【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试-27尺规作图（基础）（教师版）

  专题27 尺规作图及证明（专题测试-基础）一、作图题（共14题；共133分）1.如图，AD是△ABC的角平分线  （1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；  （用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法.）（2）连接DE、DF，四边形AEDF是________形.（直接写出答案）    2.如图， 中， ， ， ．  （1）用直尺和圆规作 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）    （2）若（1）中所作的垂直平分线交 于点 ，求 的长．    3.如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°.（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；    （2）求证：△BCD是等腰三角形.    4.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上.   （1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；    （2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论.    5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，连接ED,EF.   （1）求证：四边形DEFC是矩形；    （2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）.    6.如图，在 中， ， ， ，D、E分别是斜边AB、直角边BC上的点，把 沿着直线DE折叠．（1）如图1，当折叠后点B和点A重合时，用直尺和圆规作出直线DE； 不写作法和证明，保留作图痕迹 （2）如图2，当折叠后点B落在AC边上点P处，且四边形PEBD是菱形时，求折痕DE的长．    7.如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）    （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．    8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°．   （1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）    （2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．    9.如图，在 中， .（1）作 的平分线交 边于点 ，再以点 为圆心， 的长为半径作 ；（要求：不写作法，保留作图痕迹）    （2）判断（1）中 与 的位置关系，直接写出结果.    10.如图，在 中．

①利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离 的长 等于PC的长；
②利用尺规作图，作出（1）中的线段PD．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑 11.如图，在△ABC中  （1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）    （2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．    12.如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A。   （1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；    （2）在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由。    13.在△ABC中，∠C＝90°  （1）尺规作图：作AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E；（不写作法图，保留作图痕迹）    （2）若AC＝2，∠B＝15°，求BD的长．    14.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC  （1）尺规作图：在AD上标出一点P，使得点P到点B和点C的距离相等（不写作法，但必须保留作图痕迹）；    （2）过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，求证：BE=CF；    （3）若AB=a，AC=b，则BE=________，AE=________．    二、综合题（共3题；共30分）15.如图， 是菱形 的对角线， ，  （1）请用尺规作图法，作 的垂直平分线 ，垂足为 ，交 于 ；（不要求写作法，保留作图痕迹）    （2）在（1）条件下，连接 ，求 的度数．    16.如图，在 中，点 是边 上的一点.  （1）请用尺规作图法，在 内，求作 ，使 ， 交 于 ；（不要求写作法，保留作图痕迹）    （2）在（1）的条件下，若 ，求 的值.    17.如图，在 中， ．  （1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．  ①作 的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．   
答案解析部分一、作图题1.【答案】 （1）解：如图,直线EF即为所求作的垂直平分线  
（2）菱形   【考点】线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，作图—尺规作图的定义    【解析】【解答】（2）∵EF为AD的垂直平分线，则EA=ED，∠EAD=∠FAD，FA=FD，又∵AD是∠BAC的平分线，得∠DAF=∠EAD，∴∠FAD=∠EDA，则AF∥ED， 同理AE∥FD，∴四边形AEDF为平行四边形，又∵EF⊥AD，故四边形AEDF为菱形.


