北师大版九年级数学下册同步精品讲义 第07讲 确定二次函数的表达式（原卷版）

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第07讲 确定二次函数的表达式目标导航知识精讲知识点 用待定系数法求二次函数解析式1．二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．2．确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．注意：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．能力拓展考法01 用待定系数法求二次函数解析式【典例1】若二次函数的图像经过原点，则m的值为（       ）A．0 B．2 C．0或者2 D．无法确定【答案】C【解析】解：∵二次函数的图像经过原点，∴，解得0或者2，故C正确．故选：C．【即学即练】已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（       ）A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1【答案】A【解析】解：根据题意得，解得：，∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．故选：A．【典例2】已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（       ）A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2【答案】B【解析】解：根据题意得，解得a＝1，b＝﹣2．故选：B．【即学即练】已知二次函数（a、b是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解二次函数（、是常数，）的图象经过点和，∴，解得：，∴，∴二次函数的顶点坐标为，最大值为1，∵当时，函数的最小值为，最大值为1，∴令，则，解得：，，∴，故选：C．考法02 用待定系数法解题【典例3】“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(            )A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟【答案】C【解析】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:②－①和③－②得⑤－④得,解得a=﹣0.2．将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．对称轴=．故选C．【即学即练】运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）近似满足函数关系．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻是（       ）A．4 B．4.5 C．5 D．6【答案】B【解析】由题意得，点(3,18)、(5,20)、(7,14)在抛物线上，∴ ，∴，∴抛物线解析式为，∴当时，足球飞行达到最高点，故选B．【典例4】你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为，距地面均为，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离、处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（ ）A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m【答案】B【解析】设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知，函数的图象过（-1，1），（0，1.5），（3，1）三点，易求其解析式为y=- x2+ x+ ,∵丁头顶的横坐标为1.5，∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625m.故选B.【典例5】心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（　　）A．y=﹣（x﹣13）2+59.9 B．y=﹣0.1x2+2.6x+31C．y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D．y=﹣0.1x2+2.6x+43【答案】D【解析】解：设抛物线解析式为：y=a（x-13）2+59.9，将（30，31）代入得：31=a（30-13）2+59.9，解得：a=-0.1，故：y=-0.1（x-13）2+59.9=-0.1x2+2.6x+43．故选：D．分层提分题组A 基础过关练1．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（       ）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5【答案】A【解析】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，∴c＝﹣5①，a﹣b+c＝﹣4②，4a﹣2b+c＝5③，解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．故选：A．2．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】依题：抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，∴ B（0，c），∴ OB＝c，∵ OA＝OB，∴ OA＝c，∴ A（c，0），∴﹣c2+2c+c＝0，解得c＝3或c＝0（舍去），故选：D3．二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下：则代数式的值为（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】解：由表格数据可知，当x=-2或0时，y=−2；∴（-1，-3）是抛物线的顶点，∴y=a(x+1)2−3把x=0，y=-2代入得a=1，∴y=(x+1)2−3= ∴a=1，,b=,2,c=-2∴9a−3b= 9×1−3×2=3.故选：A4．已知：抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB=OA，若点C（-3，b）在抛物线上，则△ABC的面积为（　　）A．3B．3.5C．4D．4.5【答案】A【解析】∵抛物线的顶点为A，∴顶点A为(−1,0)，∵图象与y轴负半轴交点为B，且OB=OA，∴B点坐标为(0,−1)，代入解得a=−1，∴抛物线，∵点C(−3,b)在抛物线上，∴b=−4，如图，△ABC的面积=×(1+4)×3−×1×1−×2×4=3.故选A.5．把y=-x2-4x+2化成y=a（x+m）2 +n的形式是（ ）A．y=-（x-2）2-2 B．y=-（x-2）2+6C．y=-（x+2）2-2 D．y=-（x+2）2+6【答案】D【解析】试题分析：把y=-x2-4x+2化成y=a（x+m）2 +n的形式是y=-（x2+4x）+2=-（x+2）2+6,故选D.6．抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），交y轴于点C，直线经过点C，点B（3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：①抛物线对称轴是直线；②；③时，；④若，则．