浙江省宁波市鄞州实验中学等五校联考2023-2024学年下学期九年级数学寒假作业检查试题（开学考）（解析版）

这是一份浙江省宁波市鄞州实验中学等五校联考2023-2024学年下学期九年级数学寒假作业检查试题（开学考）（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如果温度上升记作，那么温度下降记作（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相反意义的量，熟练掌握相反意义的量是解题的关键．
根据相反意义的量的概念即可直接作答．
【详解】解：根据正数与负数的表示方法，温度上升记作，说明上升为正，
则温度下降记作，
故选：D．
2. 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．将数据用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案．
【详解】．
故选D．
3. 按疫情防控要求，学校严格执行“一日三检”．小明记录某周周一至周五的展检体温（单位：）结果分别为：36.2，36.0，35.8，36.2，36.3．则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 36.0、36.2B. 36.2、36.2C. 35.8．36.2D. 35.8．36.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数和众数的概念即可得出正确选项．
【详解】解：将小明周一至周五的体温数据从小到大排列为：35.8，36.0，36.2，36.2，36.3，
所以这组数据的中位数为：36.2，
众数：36.2，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握中位数和众数的概念是解题的关键．
4. 若，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质分别判断各个选项即可．
【详解】解：A．，
，故选项符合题意；
B．，
，故选项不符合题意；
C．，
，故选项不符合题意；
D．，
，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从左边看，可得如下图形：
故选：A．
【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．
6. 设，，则，的关系是( )
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断，的关系，可以计算的结果，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，
，
∴，的关系是互为相反数，
故选：．
【点睛】本题主要考查分式的加减混合运算，掌握分式加减法法则是解题的关键．
7. 端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入、两种食品盒中，种食品盒每盒装8个粽子，种食品盒每盒装10个粽子，若现将个粽子分别装入、两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）
A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的实际问题，解题的关键是明确题意列出方程．设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，根据题意列出方程，求解即可．
【详解】解：设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，
根据题意得，，
∵x、y都为正整数，
∴解得，，，，
∴一共有4种分装方式；
故选：B．
8. 如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转45°，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D. 0,2
【答案】D
【解析】
【分析】连接，由正方形的性质和勾股定理得，再由旋转的性质得在轴正半轴上，且，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
正方形的边长为，
，，，
，
将正方形绕原点顺时针旋转后点旋转到的位置，
在轴正半轴上，且，
点的坐标为，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．
9. 如图△OAB，△BCD的顶点A，C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，D在x轴正半轴上，AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，设△AOB，△CBD的面积分别为S1，S2，若S1+S2＝4，则k的值为（ ）
A. 3B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，求出，，利用S1+S2＝4，即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
∵AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，
∴OM＝BM，BN＝DN，
设OM＝a，AM＝b，则点A（a，b），点C（4a，CN），
∵点A、C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴ab＝4a•CN＝k，即，
∴，，
∵S1+S2＝4，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查根据图形面积求反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数比例系数k的几何意义及应用，求出，．
10. 由四个全等矩形围成了一个大正方形ABCD，如图所示．连结CH，延长EF交CH于点G，作PG⊥CH交AB于点P，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设小矩形的宽为3x，则长为6x，先证明△NMH∽△NRC，△HFG∽△HMN， △NMH∽△PQG，再列比例式解出，最后再作比即可．
【详解】解：如图，
∵正方形ABCD中，
∴∠D=90°，AD=CD，
∵，
∴可设小矩形的宽为3x，则长为6x，
∵HM∥CR，
∴△NMH∽△NRC，
∴，
∴，
∴QG=8x，
∵FG∥MN，
∴△HFG∽△HMN，
∴，
∴，
∴FG=x，
∴QG=7x，
∵PG⊥CH，
∴∠PGQ+∠HGQ=90°，
∵∠HFG=90°，
∴∠MHN+∠HGQ=90°，
∴∠MHN=∠PGQ，
∵∠PQG=∠PGQ=90°，，
∴△NMH∽△PQG，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用设参数解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 写出一个比大且比小的整数 _____．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】先对和进行估算，再根据题意即可得出答案．
【详解】解：∵＜2＜3＜4＜，
∴比大且比小的整数有2，3，4.
