【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）9锐角三角函数应用.学生版

模块一  解直角三角形

一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．

二、直角三角形的边角关系

如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：

（1）三边之间的关系： (勾股定理)

（2）锐角之间的关系：

（3）边角之间的关系：

三、   解直角三角形的四种基本类型

（1）已知斜边和一直角边(如斜边，直角边)，由求出，则， ；

（2）已知斜边和一锐角(如斜边，锐角)，求出，，；

（3）已知一直角边和一锐角(如和锐角)，求出，，；

（4）已知两直角边(如和)，求出，由，得．

具体解题时要善于选用公式及其变式，如可写成，等．

四、解直角三角形的方法

解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；

当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．

五、解直角三角形的技巧及注意点

在中，，故，．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．

六、如何解直角三角形的非基本类型的题型

对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；

（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；

（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．

【例1】         在三角形中，则的长度为（     ）

A．      B．       C．       D．

【巩固】根据下列条件解直角三角形：已知中，，，．

【巩固】根据下列条件不能解直角三角形的是（     ）

①已知一直角边及其所对锐角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；

⑤已知一直角边和一斜边．

A．②            B．①③          C．①④          D．②⑤

【例2】         根据下列条件解直角三角形：已知中，，，．

【巩固】根据下列条件解直角三角形：已知中，， ，．

【例3】         如图，在中，已知，如果，求的长度

【巩固】如图所示，在中，，是边上的一点，且，求 和的值．

【例4】         如图，在中，已知，求中各内角的度数

【巩固】在中，那么等于（     ）

A．           B．或         C．或        D．

【例5】         菱形的边长是,有一个内角为，则较短的对角线是（      ）

A．          B．         C．          D．

【巩固】若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为，则平行四边形的面积是（    ）A．150              B．             C．9             D．7

【例6】         已知：如图，中，，是上一点，，求的度数及的长．

模块二  解直角三角形应用

七、直角三角形中其他重要概念

（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．

（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．

（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．

八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：

（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；

（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；

（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；

（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．

（一）仰角与俯角

【例7】         如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球．是地面上相距米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角，仰角，求汽球的高度（精确到0．1米，=1．732）

【巩固】如图所示，天空中有一静止的广告气球，从地面点测得的仰角为，从地面点测得 的仰角为．已知米，点和直线在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．

（二）坡度与坡角

【例8】         如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角．

（1）求的度数；

（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：）．

【巩固】我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．，斜坡米，坡角，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚不动，从坡顶沿削进到处，问至少是多少米（结果保留根号）？

【例9】         如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的坡角为，设台阶的起点为，斜坡的起点为，求的长度（精确到）

【巩固】如图，某建筑物直立于水平地面，米，，要建造阶梯，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最高要建多少阶？（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算，取1．732）

（三）方位角

【例10】     如图，是某市环城路的一段，都是南北方向的街道，其与环城路的交叉路口分别是．经测量花卉世界位于点的北偏东方向、点的北偏东方向上，

，．

（1）求之间的距离；

（2）求之间的距离．

【巩固】如图所示，某轮船以30海里／时的速度航行，在点处测得海面上的哨所在南偏东，向北航行40分钟后到达点，测得哨所在南偏东，轮船改变为北偏东的航向再航行2小时到达点，若在上存在一点，点在点的南偏东处，且在点的周围有方圆15海里的暗礁区，问轮船从点到点的航行中有无触礁的危险？是否需要改变航向？

（四）其它

【例11】     公园里有一块形如四边形的草地，测得米，，．请你求出这块草地的面积．

1．  直角梯形中，，，则的长为（     ）

A．    B．   C．    D．

2．  如图，公路和公路在处交会，且，点处有一所学校，，假设拖拉机行使时，周围以内会受到噪音的影响，那么当拖拉机在公路上沿的方向以的速度行使时，（1）学校是否会受到噪音的影响？为什么？（2）若学校会受到噪音的影响，受影响的时间是多少？

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1．  在中，，分别是的对边，已知，求

2．  如图，某幢大楼顶部有一块广告牌，甲乙两人分别在相距8米的、两处测得点和点的仰角分别为和，且、、三点在一条直线上，若米，求这块广告牌的高度．（取，计算结果保留整数）

3．  如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以每小时的速度沿东北方向前进，甲船航行到达处，发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东的方向追赶，结果两船在处相遇

（1）甲船从处追上乙船用了多长时间？

（2）甲船追赶乙船的速度是多少？

4．  如图，水坝的横截面为梯形，坝顶宽，坡面，的坡度为，，求水坝的横截面积．