【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）9锐角三角函数应用.教师版

     内容基本要求略高要求较高要求解直角三角形  知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 模块一  解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：（1）三边之间的关系： (勾股定理)（2）锐角之间的关系：（3）边角之间的关系：三、   解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边，直角边)，由求出，则， ；（2）已知斜边和一锐角(如斜边，锐角)，求出，，；（3）已知一直角边和一锐角(如和锐角)，求出，，；（4）已知两直角边(如和)，求出，由，得．具体解题时要善于选用公式及其变式，如可写成，等．四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．五、解直角三角形的技巧及注意点在中，，故，．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．  【例1】         在三角形中，则的长度为（     ）A．      B．       C．       D．【难度】2星【解析】在中，所以可得【答案】B  【巩固】根据下列条件解直角三角形：已知中，，，．【难度】2星【解析】由，，∴．又，∴，∴．∴．【答案】见解析  【巩固】根据下列条件不能解直角三角形的是（     ）①已知一直角边及其所对锐角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和一斜边．A．②            B．①③          C．①④          D．②⑤【难度】2星【解析】①、③、④、⑤是解直角三角形的四种基本类型【答案】A  【例2】         根据下列条件解直角三角形：已知中，，，．【难度】2星【解析】由，，∴由得：∵∴，∴．【答案】见解析  【巩固】根据下列条件解直角三角形：已知中，， ，．【难度】2星【解析】∵，∴．又∵，∴．∴，，．【答案】见解析  【例3】         如图，在中，已知，如果，求的长度【难度】3星【解析】设，因为，所以        在中，由勾股定理可得：，即，所以【答案】  【巩固】如图所示，在中，，是边上的一点，且，求 和的值．【难度】3星【解析】在中，∴，∴在中，∴∴【答案】，  【例4】         如图，在中，已知，求中各内角的度数【难度】3星【解析】作于点，则，由得【答案】见解析  【巩固】在中，那么等于（     ）A．           B．或         C．或        D．【难度】3星【解析】解法一：如图，过点作于．在中，，所以        又在中，，所以        所以       解法二：，所以是直角三角形，即，所以【答案】D  【例5】         菱形的边长是,有一个内角为，则较短的对角线是（      ）A．          B．         C．          D．【难度】3星【解析】如图，菱形，所以．在中，       所以．又最短的对角线是，即【答案】C  【巩固】若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为，则平行四边形的面积是（    ）A．150              B．             C．9             D．7【难度】3星【解析】如图，平行四边形，．过点作于．        所以在中，        所以该平行四边形的面积【答案】B  【例6】         已知：如图，中，，是上一点，，求的度数及的长．      【难度】3星【解析】过点作于，则．在中，，∴在中，，∴，∴，，在中，，∴． 【答案】模块二  解直角三角形应用七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶． 八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位． （一）仰角与俯角【例7】         如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球．是地面上相距米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角，仰角，求汽球的高度（精确到0．1米，=1．732）【难度】3星【解析】过点作于点，设米．在中，，∴（米）在中， ∴（米）又∵∴ ∴（米）∴（米）【答案】米  【巩固】如图所示，天空中有一静止的广告气球，从地面点测得的仰角为，从地面点测得 的仰角为．已知米，点和直线在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．【难度】3星【解析】作，垂足为，设气球离地面的高度为米．在中，        ∴．在中，        ∴．∵      ∴        ∴．【答案】气球离地面的高度为米．  （二）坡度与坡角【例8】         如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角．（1）求的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：）．【难度】3星【解析】（1）延长交于点．在中，，∴． 又∵，∴．（2）过点作，垂足为． 在中，，    ∴．   ∴．在中，，∴．∴（米）．