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，估算出与是解题的关键．
12. 圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积
故答案为：．
13. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．左图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图的数学问题：已知，，，则的度数是_______________；
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】延长DC交AE于点F，直接利用平行线的性质得出∠EAB＝∠EFC＝80°，进而利用三角形的外角得出答案．
【详解】解：如图，延长DC交AE于点F，
∵，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，
∴∠EAB＝∠EFC＝80°，
∴∠E＝110°−80°＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题关键．
14. 某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数图象求出甲车行驶的速度，再根据题意列出一元一次不等式组并求解即可．
【详解】解：根据图象可知甲车的行驶速度是120÷3=40千米/小时．
根据题意得
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键．
15. 如图，在矩形中，点在上，点、点在上，若点与点关于对称，点与点关于对称，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据轴对称的性质可得，，然后求出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出，再根据轴对称的性质可得，，进而得到，根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，再根据等边对等角可得，进而得到，然后用表示出、，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
点与点关于对称，
，，
又，
∴是等腰直角三角形，
，
点与点关于直线对称，
，，
，
∵，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．注意掌握折叠中的对应关系是解此题的关键．
16. 如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，
∵，，
∴
∴AG＝AB＝，
∴BG＝，
∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，
∴∠EGD＝∠HDF
∵∠AGB＝∠EGD，
∴∠AGB＝∠HDF，
在△ABG和△HFD中，，
∴△ABG≌△HFD（AAS），
∴AG＝DH，AB＝HF，
∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，
在△BCM和△FHM中，，
∴△BCM≌△FHM（AAS），
∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，
∴DH＝MH，
∵FH⊥CD，
∴DF＝FM，
∴BG＝DF＝FM＝BM＝，
∴BF＝，
∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形，
∴OM＝，EM＝，
∵BD＝，△BED是直角三角形，
∴EO＝，
∴的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
三、解答题：共66分．
17. （1）计算；
（2）解不等式组：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算和解一元一次不等式组．
（1）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可；
（2）求出每个不等式的解集，取公共部分即可．
【详解】解：（1）
．
（2），
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：．
18. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中确定一点D，连结，使与全等；
（2）在图②中的边上确定一点E，连结，使；
（3）在图③中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使，且相似比为1∶2．
【答案】（1）图见详解
（2）图见详解 （3）图见详解
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（2）根据相似三角形的判定作出图形即可；
（3）作出，的中点，即可．
【小问1详解】
解：如图①中，点，点，点即为所求；
【小问2详解】
解：如图②中，点即为所求；
【小问3详解】
解：如图③，点，点即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19. 如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，点在轴上．
（1）求和的值；
（2）当时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、反比例函数与不等式等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）根据待定系数法即可求得答案；
（2）首先确定点的坐标，结合图像即可得出不等式的解集．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
把代入两个解析式，
可得，，
解得，；
【小问2详解】
由（1）可知，，，
∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
联立一次函数解析式与反比例函数解析式，
可得，
解得或，
∴点的坐标为，
观察函数图像，可知当时，一次函数图像在反比例函数图像上方，
∴当时，的取值范围为．
20. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）200，40
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【小问1详解】
抽取的学生共有：（人）,
