单科标准练(四)

单科标准练(四)
(满分：150分　时间：120分钟)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{x|x3＝x}，B＝{x|x2－3x＋2≤0}，则A∩B＝(　　)
A．{1}　　B．{0,1}　　C．{－1,1}　　D．{0,1，－1}
A　[法一：因为集合A＝{x|x3＝x}＝{0,1，－1}，B＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|(x－1)(x－2)≤0}＝{x|1≤x≤2}，所以A∩B＝{1}，故选A.
法二：当x＝－1时，(－1)2－3×(－1)＋2＞0，不满足集合B，排除选项C，D；当x＝0时，02－3×0＋2＞0，不满足集合B，排除选项B，故选A.]
2．已知复数z满足(1＋2i)z＝(1＋i)(2－i)，则z的虚部为(　　)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
C　[由题意得，z＝＝＝1－i，所以z的虚部为－1，故选C.]
3．已知函数f(x)＝xex(e为自然对数的底数)的图象的一条切线的方程为y＝x－2a，则实数a的值为(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．2
A　[由f(x)＝xex得，f′(x)＝(x＋1)ex，∵直线y＝x－2a为函数f(x)图象的一条切线，且f′(0)＝1，f(0)＝0，∴2a＝0，∴a＝0.]
4．随着生活水平的提高，进入健身房锻炼的人数日益增加，同时对健身房的服务要求也越来越高，某健身房为更具竞争力，对各项服务都进行了改善，投入经费由原来的200万元增加到400万元，已知改善前的资金投入比例为：健身设施∶健身培训∶安全保障∶其他服务＝10∶5∶3∶2.改善后的经费条形统计图如图所示．

则下列结论正确的是(　　)
A．改善后的健身设施经费投入变少了
B．改善后健身培训的经费投入是改善前的2.8倍
C．改善后安全保障的经费投入所占比例变大了
D．改善后其他服务的经费投入所占比例变小了
B　[A项，改善前健身设施的经费投入为×200＝100(万元)，改善后为160万元，故A项错误．B项，改善前健身培训的经费投入为×200＝50(万元)，140÷50＝2.8，故B项正确．C项，改善后安全保障的经费投入所占比例为＝15%，改善前所占比例为＝15%，改善前后安全保障的经费投入所占比例一样，故C项错误．D项，改善后其他服务的经费投入所占比例为＝10%，改善前所占比例为＝10%，改善前后其所占比例没有变化，故D项错误．故选B.]
5．已知圆C1：x2－8x＋y2＋7＝0的圆心是双曲线C2：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线C2的渐近线与圆C1相切，则双曲线C2的虚轴长为(　　)
A．3 B．6 C．7 D．2
B　[因为圆C1：x2－8x＋y2＋7＝0的标准方程为(x－4)2＋y2＝9，所以圆C1的圆心C1(4,0)，半径为3.因为双曲线C2：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，双曲线C2的渐近线与圆C1相切，所以＝3，即7b2＝9a2.又c2＝a2＋b2，c＝4，所以b＝3，所以双曲线C2的虚轴长为2b＝6.故选B.]
6．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是(　　)
A．甲是教师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是教师
C．甲是医生，乙是教师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是教师
C　[由甲的年龄和记者不同与记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师．故选C.]
7．设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3(a3＋a5)，则＝(　　)
A. B. C. D.
D　[法一：设数列{an}的公差为d，d≠0，由a6＝3(a3＋a5)得，a1＋5d＝3(a1＋2d＋a1＋4d)＝6a1＋18d，所以a1＝－d，所以＝＝.故选D.
法二：因为a6＝3(a3＋a5)＝3(a1＋a7)，所以＝＝＝(易知a6≠0)，故选D.]
8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为(　　)

A．126 B．62 C．30 D．14
C　[执行程序框图，S＝0，S＝0＋21＝2，(1－1)2＋(1－1)2＜16，n＝1＋1＝2，x＝1＋1＝2，y＝1＋1＝2；S＝2＋22＝6，(2－1)2＋(2－1)2＜16，n＝2＋1＝3，x＝2＋1＝3，y＝2＋1＝3；S＝6＋23＝14，(3－1)2＋(3－1)2＜16，n＝3＋1＝4，x＝3＋1＝4，y＝3＋1＝4；S＝14＋24＝30，(4－1)2＋(4－1)2＞16，退出循环．故输出S的值为30.故选C.]
