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    2020届二轮复习外接球学案(全国通用)

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    培优点十四  外接球

    1.正棱柱,长方体的外接球球心是其中心

    例1:已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积是(   

    A. B. C. D.

    【答案】C

    【解析】,故选C.

     

    2.补形法(成长方体)

    例2:若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是      

    【答案】

    【解析】

     

    3.依据垂直关系找球心

    例3:已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上,底面满足,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为(   

    A. B. C. D.

    【答案】D

    【解析】因为等腰直角三角形,所以外接球的半径是设外接球的半径是球心到该底面的距离如图,则由题设

    最大体积对应的高为

     

    所以外接球的体积是故答案D.

     

     

    一、单选题

    1.棱长分别为2、的长方体的外接球的表面积为(    

    A. B. C. D.

    【答案】B

    【解析】设长方体的外接球半径为,由题意可知:,则:该长方体的外接球的表面积为本题选择B选项

    2.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(    

    A.12π B.28π C.44π D.60π

    【答案】B

    【解析】设底面三角形的外接圆半径为,由正弦定理可得:,则

    设外接球半径为,结合三棱柱的特征可知外接球半径

    外接球的表面积本题选择B选项

    3.把边长为3的正方形沿对角线对折,使得平面平面,则三棱锥的外接

     

    球的表面积为   

    A. B. C. D.

    【答案】C

    【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折,使得平面平面

    则三棱锥的外接球直径为外接球的表面积为故选C.

    4.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成,其三视图如下图所示,则该几何体外接球的面积为(   

    A. B. C. D.

    【答案】C

    【解析】由题可知,该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成,其中底面是棱长为的正三角形,一个是三条侧棱两两垂直,且侧棱长为的正三棱锥,另一个是棱长为的正四面体,如图所示

    该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同,因此外接球的直径即为正方体的体对角线,所以所以该几何体外接球面积,故选C

    5.三棱锥的所有顶点都在球的表面上,平面,则球的表面积为   

    A. B. C. D.

    【答案】D

     

    【解析】因为,所以

    因此三角形外接圆半径为

    设外接球半径为,则D.

    6.如图是边长为1的正方体,是高为1的正四棱锥,若点在同一个球面上,则该球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    【答案】D

    【解析】如图所示,连结交点为,连结

    易知球心在直线上,设球的半径,在中,由勾股定理有:,即:解得:,则该球的表面积本题选择D选项

     

     

    7.已知球的半径为三点在球的球面上,球心到平面的距离为,则球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    【答案】D

    【解析】由余弦定理得:

    设三角外接圆半径为由正弦定理可得:,则

    ,解得:则球的表面积本题选择D选项

    8.已知正四棱锥(底面四边形是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上,底面正方形的边长为,若该正四棱锥的体积为,则此球的体积为(   

    A. B. C. D.

    【答案】C

    【解析】

    如图,设正方形的中点为正四棱锥的外接球心为

    底面正方形的边长为

    正四棱锥的体积为

    中由勾股定理可得:解得故选C.

    9.如图,在中,的中点,将沿折起到的位置,使,连接,得到三棱锥.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上,

     

    则该球的表面积是   

    A. B. C. D.

    【答案】A

    【解析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形,且平面

    设三棱锥外接球的球心为

    外接圆的圆心为,则四边形为直角梯形,

    ,及,得外接球半径为

    该球的表面积故选A.

    10.四面体中,,则此四面体外接球的表面积为   

    A. B. C. D.

    【答案】A

    【解析】

    由题意,中,可知是等边三角形,

    的外接圆半径

    ,可得可得

    四面体高为

     

     

    设外接球为球心,可得:……

    ……

    ①②解得:四面体外接球的表面积:故选A.

    11.将边长为2的正沿着高折起,使,若折起后四点都在球的表面上,则球的表面积为(   

    A. B. C. D.

    【答案】B

    【解析】中,

    底面三角形的底面外接圆圆心为半径为由余弦定理得到再由正弦定理得到

    见图示

    是球的弦,将底面的圆心平行于竖直向上提起提起到的高度的一半即为球心的位置在直角三角形应用勾股定理得到即为球的半径

    球的半径该球的表面积为故选B.

    12.在三棱锥中,,则该三棱锥的外接球的表面积为   

    A. B. C. D.

    【答案】D

    【解析】分别取的中点,连接相应的线段

    由条件,,可知,,都是等腰三角形,

     

    平面,同理的公垂线,

    球心上,推导出,可以证明中点,

    ,球半径外接球的表面积为

    故选D.

     

    二、填空题

    13.棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________.

    【答案】

    【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为

    则外接球的半径

    则外接球的表面积为

    14.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为,则该正四棱锥内切球的表面积为________.

    【答案】

    【解析】设正四棱锥的棱长为解得

    于是该正四棱锥内切球的大圆是如图的内切圆,

     

    其中

    设内切圆的半径为,即

    解得

    内切球的表面积为

    15.已知三棱柱的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,则此球的表面积等于______.

    【答案】

    【解析】三棱柱的侧棱垂直于底面,棱柱的体积为

    外接圆的半径为,则

    外接球的半径为球的表面积等于.故答案为

    16.在三棱锥中,,则三棱锥外接球的体积的最小值为_____

    【答案】

    【解析】如图所示,三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆,外接圆的直径为长方体的体对角线

    ,那么所以由题意,体积的最小值即为

     

    最小,,所以当时,的最小值为,所以半径为

    故体积的最小值为

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