第23讲 三角恒等变换（1）-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第23讲：三角恒等变换（1）一、课程标准1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆). 二、基础知识回顾 知识梳理1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S(α±β)；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ，简记作C(α±β)；tan(α±β)＝，简记作T(α±β)．2. 二倍角公式sin2α＝2sinα·cosα；tan2α＝；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．3. 辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.4. 公式的逆用及有关变形tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)；sinα±cosα＝sin(α±)；sinα·cosα＝sin2α；1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；sin2α＝；cos2α＝；tan2α＝(降幂公式)；1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升幂公式)． 三、自主热身、归纳总结 1、知cos α＝－，α∈，则sin等于(　　)A.－   B.   C.－   D.【答案】　C【解析】　∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－，∴sin＝－×＋×＝－.2、已知tan＝2，则tan α＝(　　)A.   B.－   C.   D.－【答案】　A【解析】　tan＝＝2，解得tan α＝. 3、 已知sin2α＝，则cos2等于(A )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 　  B. 　  C. 　  D.  【答案】A【解析】　∵cos2＝＝＝，∴cos2＝＝＝.故选A.4、(多选)已知f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x(x∈R)，则下面结论正确的是(　　)A．f(x)的最小正周期T＝     B．f(x)是偶函数C．f(x)的最大值为           D．f(x)的最小正周期T＝π【答案】ABC　【解析】因为f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)，∵f(－x)＝f(x)，∴T＝＝，f(x)的最大值为×2＝.故D错．5、 (多选)下列式子的运算结果为的是(　　 )A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)C.D.【答案】ABC【解析】对于A，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝；对于B，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝；对于C，＝＝tan 60°＝；对于D，＝×＝×tan＝.综上，式子的运算结果为的是A、B、C.6、【2020江苏南京三校联考】已知，则＝_____________．【答案】﹣【解析】∵，∴sin2x=cos(2x+)=2sin2(x+=﹣1=，故答案为：﹣．7、函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是____．【答案】π.【解析】　f(x)＝sin2x－cos2x－(1－cos2x)＝sin2x＋cos2x－＝sin－，∴T＝＝π.8、已知2tan αsin α＝3，α∈，则cos＝________.【答案】0【解析】由2tan αsin α＝3，得＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝或cos α＝－2(舍去)．∵－＜α＜0，∴α＝－，∴cos＝cos＝0.9、若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为________．【答案】－【解析】由3cos 2α＝sin，得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.10、(一题两空)已知0＜α＜，且sin α＝，则tan＝________，＝________.【答案】：7　【解析】因为0＜α＜，且sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝，则tan＝tan＝＝7.＝＝＝＝.四、例题选讲 考点一、利用两角和(差)公式运用例1、已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)．【解析】　∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，∴cos＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.变式1、【2020江苏昆山调研】若函数，则函数f(x)的振幅为______．【答案】【解析】，所以函数的振幅是，故答案为：． 变式2、（2020江苏溧阳上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，，则______．【答案】【解析】由三角函数的定义得：，所以，所以．故答案为． 变式3、已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)A．－　　　　　　　　　 B.C.   D．－【答案】A　【解析】因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，则tan(α－β)＝＝－.变式4、在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________.【答案】　【解析】　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.变式5、 [2019·深圳模拟]已知tan＝，且－＜α＜0，则＝(A )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. －　  B. －　  C. －　  　D. 【答案】A【解析】　由tan＝＝得tanα＝－.又－＜α＜0，故sinα＝－.故＝＝2sinα＝－.故选A.方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．考点二、二倍角公式的运用例2、已知0＜θ＜π，化简：.=               【答案】－cosθ.【解析】　由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos＞0，∴＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)＝＝2cos＝－2coscosθ，故原式＝＝－cosθ.变式1、(1)＝________.(2)化简＝________. 【答案】(1)　(2)－1【解析】(1)＝＝＝＝.(2)＝＝＝－1.变式2、已知coscos＝－，α∈.(1)求sin 2α的值；(2)求tan α－的值．【解析】(1)coscos＝cossin＝sin＝－，即sin＝－.∵α∈，∴2α＋∈，∴cos＝－，∴ sin 2α＝sin＝sincos－cossin＝－×－×＝.(2)∵α∈，∴2α∈，又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．考点三、 公式的综合运用例3、 设α是锐角，且cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为____．【答案】【解析】　∵α是锐角，∴＜α＋＜，∵cos(α＋)＝，∴sin(α＋)＝.sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，cos2(α＋)＝1－2sin2(α＋)＝，sin(2α＋)＝sin＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin＝×－×＝. 变式1、计算＝________.【答案】2 【解析】　＝＝＝＝＝＝2. 变式2、·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°.【解析】　原式＝＋－2cos40°＝＋－2cos40°＝－2cos40°＝－2cos40°＝－2cos40°＝4cos220°－2(2cos220°－1)＝2.变式3、已知sin＝，α∈.求：(1)cos α的值；(2)sin的值．【解析】(1)由sin＝，得sin αcos＋cos αsin＝，化简得sin α＋cos α＝，①又sin2α＋cos2α＝1，且α∈②由①②解得cos α＝－.(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，∴sin＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×＝－.方法总结：　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 五、优化提升与真题演练1、（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．           B．        C．          D．【答案】B【解析】，，，又，，又，，故选B．2、（2018年高考全国Ⅲ卷理数）若，则A．         B．C．         D．【答案】B【解析】.故选B.3、（2018年高考全国卷II理数）若在是减函数，则的最大值是A．     B．C．     D．【答案】A【解析】因为，所以由得，因此，从而的最大值为，故选A.4、（2017年高考北京卷理数）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.【答案】【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以.．5、（2018年高考全国Ⅱ理数）已知，，则__________．【答案】【解析】因为，，所以所以，因此．6、（2017年高考江苏卷）若则   ▲   ．【答案】【解析】．故答案为． 8、（2018年高考江苏卷）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．