9．将函数f(x)＝sin的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数g(x)的图象，则g(x)在上的最小值为(　　)
A．0 B．－ C．－ D．－
D　[将函数f(x)＝sin的图象先向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得g(x)＝sin的图象．当x∈时，4x－∈，因此当4x－＝－，即x＝－时，g(x)在上取得最小值－.]
10．已知不等式组构成平面区域Ω，若∃(x，y)∈Ω，3x－y＜－5，则实数m的值不可能为(　　)
A. B. C．3 D．2
A　[画出平面区域Ω如图中的阴影部分所示，因为∃(x，y)∈Ω，3x－y＜－5，所以应考虑目标函数z＝3x－y＋5的最大值，即图中交点P(－1，m)在直线3x－y＋5＝0的上方，所以－3－m＋5＜0，解得m＞2.故选A.
]
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝2，1＋＝，则C＝(　　)
A. B. C. D.
A　[由1＋＝，得1＋＝，即cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos A，即sin(A＋B)＝2sin Ccos A，又sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C≠0，所以2cos A＝1，cos A＝，所以A＝.因为a＝2，c＝2，所以a＞c，所以A＞C.由正弦定理＝得＝，所以sin C＝.又A＞C，所以C＝.]
12．已知抛物线C：y2＝8x，F为其焦点，其准线l与x轴的交点为H，过点H作直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点E到准线l的距离为16，P为直线m上的动点，则点P到点F与点D(3,0)距离和的最小值为(　　)
A．3 B. C．4 D.
D　[由题意知，H(－2,0)，可设直线m的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，联立消去y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，Δ＝(4k2－8)2－16k4＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，所以xE＝－2＋，从而－2＋＋2＝16，解得k2＝，满足Δ＞0.由抛物线的对称性知k的正负不影响结果，故可取k＝，则直线m的方程为y＝(x＋2)．设点D(3,0)关于直线m的对称点为D′(x0，y0)，则
解得则D′(1,4)，连接FD′，PD′，则|PF|＋|PD|＝|PF|＋|PD′|≥|FD′|＝＝.故选D.]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)
13．已知向量a＝(1,2)，b＝(k，－6)，若a⊥(b－a)，则k＝________.
17　[由题意知，b－a＝(k－1，－8)，a·(b－a)＝0，即k－1＋2×(－8)＝0，解得k＝17.]
14．已知函数f(x)＝则使不等式f(x)＜f成立的x的取值范围为________．
　[f＝＝2，由f(x)＜f得，当0＜x≤3时，|log2x－1|＜2，得＜x≤3；当x＞3时，＜2，此时无解．综上所述，不等式f(x)＜f的解集为.]
15．设轴截面为正三角形的圆锥的体积为V1，它的外接球的体积为V2，则＝________.
　[如图，设球O的半径为R，则由△ABC是正三角形可得圆锥的底面圆半径r＝BO1＝R，高h＝AO1＝R，所以V1＝πr2h＝π×2×R＝πR3，V2＝πR3，所以＝.]
16．数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，anSn＋1－an＋1Sn＝2n－1an＋1an.设数列的前n项和为Tn，则＝________.
2　[∵anSn＋1－an＋1Sn＝2n－1an＋1an，an≠0，∴－＝2n－1，则－＝1，－＝2，…，－＝2n－2(n≥2，n∈N*)．以上各式相加，得－＝1＋2＋…＋2n－2.∵＝1，∴－1＝2n－1－1，∴Sn＝2n－1an(n≥2，n∈N*)．∵n＝1时上式也成立，∴Sn＝2n－1an(n∈N*)，∴Sn＋1＝2nan＋1.两式相减，得an＋1＝2nan＋1－2n－1an，即(2n－1)an＋1＝2n－1an，∴＝，∴Tn＝1＋＋＋…＋＝2－，
∴＝Tn＋＝2.]
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＝.
(1)若△ABC是以角C为顶角的等腰三角形，求sin A的值；
(2)若bcos A＋acos B＝2，a＋b＝6，求△ABC的面积．
[解]　(1)法一：因为△ABC是以角C为顶角的等腰三角形，所以A＝B，
则cos(A＋B)＝cos 2A＝－cos C＝－.
