【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）2反比例函数与几何综合.教师版

        内容基本要求略高要求较高要求反比例函数了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图像；理解反比例函数的性质能根据已知条件确定反比例函数解析式；能用反比例函数的知识解决实际问题-------  模块一  反比例函数的几何意义1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为☞ 利用k的几何意义求参数的数值或比较参数大小【例1】         如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴于点，作轴于点，矩形的面积为9，则该反比例函数的解析式为                【难度】2星【解析】反比例函数的几何意义【答案】 【巩固】反比例函数的图像如图所示，点是该函数图像上一点，垂直于轴，垂足是点，如果，则的值为（    ）A.                B.                 C.                 D. 【难度】2星【解析】的几何意义、反比例函数图象性质【答案】D 【例2】         如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则的值是_____.【难度】2星【解析】反比例函数的几何意义【答案】已知. ∴，∵，∴.【例3】         如图，正比例函数和()的图像与反比例函数()的图像分别相交于点和点．若和的面积分别为和，则与的关系是（   ） A．       B．=       C．<      D．不能确定【难度】2星【解析】反比例函数的图象及性质【答案】B 【巩固】在函数()的图像上取三点、、，由这三点分别向轴、轴作垂线，设矩形、、的面积分别为、、，试比较三者大小.【难度】3星【解析】设点的坐标为(，)，因为点在双曲线上，所以，即.因为在第一象限内，所以，同理可得. 由此我们可以得到一个结论：在反比例函数()中，具有矩形面积的不变性，即.在此基础上可以推得：梯形面积的不变性，即由上题结论可推得：        梯形面积与三角形面积的不变性：        【答案】 【例4】         如图是三个反比例函数、、在轴上方的图象，由此观察得到、、的大小关系为            【难度】2星【解析】反比例函数的几何意义【答案】  ☞ 反比例函数与方程的思想 【例5】         已知点在函数()的图像上，矩形的边在轴上，是对角线的 中点，函数()的图像经过、两点，若，求点的坐标. 【难度】3星【解析】方程的思想无处不在，涉及到函数问题的时候，主要是通过等量关系去建立方程，本题方法不唯一【答案】点(，)在函数的图像上，.又也在函数的图像上，故设点的坐标为(，).过点作轴于，则.又是对角线的中点，.故点的纵坐标为，代入中，得点坐标为 (，).因此.由，得，.即有.解得.而，故.则点坐标为 (，).  模块二  反比例函数与面积的综合1.若所求图形面积是规则图形，则可以按照相应图形的面积公式直接计算2.若所求图形面积是不规则图形，则采用割补法3.转化面积时，注意观察是否需要使用反比例函数的几何意义 ☞ 一般面积问题【例6】         在平面直角坐标系中，函数(，常数)的图象经过点(1，2)，(，)，()，过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为2，求点的坐标．【难度】2星【解析】过点(1，2)，代入可得，(，)在该函数图象上，所以.因为，有，即，所以，，(，).【答案】(，). 【巩固】如图，直线与反比例函数的图象相交于点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求的面积．【难度】3星【解析】略【答案】（1）∵反比例函数经过点，∴，∴反比例函数的关系式为．（2）∵点的横坐标为，∴，∴点坐标为．∵直线经过点、点，∴，解得，∴直线解析式为，∴点坐标为，∴．  【例7】         如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若，则=          【难度】2星【解析】,所以【答案】【巩固】如图，在反比例函数()的图象上，有点，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，求．【难度】3星【解析】将和向左平移，即可拼成一个大的矩形，宽(横向)为1，长(纵向)为与的纵坐标之差，即.所以.【答案】【巩固】已知是反比例函数图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形，则这五个橄榄形的面积总和是        （用含π的代数式表示）【难度】2星【解析】先求出五点坐标，再用割补法求5个橄榄形的面积总和【答案】 【例8】         如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数(，)的图像上，点(，)为其双曲线上的任一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，并设矩形和正方形不重合部分的面积为．        ⑴求点的坐标和的值；        ⑵当时，求点坐标；        ⑶写出关于的函数关系式．【难度】4星【解析】第二问涉及分类讨论思想【答案】⑴设点坐标为(，).则由条件，得，，解方程组得，，点的坐标是(，).又由,得.⑵点的坐标为 (，).当时,如图甲,,.∴当时，有,即.解得.故点的坐标为．当时,,.∴当时，有.即.解得.即点的坐标为．⑶参照第⑵题可知,当时,;当时,如图乙,.     【巩固】如图，反比例函数的图象过矩形的顶点，、分别在轴、轴的正半轴上，．（1）设矩形的对角线交于点，求出点的坐标；（2）若直线平分矩形面积，求的值．【难度】3星【解析】直线平分矩形面积，则直线必过矩形对角线的交点【答案】⑴由题意，设，则  ∵在第一象限， ∴∴矩形对角线的交点为 ⑵∵直线平分矩形必过点∴∴ ☞ 利用k的几何意义进行面积转化1.如图，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、，那么，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，就比较低2.如图，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则根据的几何意义可得，，而，所以，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。  