其中正确的个数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：由题意得：点A、B关于对称轴对称，则抛物线的对称轴为直线，故①正确；把点A（－1，0）代入解析式得：，故②正确；由图象可知当时，，故③正确；由，点A（－1，0），点B（3，0）可设二次函数解析式为，∴，∴当x=0时，则，∴点，把点B、C的坐标代入一次函数解析式得：，解得：，故④正确；综上所述：正确的个数有4个，故选：D．7．已知点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，则______．【答案】-12【解析】解：∵点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，∴a=-2×32+2×3=-18+6=-12，故答案为：-12．8．二次函数y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为_____．【答案】-1【解析】解：∵点（0，0）在抛物线y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1上，∴m2﹣1＝0，解得m1＝1或m2＝﹣1，∵m＝1不合题意，∴m＝1，故答案为：﹣1．9．已知：二次函数的图象经过点．(1)求b；(2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式．【答案】(1)2(2)(1)解：把点代入得，，解得，．(2)解：，，，．10．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．（1）求b，c的值；（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；【答案】（1），；（2）交点M的坐标为（2，-3）．【解析】解：（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得：，解得：，∴，；（2）设直线AB的解析式为：，将点A、点B坐标代入函数解析式可得：，解得：，∴一次函数解析式为：，由（1）得二次函数解析式为：，对称轴为：，直线与的交点为M，∴当时，，∴交点M的坐标为（2，-3）．题组B 能力提升练1．在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（     ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，∴抛物线沿y轴翻折后顶点坐标为(2，-1)，此时抛物线的开口向下，∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为，化简后为：．故选：C．2．抛物线经过点，，，则当时，y的值为（       ）．A．6 B．1 C．-1 D．-6【答案】D【解析】解：由题意可得：，解得：，∴抛物线解析式为，当时，则；故选D．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c(c>0)与x轴交于A(x1，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，若BC=，则tan∠DAB的值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：连接BC，在Rt△OBC中，OC=，∴点C的坐标为（0，2）．把B(1，0)，C（0，2）代入y=−x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=−x2x+2，令y=0，则−x2x+2=0，解得：x1=-3，x2=1，∴点A的坐标为（-3，0）．则对称轴为直线x=-=-1，y=，∴顶点D的坐标为（-1，）．设对称轴与x轴交于点H，∴AH=3-1=2，在Rt△ADH中，tan∠DAB=tan∠DAH=，故选：D．4．在平面直角坐标系中，抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的，它们的交点坐标为（－1，a），若抛物线C1表达式为，则抛物线C2的顶点坐标为（       ）A．（－4，n－9m） B．（－4，9m－n） C．（－5，n－9m） D．（－5，9m－n）【答案】C【解析】解：∵，∴，∴抛物线C1的顶点坐标为（3，n－9m），∵（－1，a）在抛物线C1的图象上，∴，解得，∵抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的，∴设抛物线C2的解析式为，∵（－1，a）也在抛物线C2的图象上，∴，∴，∵，∴解得或，∴抛物线C2的顶点坐标为（－5，n－9m）或（3，n－9m）（点C1，舍去），故选：C5．某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值计算出相应的函数值y，如下表所示：接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵x＝1和x＝3时，y＝0；x＝0和x＝4时y=-3；∴抛物线的对称轴为直线x＝，设抛物线解析式为,代入坐标（0，-3）得，∴解得抛物线当时，∴顶点坐标为（2， 1），∴错误．故选：B．6．将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：由题意，原抛物线顶点为，过点，∴设原抛物线解析式为：，将代入得：，∴，∴原抛物线解析式为，∴将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到，故选：B．7．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______．（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______．【答案】     3或1     2【解析】解：（1）∵二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位，∴，∵平移后的二次函数图象经过点，∴，解得，故答案为3或1；（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，∴，∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．故答案为2．8．若抛物线y=x2+4x+n2经过点（m，-4）和（-m，k），则k的值是_____．【答案】12【解析】解：∵抛物线y=x2+4x+n2经过点（m，-4）和（-m，k），∴m2+4m+n2=-4①，m2-4m+n2=k②，由①得n2=-（m+2）2，∴n=0，m+2=0，∴m=-2，把m=-2，n=0代入②得k=12，故答案为：12．9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当0＜x＜3时，则y的取值范围．【答案】(1)；（1，-4）；(2)【解析】（1）解：把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为；∵，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；（2）解：由（1）抛物线的对称轴为直线x=1，∵抛物线的开口向上，∴当x=1时，二次函数有最小值-4，且当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=0，∴当0＜x＜3时，则y的取值范围为．