又cos 2A＝1－2sin2A，
所以1－2sin2A＝－，得sin A＝.
法二：因为△ABC是以角C为顶角的等腰三角形，所以A＝B.
因为cos C＝2cos2－1＝，所以cos＝，
易知A＋＝90°，所以sin A＝cos ＝ .
(2)因为bcos A＋acos B＝2，
所以由余弦定理可得b×＋a×＝2，
即＝2，整理得c＝2.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－ab＝4.
又a＋b＝6，所以ab＝.
因为cos C＝，所以sin C＝，
所以△ABC的面积S＝absin C＝××＝.
18．(本小题满分12分)某市爱心人士举办宠物领养活动，为流浪猫、狗寻找归宿，共有560人参加了此次活动，该市宠物收留中心统计了其中70名参加活动的市民的领养意愿，得到如下的统计表．
领养意愿
暂时无领养意愿的人数
仅愿意领养流浪狗的人数
仅愿意领养流浪猫的人数
两种流浪宠物都愿意领养的人数
人数
10
n1
20
n2
其中n1∶n2＝1∶3.
(1)求出n1，n2的值，并以此样本的频率估计总体的概率，试估计此次参加活动的人中两种流浪宠物都愿意领养的人数；
(2)在此次参加活动并有领养意愿的市民中，按分层抽样的方法选取6名市民，在这6名市民中随机抽取2名当场讲解宠物饲养经验，求抽取的2人恰为仅愿意领养一种流浪宠物的市民的概率．
[解]　(1)由题意可得，n1＋n2＝40，
结合已知条件n1∶n2＝1∶3，可得n1＝10，n2＝30.
用样本的频率估计总体的概率，可知两种流浪宠物都愿意领养的人数为×560＝240.
(2)由(1)可知，n1∶20∶n2＝1∶2∶3，由分层抽样的方法可得，6名市民中仅愿意领养流浪狗的市民有6×＝1(名)，仅愿意领养流浪猫的市民有6×＝2(名)，两种流浪宠物都愿意领养的市民有6×＝3(名)．
这6名市民中，仅愿意领养流浪狗的1名市民记为A，仅愿意领养流浪猫的2名市民分别记为B，C，两种流浪宠物都愿意领养的3名市民分别记为D，E，F.
从这6名市民中随机抽取2名的结果有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种，
其中恰为仅愿意领养一种流浪宠物的情况有AB，AC，BC，共3种，
故所求的概率为＝.
19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P­ABCD中，底面四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝4，△PAB是等边三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PB的中点，点M在棱PC上．
(1)求证：AE⊥BM；
(2)若三棱锥C ­MDB的体积为，且PM＝λPC，求实数λ的值．
[解]　(1)因为四边形ABCD是梯形，AD∥BC且AD⊥AB，所以BC⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB，
又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE.
因为△PAB是等边三角形，E是PB的中点，所以AE⊥PB.
又AE⊥BC，BC∩PB＝B，所以AE⊥平面PBC，
又BM⊂平面PBC，所以AE⊥BM.
(2)过点P作PF⊥AB于点F，连接CF(图略)，
易知PF⊥平面ABCD，则PF⊥CF.
因为△PAB是等边三角形，AB＝4，所以PF＝2.
过点M作MN⊥CF于点N(图略)，易知MN∥PF，＝.
因为V三棱锥P­BCD＝××4×4×2＝，V三棱锥C ­MDB＝＝V三棱锥M­BCD，
所以＝＝.
又＝＝，所以＝＝，＝，
所以λ＝＝.
20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点E(，1)，其左、右顶点分别为A，B，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M(x0，y0)为椭圆C上异于A，B两点的任意一点，MN⊥AB于点N，直线l：x0x＋2y0y－4＝0.
①证明：直线l与椭圆C有且只有一个公共点；
②设过点A且与x轴垂直的直线与直线l交于点P，证明：直线BP经过线段MN的中点．
[解]　(1)由题意，得得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①由题意知y0≠0，由得(x＋2y)x2－8x0x＋16－8y＝0.