参加围棋社的有：（人）;
【小问2详解】
若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有
（人）,
【小问3详解】
设事件为：恰好抽到一男一女
所有等可能出现的结果总数为20个，事件所含的结果数为12个
恰好抽到一男一女概率为．
【点睛】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
21. 我们知道良好的坐姿有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身子上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图1所示，将图1中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且BD与桌沿的交点记为点C
（1）若∠ADB＝53°，∠B＝60°，求A到BD的距离及C、D两点间的距离（结果精确到1cm）．
（2）老师发现小红同学写字姿势不正确，眼睛倾斜至图2的点E，点E正好在CD的垂直平分线上，且∠BDE＝60°，于是要求其纠正为正确的姿势．求眼睛所在的位置应上升的距离．（结果精确到1cm）
参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，．tan53°≈1.33，≈1.41，≈1.73）
【答案】（1）A到BD的距离为24cm，C、D两点间的距离为20cm；（2）眼睛所在的位置应上升的距离为7cm．
【解析】
【分析】（1）由图1知AD=30cm，BC=12cm，过A作于H，则，解直角三角形即可得到A到BD的距离的长，及BH的长；而CD=AH+BH-BC；
（2）过E作，过A作交GE的延长线于F，得到四边形AFGH是矩形，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：（1）过A作AH⊥BD于H（见下图），
则∠AHD=∠AHB＝90°，
又∵由图1得AD＝30，∠ADB＝53°，
∴AH＝AD•sin53°＝30×0.80≈24，DH＝AD•cs53°＝30×0.60＝18，
又∵∠B=60°，
∴BH=≈14，
∴BD=BH+DH=32，
又∵由图1得BC=12，
∴CD=32﹣12=20，
答：A到BD的距离为24cm，C、D两点间的距离为20cm；
（2）过E作EG⊥CD，
过A作AF⊥EG交GE的延长线于F，
则四边形AFGH是矩形，
∴FG＝AH＝24，
∵点E正好在CD的垂直平分线上，
∴DG＝CD＝10，
∵∠EDC＝60°，
∴EG＝DG＝10≈17.3，
∴EF＝FG﹣EG≈7cm，
答：眼睛所在的位置应上升的距离为7cm．
【点睛】本题考查解直角三角形、线段的垂直平分线的性质、视点、视角和盲区等知识，解题的关键是将实际问题抽象为数学问题，并通过做辅助线，构造熟悉的模型，解决实际问题．
22. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．
（1）求证：；
（2）当的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】（1）见解析 （2）正方形的边长为
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，由旋转的性质可得，，据此利用即可证明；
（2）证明是等边三角形，得到，则根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．过点作交的延长线于，求出，设正方形的边长为，则，．再利用勾股定理建立方程求解即可．
小问1详解】
证明，是等边三角形，
，．
由旋转的性质可得，
．即，
．
【小问2详解】
解：由（1）知，，
，
，，
是等边三角形．
．
．
根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．
过点作交的延长线于，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，
，
．
解得，（舍去负值）．
正方形的边长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键．
23. 设二次函数，其中为实数．
（1）若二次函数的图象经过点，求二次函数的表达式；
（2）把二次函数的图象向上平移个单位，使图象与轴无交点，求的取值范围；
（3）若二次函数的图象经过点，点，设，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）的最小值为0
【解析】
【分析】（1）把代入解析式，即可解得a值，即可求解；
（2）先由二次函数交点式求出抛物线的对称轴，从而求得顶点纵坐标为-1，则将二次函数图象向上平移个单位可得顶点纵坐标为，因为图象与轴无交点，所以，即可求解；
（3）因为二次函数的对称轴为直线，设，则，．然后把，代入函数解析式，得．又因为，即可求出的最小值．
【小问1详解】
解：把，代入得
，解得．
∴二次函数的表达式为．
【小问2详解】
解：由二次函数的交点式得二次函数与x轴交点横坐标，，
∴二次函数的对称轴为直线，
把代入解析式得顶点纵坐标为-1．
∴将二次函数图象向上平移个单位可得顶点纵坐标为，
∵图象与轴无交点，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵二次函数的对称轴为直线，不妨设，
∴，．
把，代入函数解析式，得．
因为，所以的最小值为0．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象平移，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象性质是解题词的关键．
24. 如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；
（2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；
（3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则．
【小问1详解】
解：如图所示，连接OA，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵为半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
由知，令半径，则，，
在中，，
在中，，
即；
【小问3详解】
解：在（2）的条件下，，
∴，
∴，
在中，，，
解得，，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80