【例9】         如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为，则的值为          ．【难度】3星【解析】这是在反比例函数上找规律的问题，在横坐标注意递增的条件下，进而得到的坐标，及面积得求。即【答案】 【例10】     两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是            （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．【难度】4星【解析】①根据上节课结论易知成立；        ②，结论成立.③根据题意可得：，，，，，，所以.④根据，故可知成立.也可利用结论③中的推导.其中一定正确的是①②④.【答案】①②④   【巩固】如图，点、在反比例函数()的图象上，且点、的横坐标分别为和()轴，垂足为，的面积为．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点(，)，(，)也在反比例函数的图象上，试比较与的大小；（3）求的面积．        【难度】3星【解析】反比例函数的几何意义，以及面积的转化【答案】⑴由题意设(，)，则，得故反比例函数的解析式为⑵因为反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小，由，得，所以⑶如图，作轴于，设与相交于点，易知，故，易求，，，所以   【巩固】如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点．若的面积为，则__________．【难度】4星【解析】连接，将的面积转化到梯形，则 ∴【答案】 ☞ k的几何意义与双曲线的对称性1.如图一，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、，那么，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法，费时、费力、而且还易计算出错。2.如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长交双曲线于点，连接、则，，因此可以将的面积转化为梯形的面积  【例11】     直线（）与双曲线交于、两点，则的值等于       【难度】2星【解析】双曲线以及正比例函数图象都是关于原点成中心对称，因此，，∴，【答案】   【例12】     如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求的面积．【难度】4星【解析】（1）∵点在反比例函数的图像上，∴．∴反比例函数的表达式为．∵点也在反比例函数的图像上，∴，即．把点，点代入一次函数中，得，解得∴一次函数的表达式为．（2）方法一、在中，当时，得．∴直线与轴的交点为．∵线段将分成和，∴．方法二、延长交双曲线于点，连接，过点，作轴的垂线，垂足分别为、，则点与点关于原点对称，所以∵ ∴   ∴，，，∴【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为．（2）． 【巩固】已知反比例函数上两点，的横坐标分别为，，则的面积为        【难度】3星【解析】反比例函数的几何意义及双曲线的中心对称性【答案】  模块三  反比例函数与其他几何问题 ☞反比例函数与等腰三角形 1.涉及一般等腰三角形存在性的问题，注意需要分类讨论，2.如果有等腰直角三角形或者等边三角形，注意考虑它的特殊性质 【例13】     如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】3星【解析】此题的第二问涉及到分类讨论，要注意讲清分类的标准．【答案】（1）点在反比例函数图象上，，反比例函数的解析式为．又在反比例函数图象上，，点坐标为．一次函数的图象经过点，一次函数的解析式为．（2）存在符合条件的点，可求出点的坐标为 【例14】     如图，、都是等腰直角三角形，点、在函数()的图像上，斜边、、都在轴上，求点的坐标.              【难度】4星【解析】分别过点、做轴的垂线，根据题意易得，，，设，，则根据题意得，，∴，解得，，∴，解得依次类推，可得，…所以(，).【答案】(，). 【巩固】如图所示，，……，在函数的图象上，，，，…，，…都是等腰直角三角形，斜边都在轴上，则______________．【难度】4星【解析】反比例函数与等腰直角三角形有关习题的变形【答案】由已知可求得，，…，∵，，…，∴                     如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是⑴求一次函数解析式⑵的面积【难度】星【解析】利用反比例函数的几何意义以及中心对称转化面积【答案】⑴一次函数解析式为  ⑵                    如图，正方形，的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图象上，则点的坐标是             【难度】3星【解析】利用点在双曲线函数图象上，引入未知数，建立方程【答案】根据题意得，正方形的边长为，设正方形的边长为则， ∴，解得或（舍）∴点坐标为1．通过本堂课你学会了                                                   ．2．掌握的不太好的部分                                                   ．3．老师点评：①                                                         ．     ②                                                         ．             ③                                                         ．   1．   已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过、两点⑴求反比例函数的解析式⑵如图，已知点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求点坐标；⑶利用⑵的结果，请问：在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，把符合条件的点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。【难度】4星【解析】注意分类讨论、点坐标隐含的信息【答案】⑴∵一次函数的图象经过、两点∴，，解得∴反比例函数解析式为⑵联立方程组得，解得或∵点在第一象限  ∴点坐标为⑶分类讨论：若，则点坐标为若，则点坐标为若，则点坐标为或