10．（1）已知二次函数①求出函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向②列表，在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象（2）物线过，两点，与轴的交点为，求抛物线的解析式．【答案】（1）①函数图象顶点坐标、对称轴直线，开口向上；②见解析；（2）【解析】解：，函数图象顶点坐标、对称轴直线，开口向上；过，两点，与轴的交点为，用交点式，则表达式为：，把代入得：，解得，故函数解析式为：．题组C 培优拔尖练1．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】解：把A（0，1）、B（8，2）分别代入y=a（x﹣h）2+k（a＞0）得，②﹣①得64a﹣16ah=1，解得＞0，所以h＜4．故选：A．2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：那么关于它的图象，下列判断正确的是（       ）A．开口向上 B．与x轴的另一个交点是(3，0)C．与y轴交于负半轴 D．在直线x＝1的左侧y随x的增大而减小【答案】B【解析】解：由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为．将（-1，0）代入，得，解得a=-1．即：对称轴为：A、∵a=-1＜0，∴抛物线的开口方向向下，故本选项A错误；B．x＝﹣1时，y＝0，根据函数的对称性，x＝3时，y＝0，故x＝3是方程ax2+bx+c＝0的一个解正确，符合题意；C．x＝0，y＝3，故与y轴交于正半轴，故本选项C错误，不符合题意；D．在直线x＝1左侧y随x的增大而增大，故本选项D错误，不符合题意；故选B．3．二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（     ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设将二次函数的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：∵二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点∴的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点∴ ∴，∴，∴∴∴ ∴故选：C．4．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（   ）A．5 B．7 C．12 D．﹣7【答案】B【解析】∵二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，∴，解得：，将b＝4，c＝5代入方程﹣+bx+c+d＝0，得：﹣+4x+5+d＝0，又∵关于x的方程﹣+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，∴把x＝6代入方程﹣+4x+5+d＝0，得：﹣36+4×6+5+d＝0，解得：d＝7，经验证d＝7时，△＞0，符合题意，∴d＝7．故选：B．5．若抛物线与轴只有一个公共点，且过点，，则的值为（       ）A．9 B．6 C．3 D．0【答案】A【解析】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m+6，n)，∴该抛物线的对称轴是直线：x=m+3，∴设抛物线解析式为y=(x-m-3)2，把A(m，n)代入，得n=(m-m-3)2，解得n=9．故选A．6．如图，抛物线与交于点，且抛物线经过原点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．则下列结论中，正确的是（       ）A． B． C．当时， D．【答案】D【解析】解：经过点与原点，解得，故A、B选项错误；经过点，，解得，，当时，，此时，故C选项错误；过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，令，则，整理得，，解得，，，，整理得，，解得，，，，故D选项正确．故选：D．7．（1）抛物线必过__________点．（2）若二次函数经过原点，则__________，则它的解析式是__________．（3）若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是__________．（4）若二次函数的最大值是3，则__________．【答案】     原点     2          4     ．【解析】解：（1） 当时，则 抛物线必过原点．（2） 二次函数经过原点， 则它的解析式是．（3） 抛物线的顶点在x轴上， （4） 二次函数的最大值是3，＜且 经检验：它们都是原方程的根，但不合题意，舍去， 故答案为：（1）原点；（2）；（3）；（4）8．如图，正方形是边长为的正方形，点在轴上，点，在抛物线的图象上，则的值为______．【答案】【解析】解：如图，连接AC，交y轴于点D，∵四边形OABC是边长为的正方形，∴CD＝AC，OD＝BD，AC＝BD，AC⊥BD，∴CD＝OD，∠ODC＝90°，∴设CD＝OD＝x，又∵OC＝2，∴在RtODC中，，即：，解得：（舍负），∴CD＝OD＝，又∵点C在第四象限，∴点C的坐标为（，－），将点C（，－）代入，得：，解得：，故答案为：．9．已知抛物线（m为常数）与y轴的交点为C点．(1)若抛物线经过原点，求m的值；(2)若点和点在抛物线上，求C点的坐标；(3)当，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式．【答案】(1)m=0(2)C点坐标为（0，16）(3)或【解析】（1）解∶当抛物线经过点（0，0）时，有，解之得m=0；（2）解∶和点在抛物线上，∴对称轴为，∴即，，，∴C点坐标为（0，16）；（3）解∶ 抛物线的开口向上，对称轴为x=-m的抛物线，①若，即m>0时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大，∴当x=2m时，为最小值，，或（舍）二次函数的解析式为．②若即，当时，代入，得y最小值为，（舍）或（舍）③若，即，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小，∴当时，代入二次函数的解析式为中，得y最小值为，，（舍）或，∴二次函数的解析式为．综上所述，二次函数的解析式为或．10．已知二次函数 ，其中．(1)当该函数的图像经过原点O（0，0），求此时函数图像的顶点的坐标；(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)当时，此时，面积有最大值，最大值为【解析】（1）将代入，解得．由，则符合题意，∴，∴顶点A的坐标为．（2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函数的顶点在第三象限．（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为当时，，∴．将代入，解得．∵在轴的负半轴上，∴．∴．过点作，垂足为，∵，∴．在中，，∴当时，此时，面积有最大值，最大值为．课程标准1.会用待定系数法确定二次函数的表达式；2.能根据条件恰当地选取二次函数表达式，能进行二次函数不同的表达形式之间的转化。…01……1…x…01234…y…－30－10－3…x……﹣1012……y……0343……