【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）6平行及角平分类相似.教师版

模块一 平行线类相似

平行线类相似的基本模型有

【例1】         如图，在中，点在线段上，若，则           ．

【难度】星

【解析】过点作的平行线交于，可求出结果．

【答案】

【巩固】如图，在中，，则图中与相似的三角形（除外）有哪些？

【难度】星

【解析】根据三角形相似的判定定理，可知道

【答案】

【拓展】如图，点在射线上，点射线上，且，

．若的面积分别为，则图中三个阴影三角形面积之和为        ．

【难度】星

【解析】由平行得到相似的三角形．已知△A2B1B2，的面积分别为，且两三角形相似，因此可得出，由于与是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为，根据的面积为，可求出的面积，同理可求出和的面积．即可求出阴影部分的面积．

【答案】

∵，的面积分别为
又∵
∴
∴
∴
∴
∵的面积是
∴（等高的三角形的面积的比等于底边的比）
同理可得：，

∴三个阴影面积之和为．

【例2】         如图，已知，，求证：．

【难度】星

【解析】由一个平行得到比例线段，再根据已知条件，以及线段间的等量代换得到，得到证明，得到相等的角，最后得到证明．

【答案】∵

∴，，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

【巩固】在平行四边形中，点为的中点，连接，交于点，则=（　　）

【难度】星

【解析】根据四边形是平行四边形，求证，然后利用其对应边成比例即可求得答案．

【答案】

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
 

【巩固】如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的延长线相交于，求证：．

【难度】星

【解析】根据所要证明的结论，由三点定形法可初步判定需要证明，但根据所给的已知条件无法找到有利的条件得到证明，于是回到题中看看怎么样能利用到已知条件，于是尝试着过作平行线得到证明．

【答案】过作交于，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，∴，

∵，

∴，

∴

∴

【拓展】如图，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则____   ___．

【难度】星

【解析】先介绍常规的解法：

如图，过点作或的平行线均可，不妨以左图为例来说明．

过点作，交于点．

∵，  ∴

∵            ∴

∵             ∴

当然，过点、点作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．

以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法：

看为直线所截，由梅涅劳斯定理可知，

又，，故

上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法．

【答案】

【拓展】如图，是的中线，点在上，是延长线与的交点．

（1）如果是的中点，求证：；

（2）由（1）知，当是中点时，成立，若是上任意一点（与、 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由．

【难度】星

【解析】过点、、作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用

这些基本图形的性质来解题.以下给出种辅助线（还有几种没给

出），解题过程不再给出．

当然，本题也可由梅氏定理直接得出结果．

看被直线所截，由梅氏定理可得

又，，故．

结论依然成立，解法同上（包括用梅氏来解题），不再给出．

【答案】见解析；结论依然成立

模块二 角平分线类相似问题

角平分线类的相似模型如下：

方法点播：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决．

【例1】         如图，是的角平分线，求证：

【难度】星

【解析】由角平分线类的相似模型可作出辅助线：过点作交直线于，再根据平行得到相似的比例线段，最后题目得证．

【答案】过作交直线于．

∵，

∴，

又∵平分，

∴，

∴，

∴，

由可得：，

∴

【巩固】 已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：

【难度】星

【解析】由外角平分线证明相似的模型可作辅助线：过作交直线于，根据平行得到成比例线段，再根据角与角相等的等量代换证明，结论得证．

【答案】过作交直线于

∵，

∴，

又∵平分，

∴，

∴，

∴，

由可得：，

∴

【巩固】在中，线段平分交于点，交斜边上的高于点，过引的平行线交于．求证：．

【难度】星

【解析】在相似问题中遇到证明线段相等的问题时一定要能想到：这个证明可能是由两组成比例线段进行等量代换得到．本题由角平分线得到角相等再由都是直角三角形，可证明一组相似三角形得到一组成比例线段，再根据平行线分三角形两边成比例得到比例线段，最后再根据一组相似三角形得到成比例线段，等量代换得到，题目得证．

【答案】∵平分

∴

∴

∴

又∵

∴

又∵

∴，即

∴

注意：应用比例线段证明两直线平行或两线段相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。（2）要注意比例性质的灵活运用，善于总结比例式变换时的方法和技巧。变化时，要头脑清醒，思路清晰，一个字母也不放过，并且每一步都要有根有据，切不可无根据的乱变，或者相当然地硬变。

【拓展】在中，，平分交于点，求证：．

【难度】星

【解析】解法一：本题可根据角平分线类相似的模型首先试着作出辅助线：过点作的平行线，由于所给平分之后有两个的特殊角，可判定为等边三角形，再根据相似和平行导出线段的比例关系，最关键的一步是，将所得的两组线段整体相加，得到一个新的等式，最后发现问题得证．

解法二：分别以为边向外作两个等边三角形，即和，由平分后的角度为，可轻易证明得到两组比例线段和，两者相加后又重新得到一个新的等式，再根据等边三角形的特点代换相等的线段，最后问题也得证．

（本题只给出第一种解法的步骤）．

【答案】过点作的平行线，交于点.