因为点M(x0，y0)在椭圆上，所以x＋2y＝4，则x2－2x0x＋x＝0，即(x－x0)2＝0，
得x＝x0，y＝y0.
所以直线l与椭圆C有且只有一个公共点，即点M.
②由(1)知，A(－2,0)，B(2,0)，
过点A且与x轴垂直的直线的方程为x＝－2，
结合方程x0x＋2y0y－4＝0，得点P.
直线PB的斜率k＝＝－，
则直线PB的方程为y＝－(x－2)．
因为MN⊥AB于点N，所以N(x0,0)，线段MN的中点坐标为.
令x＝x0，得y＝－(x0－2)＝.
因为x＋2y＝4，所以y＝＝＝，
所以直线PB经过线段MN的中点.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln x－＋1.
(1)当a＝1时，求证：f(x)≤x－；
(2)若不等式f(x)≤0在[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝1时，f(x)＝ln x－＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
设g(x)＝f(x)－＝ln x－＋1－＝ln x－－x＋，
则g′(x)＝－－＝－＝－.
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(1)＝0，
所以f(x)≤x－.
(2)因为f(x)＝aln x－＋1，
所以f′(x)＝－＝－.
①当a≤0时，因为x∈[1，e]，所以f′(x)<0，
所以f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)≤f(1)＝0，所以a≤0满足题意．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝4a2，
所以当x∈(0,4a2)时，f′(x)＞0，当x∈(4a2，＋∞)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0,4a2)上单调递增，在(4a2，＋∞)上单调递减．
当4a2≥e，即a≥时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)≤f(e)＝a－＋1≤0，所以a≤－1，此时无解．
当1＜4a2＜e，即＜a＜时，
f(x)在(1,4a2)上单调递增，在(4a2，e)上单调递减，
所以f(x)≤f(4a2)＝aln 4a2－2a＋1＝2aln 2a－2a＋1≤0.
设h(x)＝2xln 2x－2x＋1，则h′(x)＝2ln 2x.
当x∈时，h′(x)＞0，所以h(x)在上单调递增，
则当x∈时，h(x)＞h＝0，不满足题意．
当0＜4a2≤1，即0＜a≤时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)≤f(1)＝0，所以0＜a≤满足题意．
综上所述，实数a的取值范围为.
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2.
(1)设点M，N分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|MN|的最大值；
(2)设直线l：(t为参数)与曲线C1交于P，Q两点，且|PQ|＝1，求直线l的普通方程．
[解]　(1)曲线C1的普通方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心C1(3,0)，半径r1＝2.
曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，圆心C2(0,0)，半径r2＝2，
∴|MN|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝3＋2＋2＝7.
(2)将直线l的参数方程代入(x－3)2＋y2＝4中，得(tcos α－4)2＋(tsin α)2＝4，整理得t2－8tcos α＋12＝0，Δ＞0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，
∴t1＋t2＝8cos α，t1t2＝12，
又|PQ|＝1，∴|t1－t2|＝＝＝1，解得cos α＝±，满足Δ＞0，∴直线l的斜率为tan α＝±，
∴直线l的普通方程为y＝±(x＋1)．
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|2x－5|－|x＋1|.
(1)解不等式：f(x)＜3x；
(2)当x∈[1,2]时，f(x)≤ax2－x＋3恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)法一：原不等式等价于或或
解得x＞，故原不等式的解集为.

法二：如图，作出函数f(x)的图象，
利用f(x)的图象解不等式，由4－3x＝3x，解得x＝，
由图象可得原不等式的解集为.
(2)法一：当x∈[1,2]时，f(x)＝4－3x，
则不等式f(x)≤ax2－x＋3可化为ax2＋2x－1≥0，
令g(x)＝ax2＋2x－1，易知函数g(x)＝ax2＋2x－1的图象恒过点(0，－1)，
由函数g(x)＝ax2＋2x－1的图象可知，要使x∈[1,2]时，f(x)≤ax2－x＋3恒成立，需
a＝0或或解得a≥－，
故实数a的取值范围是.
法二：当x∈[1,2]时，f(x)＝4－3x，则不等式f(x)≤ax2－x＋3可化为a≥－，
因为x∈[1,2]，∈，所以－＝2－1≤－，
所以a≥－，
故实数a的取值范围是.