【分析】先利用垂直平分线的性质定理，和角平分线推导两组对边分别平行，得四边形EDBF为平行四边形，由对角线互相垂直，进而推导四边形EDFA为菱形。2.【答案】 （1）解：如图直线 即为所求．  
（2）解：∵ 垂直平分线段 ，∴ ，   设 ，在 中，∵ ，∴ ，解得 ，∴ 【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图    【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出AB的垂直平分线MN。
（2）利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得DA=DB；设DA=DB=x，在Rt△ACD中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BD的长。3.【答案】 （1）解：如图，点D为所作；  
（2）证明：∵AB＝AC，   ∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣36°）＝72°，∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形.【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，作图—基本作图    【解析】【分析】（1）分别以点A,B为圆心，大于AB长度的一半为半径画弧，两弧分别在AB的两侧相交，过这两交点作直线，该直线交AC于点D，点D就是所求的点；
（2）根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠ABC＝∠C＝72°， ∠ABD＝∠A＝36°， 根据三角形的外角定理由∠BDC＝∠A+∠ABD得出∠BDC的度数，根据等量代换得出 ∠BDC＝∠C， 故 △BCD是等腰三角形。4.【答案】 （1）解；如图所示；   
（2）解；OE∥AC，OE= AC.  理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD= ∠BAC，∵∠BAD= ∠BOD，∴∠BOD=∠BAC，∴OE∥AC，∵OA=OB，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，OE= AC【考点】三角形中位线定理，作图—基本作图    【解析】【分析】（1）以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交∠CAB的两边各一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部相交于一点，过这一点及点A画线交圆于点D，AD就是 ∠BAC的平分线 ；
（2） OE∥AC，OE= AC ，理由如下：根据角平分线的定义得出 ∠BAD= ∠BAC， 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的一半得出 ∠BAD= ∠BOD， 故 ∠BOD=∠BAC， 根据同位角相等，二直线平行得出 OE∥AC， 根据过一边中点且平行于另一边的直线一定平分第三边得出 OE为△ABC的中位线， 从而得出结论 OE∥AC，OE= AC 。5.【答案】 （1）证明：∵点D，E，F分别是AC,，AB，BC的中点 ，
∴DE、EF是△ABC的中位线
∴DE∥CF，EF∥DC
∴四边形DEFC是平行四边形
∵∠C=90°
∴四边形DEFC是矩形

（2）解：如图所示   【考点】三角形中位线定理，矩形的判定，作图—基本作图    【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的定义及定理，易证DE∥CF，EF∥DC，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形DEFC是平行四边形，然后由∠C=90°，利用矩形的判定定理可证得结论。
（2）连接EC、DF交于一点，然后过这一点和B作射线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知BE=CE，再由∠A=30°，可得∠ABC=60°，易证△BCE是等边三角形，利用等边三角形三线合一的性质，因此过点B和矩形CFED对角线的交点作射线即可。6.【答案】 （1）解：依题可得：作直线AB的垂直平分线DE，如图1所示： 
（2）解：连结BP，∵四边形PEBD是菱形，∴PE=BE,PE∥BD，设CE=x，∵BC=4，则BE=PE=4-x，又∵PE∥AB，∴△PCE∽△ACB，∴ ，∵BC=4，AC=3,∴AB=5，即 ，∴x= ,即CE= ,∴BE=PE= ，在Rt△PCE中，∴PC= = ,在Rt△PCB中，∴PB= = ,又∵S菱形PEBD=BE·PC= ·PB·DE，∴ ，∴DE= .【考点】菱形的性质，作图—基本作图，相似三角形的判定与性质    【解析】【分析】（1）根据题意作直线AB的垂直平分线DE，由垂直平分线的做法作图即可.
（2）连结BP，设CE=x，根据菱形性质和相似三角形的判定可得△PCE∽△ACB，由相似三角形的性质得 ，代入数值可得CE= ；在Rt△PCE和Rt△PCB中，根据勾股定理得PC、PB长，由菱形的等面积即可得DE值.7.【答案】 （1）解：如图所示，直线EF即为所求；    
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∴∠C=∠A=30°，∵EF垂直平分线线段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°【考点】线段垂直平分线的性质，菱形的性质，作图—复杂作图    【解析】【分析】（1）分别以A,B两点为圆心，大于AB长度一半的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交，过这两个交点作直线，交AB于点E，交AD于点F，，直线EF即为所求；
（2）根据菱形的性质得出∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．故∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∠C=∠A=30°，根据垂直平分线的性质得出AF=FB，根据等边对等角及角的和差即可得出答案。8.【答案】 （1）解：如图所示：   
（2）解：相切；过O点作OD⊥AC于D点，  ∵CO平分∠ACB，∴OB=OD，即d=r，∴⊙O与直线AC相切【考点】直线与圆的位置关系，切线的判定与性质，作图—基本作图    【解析】【分析】（1）利用基本作图中作角平分线的方法做出角平分线，  再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O即可。（2）  过O点作OD⊥AC于D点，由角平分线性质定理可得OB=OD，即d=r，即可得出 ⊙O与直线AC相切。   9.【答案】 （1）解：如图,作出角平分线CO;作出⊙O.