∵，，

∴

∵，

∴

∴

∵，

∴

等式两边同除以，则有：

【拓展】如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、.

⑴     证明：是定值；⑵求的最小值

【难度】6星

【解析】略

【答案】⑴ 方法一：

过点作的垂线，分别交、于点、，过点作的平行线交的延长线于点.

∵，

，

∴，

∵

∴

∵，

∴

∴

因为点为定点，故、均为定点，为定值，所以是定值.

方法二：

过作，交于，

易证得：

设，∵

∴，即，

整理得：，

∵已知是的平分线上的定点，

∴为定值.

∴为定值.

⑵ 因为，其中为定值，要使 的值最小，则必须使的值最小.

而 

又，

∴

当且仅当，即点处于点处时有最小值.

此时有最小值

本题的⑴小问归根结底用到的也是拆分，不过它里面结合了“角平分线定理”和复杂的比例变换.

1．   如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点．

（1）当时，求的值；

（2）当时，求的值；

（3）试猜想时的值，并证明你的猜想．

【难度】星

【题型】解答

【解析】当时，；

        当时，；

当时，．

        当时，， 

证明方法比较多，选择两种介绍：

            如上右图，过点作，交于点．

            ∵，   ∴

            ∵            ∴，

            ∵              ∴

            另一种解法就是梅氏定理，看被直线所截可知

            ，而，，故．

【答案】；当时，；当时，当时，

3. 已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：．

【难度】星

【解析】利用三点定形法无法确定相似的三角形，所以考虑利用角平分线去找可以进行等量代换的线段，最后求出所要证明的结论．

【答案】在外过点作的平行线交的延长线于点

∵

∴，

又∵

∴，即

∴

即

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1．如图，中，为边的中点，延长至，延长交的延长线于．若，求证：．

【难度】星

【解析】略

【答案】过点作的平行线，交于点．

老师可引导学生通过作如下辅助线来证此题：

2. 如图，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则的长为（    ）．

A．1      B．2         C．3      D．4

【解析】先介绍常规的解法：

如图，过点作或的平行线均可，不妨以左图为例来说明．

过点作，交于点．

∵，  ∴

∵           ∴

∵             ∴

当然，过点、点作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．

以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法：

看为直线所截，由梅涅劳斯定理可知，

又，，故

上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法．

【答案】

3. 如图1，中，分别平分．是的外角的平分线，交延长线于，连接．
（1）变化时，设．若用表示和，那么=      90，∠E=      α；
（2）若，且与相似，求相应长；
（3）如图2，延长交延长线于．当形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与相似？写出这些三角形，并选其中之一证明．

【难度】星

【解析】（1）根据三角形内角与外角的关系可以用表示和；
（2）与相似，根据题意知，可分三种情况讨论并求出相应长；
（3）共三对．以为例说明：由于是的外角，

可得出；由于分别为的角平分线，不难得出，由此可得出，即可证得；即，再加上两三角形中一组对顶角，即可证得所求的两三角形相似．

【答案】（1）；（2）或或；（3）．
（2）本题分三种情况：
    ①，推出为等腰直角三角形，．
    ②，推出中，，，．
    ③，推出中，，，．
（3）题目不难，这里学生自己给出解答步骤．

4. 如图，在直角中（），放置边长分别的三个正方形，则的值为       ．

【难度】星

【解析】根据已知条件可以推出然后把它们的直角边用含的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出的值．

【答案】

∵在直角中（），放置边长分别的三个正方形，
∴根据，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（不符合题意，舍去），．
 

5. 如图，已知是线段上的任意一点（端点除外），分别以为斜边并且在的同一侧作等腰

直角和，连接交于点，连接交于点，给出以下三个结论：

①；②；③，其中正确结论的个数是（　　）

．                 ．                  ．                    ．

【难度】星

【解析】（1）用平行线分线段成比例定理；

（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；

（3）要利用二次函数最值即可求解．

【答案】

（1）∵，
∴，∴①
∵，
∴，∴②
∵等腰直角和，
∴，
∴，
∴；

（2）∵，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
，
∴，
∴；

（3）∵，
∴，
设（常数），，
则．