专题08 数列【理科】（解析版）

专题08 数列

一、单选题

1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.2的视标边长为，则视力5.1的视标边长为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设第行视标边长为，第行视标边长为

由题意可得：

则数列为首项为，公比为的等比数列

即

则视力5.1的视标边长为

故选：A

2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】记为等差数列的前项和，若，且，则的公差为（    ）

A． B．0 C．2 D．4

【答案】A

【解析】等差数列中，，且，则，

解得，．故选：A．

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知正项等比数列的首项，前项和为．且，，成等差数列，则（    ）．

A．8 B． C．16 D．

【答案】A

【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，

所以，所以

所以，即，解得或

因为，所以，所以

故选：A

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知数列的前项和为，正项等比数列中，    ，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n，∴a1=S1=0，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2，n=1时也成立．

∴an=2n﹣2．设正项等比数列{bn}的公比为q＞0，b2=a3=4．bn+3bn﹣1=4bn2（n≥2，n∈N+），

∴=4，化为q2=4，解得q=2．∴b1×2=4，解得b1=2．∴bn=2n．则log2bn=n．

故答案为：D

5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（    ）

A． B． C．2021 D．

【答案】A

【解析】

令，得.

又因为，所以.

由，得，所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，

所以，所以.

故选：A.

6. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】若表示正整数n的个位数字，，数列的前n项和为，则（    ）

A． B．0 C．1009 D．1011

【答案】C

【解析】

由题意得，，，，，，，，，，，……

所以数列为周期数列，且周期为10．

因为，所以．

故选：C.

二、多选题

1. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（    ）

A．数列的通项公式为

B．数列的第2021项为

C．数列的前项和

D．数列的前项和

【答案】CD

【解析】数列各项乘以10再减4得到数列

故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；

从而所以故B错误

当时；

当时

0.3.

当时也符合上式，所以故C正确

因为所以当时

当2时，

所以

所以

又当时也满足上式，所以，故D正确.

故选：CD.

三、填空题

1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设数列的前项和为，若，，且（且），则的值为__________．

【答案】

【解析】

设，则，由等差中项法可判断为等差数列．

因为，，所以，即．

当时，．

当时，也符合，所以．

由于，所以，

．

故答案为：．

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为______．

【答案】4

【解析】

当时，，得，

当时，，

又，

两式相减得，得，

所以．

又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，

，即．

因为，所以不等式，等价于．

记，

时，．

所以时，

综上，，

所以，所以整数的最大值为4．

考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知数列{an}满足：an＝，定义使a1·a2·a3…ak(k∈N*)为整数的k叫做“幸福数”，则区间[1，2020]内所有“幸福数”的和为__________.

【答案】1349

【解析】

当时，为幸福数，符合题意；

当时，

令，则.   

由.

故“幸福数”的和为.

故答案为：1349

4. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知等差数列满足，是与的等比中项，则的值为_________．

【答案】或

【解析】

设等差数列的公差为，

因为是与的等比中项，所以，

即，整理得，解得或．

当时，；

当时，，则，

．

故答案为：或.

四、解答题

1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】数列，定义如下：，，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列和的通项公式.

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）由和，两式相减得，

又，则数列是首项为-1，公比为-1的等比数列，

则.

（2）两式相加得，

则数列成首项为3，公比为3的等比数列，

则，联立，

所以，.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，有.

(1)求常数的值；

(2)求数列的通项公式；

(3)记，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

解：(1)由及，得：，

∴.

(2)由①，得②

由②－①，得，

即：，

∴，

由于数列各项均为正数，∴，即，

∴数列是首项为1，公差为的等差数列，

∴数列的通项公式是.

(3)由，得：，∴，

∴

，

.

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知数列的前n项和为，，设

（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由.

（2）求数列的前n项和．

【答案】（1）是，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）时，得，则，

时，由得，

两式相减得，即，

所以数列是等比数列，；

则，

，

所以数列是首项为1，公差为的等差数列；

（2），，

，

．

4. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】在①对任意，满足，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

问题：已知数列的前项和为，，______，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是等差数列，说明理由．

【答案】选择条件①，数列不一定是等差数列，理由见解析；选择条件②，数列的通项公式为；选择条件③，．

【解析】

解：选择条件①：

因为对任意，，满足，

所以，所以．

因为无法确定的值，所以不一定等于2．

所以数列不一定是等差数列．

选择条件②：

由，得，即，．

又因为，所以．

所以数列是等差数列，其公差为2．

因此，数列的通项公式为．

选择条件③：

因为，

所以，

两式相减得，即．

又，即，所以，，

又，，所以，

所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，

所以．

5. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若 ，求数列的前2n项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．因为，所以.

依题意得，即，

解得或（舍）．

∴．

（2）由（1）可得．

∴．

∴

设数列的前项和为，则

．

6. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】已知等差数列的前项和为，且

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设等差数列的公差为，

因为，所以.

因为，所以.

所以，

所以

（2）由题意知，

因为，所以，即：.

因此.

所以

7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知数列的前n项和为，点在抛物线上.

（1）求；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）因为点在抛物线上，

所以，所以.

当时，；

当时

.

所以

（2）易求

当时，；

当时，.

综上，