（2）解：AC与⊙O相切．
   【考点】角平分线的性质，切线的判定，作图—基本作图    【解析】【分析】（1）根据题意先作出∠ACB的角平分线，再以O为圆心，OB为半径画圆即可。
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等及切线的判定定理，即可得出AC与⊙O相切。10.【答案】解：如图，点P、线段PD即为所求；
 【考点】作图—复杂作图   【解析】【分析】根据题意可知到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此先利用尺规作图作出∠CAB的角平分线，交BC于点P，再过点P作AB的垂线，交AB于点D。即可解答。11.【答案】 （1）解：如图所示，直线DE即为所求；  
（2）解：∵DE是BC的垂直平分线，   ∴EC＝ BC＝6，BD＝CD＝9，∴cos∠C＝ ＝ ＝ ．【考点】线段垂直平分线的性质，作图—尺规作图的定义，锐角三角函数的定义    【解析】【分析】（1）分别以点B、点C为圆心，以大于BC一半的长度为半径画弧，分别交于线段BC的上方与下方，过这两个交点画一条直线，与AC交于点D，BC交于点E，直线DE即为所求；
（2）由线段垂直平分线的性质可知BD=CD=9，BE=EC=， 即可求得cos∠C=。12.【答案】 （1）解：如图所示   
（2）解：DE∥AC（理由略）   【考点】平行线的判定与性质，三角形的外角性质，作图—尺规作图的定义    【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可得到答案。
（2）根据∠BDC为三角形 ADC的外角，即可得到∠BDC=∠A+∠DCA，由DE为∠BDC的平分线，∠A=∠DCA，即可证明∠EDC=∠DCA，根据直线平行的判定定理得到DE∥AC。13.【答案】 （1）解：如图，点D、E为所作；  
（2）解：连接AD，如图，   ∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝15°+15°＝30°，在Rt△ADC中，DA＝2AC＝4，∴DB＝4．【考点】线段垂直平分线的性质，作图—尺规作图的定义    【解析】【分析】（1）分别以点A、点B为圆心，以大于AB长的一半为半径在线段AB两侧画弧，分别相交于两点，过这两个交点做直线，与AB交于点E，BC交于点D，直线DE即为所求直线；
（2）DE为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知BD=AD，根据等边对等角可知∠B=∠BAD；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可知∠ADC=30°，根据直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半即可求得AD的长，也就可知BD的长。14.【答案】 （1）解：①作线段BC的垂直平分线交AD于P．   点P就是所求的点．
（2）解：连接P   B、PC．∵∠PAB=∠PAF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE=PF，在Rt△PEB和Rt△PFC中，，∴△PEB≌△PFC，∴BE=CF．
（3）；.   【考点】直角三角形全等的判定，角平分线的性质，作图—尺规作图的定义    【解析】【解答】解：（3）设BE=CF=x， 在Rt∴△PAE和Rt△PAF中，，∴△PAE≌△PAF，∴AE=AF，∴AB-BE=AC+CF，∴a-x=b+x，∴x= ，∴BE= ，AE=AB-BE=a- = ，故答案为 ， ．
【分析】（1）、直接利用尺规作图法则作图
（2）、依题做出图形，根据角平分线性质可知PE=PF，再根据直角三角形全等判定△PEB≌△PFC，从而得到结论
（3）、结合角平分线的性质和直角三角形的判定可知△PAE≌△PAF，从而得到AE=AF，再根据线段的对等转换可得到答案二、综合题15.【答案】 （1）解：如图所示，直线EF即为所求；  
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，   ∴∠ABD＝∠DBC ∠ABC＝75°，DC∥AB  ， ∠A＝∠C  ， ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°．∵EF垂直平分线段AB  ， ∴AF＝FB  ， ∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°【考点】平行线的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的性质，作图—尺规作图的定义    【解析】【分析】（1）、根据尺规作图法结合题意作出图形
（2）、首先根据菱形的性质可求出∠ABD＝∠DBC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，再根据平行线的性质可得到∠C＝∠A＝30°，最后根据垂直平分线的性质可得到AF＝FB，从而可计算得出答案16.【答案】 （1）解：如图所示；  
（2）解：∵ ，   ∴ .∴ .【考点】作图—尺规作图的定义，平行线分线段成比例    【解析】【分析】（1）利用尺规，依次找到角的对应点，画出角即可。
（2）根据两线平行、两角相等，可得到对应的边成比例，得到比值。17.【答案】 （1）解：如图，DE为所作；  
（2）解：∵CD平分 ，   ，为等腰直角三角形，，，即 ，【考点】角平分线的性质，作图—尺规作图的定义，相似三角形的判定与性质    【解析】【分析】（1）尺规作图的要求，角平分线的画法以及垂线的画法。注意保留作图痕迹，做法清晰。
（2）根据角平分线的性质以互余两角的关系，判定△CDE 为等腰直角三角形 。据其性质，以及平行线的性质判断△BDE∽△BAC，对应边成比例，即可求出DE。