初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数综合与测试同步训练题

这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数综合与测试同步训练题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。



一、单选题


1．若函数y＝（3﹣m）﹣x+1是二次函数，则m的值为（ ）


A．3B．﹣3C．±3D．9


2．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）


A．图像与轴的交点坐标为B．图像的对称轴在轴的右侧


C．当时，的值随值的增大而减小D．的最小值为-3


3．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）


A．y=（x+1）2+4B．y=（x﹣1）2+4


C．y=（x+1）2+2D．y=（x﹣1）2+2


4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( )





A．①④B．①②C．②③④D．②③


5．已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）


A．B．C．D．


6．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）





A．1B．2C．3D．4


7．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )


A．B．C．D．


8．已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）


A．m≤5B．m≥2C．m＜5D．m＞2


9．如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的





A．B．C．D．


10．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）





A．B．


C．D．








二、填空题


11．已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是_____．


12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.





13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为________．





14．如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是_____．





15．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．





16．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．








三、解答题


17．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．


（1）求二次函数与一次函数的解析式；


（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．





18．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.


（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；


（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；


（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.


19．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．


（1）求该抛物线的解析式；


（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；


（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．





20．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．


（1）求出y与x的函数关系式；


（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？


（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？


21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．


（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；


（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；


（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．





22．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．





（1）求二次函数的表达式；


（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；


（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．


参考答案


1．B


根据二次函数的定义，可知 m2-7=2 ，且 3-m≠0 ，解得 m=-3 ，所以选择B.


2．D


详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，


∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，


该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，


当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，


当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，


3．D


本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．


4．D


①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；


②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；


③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；


④设函数解析式为：，


把代入得，解得，


∴函数解析式为，


把代入解析式得，，


解得：或，


∴小球的高度时，或，故④错误；


5．D


∵抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，


∴△=4﹣4（k+1）＞0，


解得k＜0，


∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一二四象限，


反比例函数y=的图象在第二四象限，


故选D．





6．C


∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，


∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．


∴当x=-1时，y＞0，


即a-b+c＞0，所以①正确；


∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，


∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；


∵抛物线的顶点坐标为（1，n），


∴=n，


∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；


∵抛物线与直线y=n有一个公共点，


∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，


∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．


7．B


解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，


∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），


∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．


将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．


当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，


∴得到的新抛物线过点（-3，0）．


8．A


解∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，


∴△=(-1) 2-4×1×( m-1)≥0，


解得：m≤5，


9．D


解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，


∴∠AOB=∠A=45°，


∵CD⊥OB，


∴CD∥AB，


∴∠OCD=∠A，


∴∠AOD=∠OCD=45°，


∴OD=CD=t，


∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．


10．B


①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y==；


②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，


y==；


③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选B．


11．k＜4


∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0，图象的开口向上，


又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，


∴抛物线y=x2﹣4x+k的图象与x轴有两个交点，


∴△>0，即（-4）2-4k>0，


∴k＜4，


12．4-4


建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，





抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为


通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入A点坐标


代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为


当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：


当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，


可以通过把代入抛物线解析式得出：


解得：


所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了


故答案是：


13．或


解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,对称轴为直线x=1,


根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,


∴关于的一元二次方程的根为或.


14．或．


解：∵抛物线与直线交于，两点，


∴，，


∴抛物线与直线交于，两点，


观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，





∴不等式的解集为或．


故答案为或．


15．②③


详解：①当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，


∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；


②当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，


∴当x＜0时，M=y1，


∴M随x的增大而增大，结论②正确；


③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，


∴M的最大值为4，


∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；


④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，


解得：x1=2-（舍去），x2=2+；


当M=y2=2时，有2x=2，


解得：x=1．


∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误．


综上所述：正确的结论有②③．


故答案为：②③．


16．


连接AC,与对称轴交于点P,





此时DE+DF最小，


点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，





在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时，


当时，或


即








点P是抛物线对称轴上任意一点，


则PA=PB,


PA+PC=AC,


PB+PC=


DE+DF的最小值为：


故答案为


17．（1）抛物线解析式为y=x2+4x+3，一次函数解析式为y=﹣x﹣1；（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x﹣4或x≥﹣1．


解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），


∴0=1+m，∴m=﹣1，


∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，


∴点C坐标为（0，3），


∵抛物线的对称轴是直线x=﹣2，且B、C关于对称轴对称，


∴点B坐标为（﹣4，3），


∵y=kx+b经过点A、B，


∴，解得，


∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，


（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．

















18．


（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；


（2）由于二次函数的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；


（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．


试题解析：（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；


（2）解：∵二次函数的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；


（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．


19．


解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，


∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，


∴﹣1+3=﹣b，


﹣1×3=c，


∴b=﹣2，c=﹣3，


∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．


（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，


∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．


（3）设P的纵坐标为|yP|，


∵S△PAB=8，


∴AB•|yP|=8，


∵AB=3+1=4，


∴|yP|=4，


∴yP=±4，


把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，


解得，x=1±2，


把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，


解得，x=1，


∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．


20．


(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.


把(22，36)与(24，32)代入，得


解得


∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）.


(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得


(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.


解得x1＝25，x2＝35(舍去)．


答：每本纪念册的销售单价是25元．


(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.


∵售价不低于20元且不高于28元，


当x＜30时，y随x的增大而增大，


∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．


答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．


21．


解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），


即y=ax2﹣2ax﹣3a，


∴﹣2a=2，解得a=﹣1，


∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；


当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），


设直线AC的解析式为y=px+q，


把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，


∴直线AC的解析式为y=3x+3；


（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，


∴顶点D的坐标为（1，4），


作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），





∵MB=MB′，


∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，


而BD的值不变，


∴此时△BDM的周长最小，


易得直线DB′的解析式为y=x+3，


当x=0时，y=x+3=3，


∴点M的坐标为（0，3）；


（3）存在．


过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，





∵直线AC的解析式为y=3x+3，


∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，


把C（0，3）代入得b=3，


∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，


解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；


过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，


把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，


∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，


解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.


综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）.


22．解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，





解得：b=﹣4，c=3，


∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；


（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，


解得：x=1或x=3，


∴B（3，0），


∴BC=3，


点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，


①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3


∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；


②当PB=PC时，OP=OB=3，


∴P3（0，-3）；


③当BP=BC时，


∵OC=OB=3


∴此时P与O重合，


∴P4（0，0）；


综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；





（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，


∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，


当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．