答：这棵大树折断前高约米． 【答案】 （1）；（2）米【巩固】我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．，斜坡米，坡角，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚不动，从坡顶沿削进到处，问至少是多少米（结果保留根号）？        【难度】3星【解析】作于，作于，则在中，，所以就有同理在中，，则有，所以米【答案】米  【例9】         如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的坡角为，设台阶的起点为，斜坡的起点为，求的长度（精确到）【难度】3星【解析】作于点，则由，得，故 的长为【答案】  【巩固】如图，某建筑物直立于水平地面，米，，要建造阶梯，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最高要建多少阶？（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算，取1．732）【难度】3星【解析】在中，，所以（米）（厘米）        设至少建阶，则有，即，由于为整数，所以最小为26．【答案】26阶  （三）方位角【例10】     如图，是某市环城路的一段，都是南北方向的街道，其与环城路的交叉路口分别是．经测量花卉世界位于点的北偏东方向、点的北偏东方向上，，．（1）求之间的距离； （2）求之间的距离． 【难度】3星【解析】（1）如图，由题意得，．∴ ．∵ ， ∴ ． ∴ ．　又∵ ，∴ ． ∴ ．    ∴ ． 即之间的距离为2．（2）过作，交其延长线于点在中，．∴ 在中，，∴ （）．即之间的距离为【答案】（1）之间的距离为2； （2）之间的距离为．  【巩固】如图所示，某轮船以30海里／时的速度航行，在点处测得海面上的哨所在南偏东，向北航行40分钟后到达点，测得哨所在南偏东，轮船改变为北偏东的航向再航行2小时到达点，若在上存在一点，点在点的南偏东处，且在点的周围有方圆15海里的暗礁区，问轮船从点到点的航行中有无触礁的危险？是否需要改变航向？【难度】4星【解析】过点作，交的延长线于点．过作于点，连接由题意得，∴∴∴∵，     ∴在中，，．在中，∵，∴在中，∴∴，∵∴在中，∴在中，（海里）∵海里海里，∴轮船不需要改变航向．【答案】轮船不需要改变航向  （四）其它【例11】     公园里有一块形如四边形的草地，测得米，，．请你求出这块草地的面积．【难度】4星【解析】延长交于，连结，∵，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴这块草地的面积为平方米．【答案】平方米  1．  直角梯形中，，，则的长为（     ）A．    B．   C．    D．【难度】3星【解析】如图，过点作于，所以        在中，        所以【答案】C  2．  如图，公路和公路在处交会，且，点处有一所学校，，假设拖拉机行使时，周围以内会受到噪音的影响，那么当拖拉机在公路上沿的方向以的速度行使时，（1）学校是否会受到噪音的影响？为什么？（2）若学校会受到噪音的影响，受影响的时间是多少？      【难度】3星【解析】（1）学校会受到噪声的影响．理由如下：过作于，则∵，，，∴，即在行使过程中，拖拉机离学校的最小距离为，小于，∴学校一定会受到噪音的影响．（2） 如图，假设拖拉机行使到处时开始影响学校，行使到处是学校开始不受影响则，且拖拉机在段行使时，学校会受到噪音影响∵，∴在中，，，得，故，从而学校受影响的时间为秒．【答案】（1）学校一定会受到噪音的影响；  （2）  1．通过本堂课你学会了                                                   ．2．掌握的不太好的部分                                                   ．3．老师点评：①                                                         ．     ②                                                         ．             ③                                                         ． 1．  在中，，分别是的对边，已知，求【难度】3星【解析】由，得，又，故，解得，从而【答案】  2．  如图，某幢大楼顶部有一块广告牌，甲乙两人分别在相距8米的、两处测得点和点的仰角分别为和，且、、三点在一条直线上，若米，求这块广告牌的高度．（取，计算结果保留整数）【难度】3星【解析】∵，，∴，在中，∴．在中，∴，∴．    即这块广告牌的高度约为3米．【答案】米  3．  如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以每小时的速度沿东北方向前进，甲船航行到达处，发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东的方向追赶，结果两船在处相遇（1）甲船从处追上乙船用了多长时间？（2）甲船追赶乙船的速度是多少？【难度】3星【解析】⑴ 过作于．由题意得，(或)在中，∵，，在中，，∴，甲船从处追上乙船所用时间为：⑵ 在中，∵∴∴甲船追赶乙船的速度为每小时【答案】（1）   （2）  4．  如图，水坝的横截面为梯形，坝顶宽，坡面，的坡度为，，求水坝的横截面积．【难度】3星【解析】过分别作，垂足为．则，由  ∴，且四边形是矩形∴，在中，，∴，∴在中，由的坡度为，则∴∴∴答：水坝的横截面积为平方米．【答案】