专题2 函数与导数-2021届高考数学重点专题强化卷

2021届高考数学重点专题强化卷专题二函数与导数一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知函数为偶数，且，若，则（    ）A． B． C．0 D．1【答案】B【详解】由为偶数，得，则，以代替则，则，所以2是函数的周期，又，则.故选：B2．已知实数，，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】解：因为，，所以，，由，，得，．反之，若，取，，则，但是．故选：A．3．下列既是奇函数，在上又是单调递增函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】A．是奇函数，且在上有增有减，故不满足；B．是非奇非偶函数，故不满足；C．是奇函数，且在上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足；D．是奇函数，且在上单调递增，故满足，故选：D.4．已知函数f(x)＝lg(1－x)的定义域为M，函数g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝（    ）A．{x|x≤1} B．{x|x≤1且x≠0}C．{x|x>1} D．{x|x<1且x≠0}【答案】D【详解】由题意知，M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，N＝{x|x≠0}，所以M∩N＝{x|x<1且x≠0}.故选：D.5．已知偶函数的定义域为，导函数为，，，则不等式的解集为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【详解】设，则易知为偶函数又则当时，函数为增函数当时，函数为减函数又，不等式可化为即，所以或，所以不等式的解集为或故选：D.6．函数的图象在点处的切线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意得，所以，又，所以函数的图象在点处的切线方程为.故选：D.7．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意，，解得，则，则当时，，即恒成立，令，则，当时，，时，，所以在上是减函数，在是增函数，，又因为当时，取得最大值1，所以当时，取得最大值，所以.故选：B.8．已知函数的导函数为，且对任意，，，若，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】构造函数，则.∵，∴函数在上单调递减，∴，∴.故选：B.9．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意有，  ①， ②①②得，又因为，所以，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选:D.10．已知函数，若，，，则（    ）A．（b）（c）（a） B．（b）（a）（c）C．（c）（a）（b） D．（c）（b）（a）【答案】A【详解】，，，又，，又在，上单调递增，（b）（c）（a）．故选：A．11．已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，令，∴，∴时，在单调递增；∴时，在单调递减.如图，∴，∴当时，，∴，在上单调递增，不成立；当时，在上单调增减，成立；当时，有两个根，，∵当时，，；当时，，；当时，，，∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立.综上，.故选：A12．已知函数，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为（    ）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【详解】，则，定义域为，当时，.所以，函数在区间上单调递增，故函数，.由于存在、、、，使得成立，则，得，，则的最大值为7.故选:A.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．对任意的实数，表示不大于的最大整数，则函数的零点为______.【答案】【详解】由题意得，.令得，，所以，解得或，从而或.当时，，解得，，与矛盾，故舍去；当时，，，符合题意.故函数的零点为.故答案为：.14．已知是定义在上的奇函数，当时，(a为常数)，则曲线在点处的切线方程为______.【答案】【详解】解：由是定义在R上的奇函数，可得，当时，，当，即有，，，则导数为，，又切点为，切线方程为，即.故答案为：.15．已知函数，且，则_________．【答案】【详解】，，，，故答案为：.16．已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为______.【答案】【详解】解：由题意，在区间上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a，关于x的不等式在区间上总有解，则只要找到其中一个实数a，使得函数的最大值最小即可，如图，函数向下平移到一定才程度时，函数的最大值最小．此时只有当时，才能保证函数的最大值最小．设函数图象向下平移了个单位，（）．，解得.∴此时函数的最大值为．根据绝对值函数的特点，可知实数的取值范围为：．故答案为：．三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知函数定义在上有恒成立，且当时，．（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）求函数的值域．【答案】（1）；（2）；（3）．【详解】（1）因为函数定义在上有恒成立，所以函数为奇函数，所以；（2）当时，，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以函数的解析式为；（3）令，当时，，则当时，可写为，所以，由是定义在上的奇函数，可得.18．已知函数其定义域为 （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明.（2）若 求的取值范围.【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）.【详解】（1）函数在上递减，证明如下：任取，且，则，由于，故，即，故函数在上递减.（2）由（1）可知函数在定义域上递减，故由得，解得.19．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.20．设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.（1）求的值；（2）求函数的极值；（3）证明:.【答案】（1）；（2）极小值，没有极大值；（3）证明见解析.【详解】解：（1），则，故在处的切线方程，把点代入切线方程可得，，（2）由（1）可得，易得，当时，，函数单调递减，当时,，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值，证明：（3）等价于，由（2）可得（当且仅当时等号成立）①，所以，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，当且仅当时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当时，.21．已知函数，.（1）求的定义域与值域；（2）设命题的值域为，命题的图象经过坐标原点.判断，的真假，说明你的理由.【答案】（1）定义域为；值域为；（2）为假命题，为真命题，理由见解析.【详解】（1）由，得或，则的定义域为，因为取遍所有正数，所以的值域为；（2），的定义域为，则的值域为，为真命题；因为的定义域为，所以的图象不可能经过坐标原点，则为假命题，所以为假命题，为真命题.22．已知函数，其中e是自然对数的底数，．（1）求函数的单调区间；（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由．【答案】（1）增区间是，减区间是.（2）见解析【详解】解：（1）因为，所以. 由得；由得.所以由的增区间是，减区间是.（2）因为.由，得或.设，又即不是的零点，故只需再讨论函数零点的个数.因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，取得最小值.①当即时，无零点； ②当即时， 有唯一零点；③当，即时，因为，所以在上有且只有一个零点. 令则.设，所以在上单调递增，所以，都有.所以. 所以在上有且只有一个零点.所以当时，有两个零点综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.