例函数解析式．
21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．
求证：DE=BE．
考点：菱形的性质。
专题：证明题。
分析：由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得BD⊥AC，∠DBC=30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得DE=BE．
解答：证明：
法一：如右图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，∠DBC=30°，
∵DE∥AC，
∴DE⊥BD，
即∠BDE=90°，
∴DE=BE．
法二：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AD∥BC，AC=AD，
∵AC∥DE，
∴四边形ACED是菱形，
∴DE=CE=AC=AD，
又四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
∴BC=EC=DE，即C为BE中点，
∴DE=BC=BE．
点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求线段BE的长．
考点：菱形的性质。
分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°；
（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．
解答：解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°；（4分）
（2）由（1）可知BD=AB=4，
又∵O为BD的中点，
∴OB=2（6分），
又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=1．（8分）
点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握．
23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。
分析：（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明△ABE与△CBF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C，
∵BE⊥AD、BF⊥CD，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF．
（2）解：如图，
∵对角线AC=8，BD=6，
∴对角线的一半分别为4、3，
∴菱形的边长为=5，
菱形的面积=5BE=×8×6，
解得BE=．
点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法．
24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
专题：证明题；动点型。
分析：（1）可先证△BCE≌△DCE得到∠EBC=∠EDC，再根据AB∥DC即可得到结论．
（2）当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD，证明S△ADP=×AB•DP=S菱形ABCD即可．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD，AC平分∠BCD（2分）
∵CE=CE
∴△BCE≌△DCE（4分）
∴∠EBC=∠EDC
又∵AB∥DC
∴∠APD=∠CDP（5分）
∴∠EBC=∠APD（6分）
（2）解：当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD．（8分）
理由：连接DB
∵∠DAB=60°，AD=AB
∴△ABD等边三角形（9分）
∵P是AB边的中点
∴DP⊥AB（10分）
∴S△ADP=AP•DP，S菱形ABCD=AB•DP（11分）
∵AP=AB
∴S△ADP=×AB•DP=S菱形ABCD
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的．（12分）
点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD是难点．
25．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连接 AF ；
（2）猜想： AF = AE ；
（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：几何综合题。
分析：观察图形应该是连接AF，可通过证△AFB和△ADE全等来实现AF=AE．
解答：解：（1）如图，连接AF；
（2）AF=AE；
（3）证明：四边形ABCD是菱形．
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABF=∠ADE，
在△ABF和△ADE中
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE．
点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明．
26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．
考点：菱形的性质；矩形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）设经过x秒后，四边形AQCP是菱形，根据菱形的四边相等列方程即可求得所需的时间．
（2）根据第一问可求得菱形的边长，从而不难求得其周长及面积．
解答：解：（1）经过x秒后，四边形AQCP是菱形
由题意得16+x2=（8﹣x）2，解得x=3
即经过3秒后四边形是菱形．
（2）由第一问得菱形的边长为5
∴菱形AQCP的周长=5×4=20（cm）
菱形AQCP的面积=5×4=20（cm2）
点评：此题主要考查菱形的性质及矩形的性质的理解及运用．
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