【精品导学案】人教版 九年级上册数学 21.2.1解一元二次方程 配方法导学案（含答案）
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学习目标：
- 通过预习掌握可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法.
2.了解配方法的概念，掌握配方法的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．
3．在经历用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．
教学重点
用配方法解题的基本步骤．
教学难点
二次项次数为1时，配方要把方程两边同时加上一次项次数一半的平方；二次项次数不为1时，先把二次项次数化为1．
教学过程
活动一（学生自主预习第5页问题1）
问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
（学生思考、讨论，教师引导，汇报解题过程和步骤．）
解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2＝1 500．
整理，得
x2＝25．
根据平方根的意义，得
x＝±5，
即
x1＝5，x2＝―5
可以验证，5和―5是方程10×6x2＝1 500的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．
变式思考：如果把上面的方程稍作变形，如(x＋3)2＝5你还会解吗？
（学生独立思考，并给出解法）
解：(x＋3)2＝5，x＋3＝±，所以x＋3＝和x＋3＝―．
于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝―3＋和x2＝―3―．
归纳总结：
总结可化成(x＋n)2＝p时，方程的实数根情况．
教师引导学生总结p＞0，p＝0，p＜0时，方程根的情况．
（1）当p＞0时，方程(x＋n)2＝p有两个不等的实数根．
x1＝－n－，x2＝－n＋；
（2）当p＝0时，方程(x＋n)2＝p有两个相等的实数根．
x1＝x2＝－n；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x都有(x＋n)2≥0，所以方程(x＋n)2＝p无实数根．
巩固练习
教材第9页“练习”第1、2题．
学生独立完成，小组内订正．
活动二：1.探究：怎样解方程x2＋6x＋4＝0？
我们已经会解方程(x＋3)2＝5．因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数．所以可以直接降次解方程．那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
教师先让学生观察、尝试，引导学生运用学过的知识解方程．
学生在教师的引导下解方程x2＋6x＋4＝0．
解题过程和步骤如下：
x2＋6x＋4＝0→x2＋6x＝－4→x2＋6x＋9＝－4＋9→(x＋3)2＝5，通过降次可得x＋3＝±，即x＋3＝，或x＋3＝－．
解一次方程得
x1＝－3＋，x2＝－3－．
通过验证，可知－3±是方程x2＋6x＋4＝0的两个根．
教师引导学生总结解方程的基本步骤，让学生了解关键是把方程的左边配成完全平方式的形式，然后解方程．
归纳：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．
2．实例详解
例 解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0； （2）2x2＋1＝3x； （3）3x2－6x ＋4＝0．
分析：（1）方程的的二次项系数为1，直接运用配方法．（2）先把方程化成2x2－3x ＋1＝0，它的二次项系数为2，为了便于配方需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．
解：（1）x2－8x＋1＝0；
x2－8x＝-1；
x2－8x+16＝-1+16；
（x-4）2＝15；
，
，
.
（2）2x2＋1＝3x；
2x2-3x+1=0；
2x2-3x=-1；
，
，
，
，
，
，
（3）3x2－6x ＋4＝0．
，
，
＜0，
所以原方程无解.
巩固练习
教材第9页“练习”第1、2题．
学生独立完成，小组内订正．
活动三：归纳总结
总结配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的基本思路和具体步骤．
结合这几个方程的求解，让学生总结解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的基本思路和具体步骤．要注意什么问题？
学生独立思考、讨论、总结．最后师生共同归纳．
基本思路是将含有未知数的项配成完全平方式．
具体步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）将常数项移到方程右边；（3）配方：在方程两边加上一次项系数的一半的平方；（4）利用平方根的意义解方程．
在此过程中要注意保证变形的过程是恒等变形．
活动四、课堂小结
今天你学习了什么？有什么收获？
布置作业
习题第21.2第3题．
