初中人教版第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法精品学案

这是一份初中人教版第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法精品学案，共5页。学案主要包含了学习目标，知识回顾，新知讲解，典例探究等内容，欢迎下载使用。

一、学习目标


1．会用因式分解法解一元二次方程；


2．会用换元法解一元二次方程；


3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.


二、知识回顾


1．分解因式的常用方法有哪些？


（1）提取公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)


（2）公式法：


，，


（3）十字相乘法：








三、新知讲解


1．因式分解法


把一个多项式分解成 几个整式乘积 的形式叫做分解因式.


当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法称为 因式分解法 .


2．因式分解法解一元二次方程的步骤：


①把方程的右边化为0；


②用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；


③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；


④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.


3．因式分解法的条件、理论依据


因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；


理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.


四、典例探究


1．用因式分解法解一元二次方程


【例1】用因式分解法解方程：


（1）2(2x－1)2=(1－2x)；（2）4(y＋2)2=(y－3)2.











总结：


用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论.


因式分解法解一元二次方程的步骤：


（1）把方程的右边化为0；


（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；


（3）令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；


（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.


2．用换元法解一元二次方程


【例2】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．


利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．














总结：


换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.


在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.


解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．


练2若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=_______．


练3 解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.











3．灵活选用方法解一元二次方程


【例3】选择适当方法解下列方程：


（1）x2﹣5x+1=0；


（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；


（3）2x2﹣2x﹣5=0；


（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．














总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.


（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.


（2）若常数项为0，即形如ax2+bx=0的形式，应选用因式分解法.


（3）若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.


（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的. 因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.


练4选择合适的方法解下列方程.


（1）x2﹣5x﹣6=0； （2）3x2﹣4x﹣1=0；


（3）x（x﹣1）=3﹣3x； （4）x2﹣2x+1=0．


课堂小结：


课堂小练


一、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程3x（x﹣1）=5（x﹣1）的根为（ ）


A．x= B．x=1 C．x1=1 x2= D．x1=1 x2=





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，较简便的方法是( )


A.直接开平方法 B.因式分解法 C.配方法 D.公式法





LISTNUM OutlineDefault \l 3 用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )


A.(2x-2)(3x-4)=0，∴2-2x=0或3x-4=0


B.(x＋3)(x-1)=1，∴x＋3=0或x-1=1


C.(x-2)(x-3)=2×3，∴x-2=2或x-3=3


D.x(x＋2)=0，∴x＋2=0





LISTNUM OutlineDefault \l 3 三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2-13x＋36=0的根，则三角形的周长为( )


A.13 B.15 C.18 D.13或18





LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程x（x+3）=x+3的解是（ ）


A.x=0 B.x1=0,x2=﹣3 C.x1=1,x2=3 D.x1=1，x2=﹣3





LISTNUM OutlineDefault \l 3 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则这个等腰三角形的腰长是（ ）


A.2 B.5 C.2或5 D.3或4





LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程x(x﹣1)=(x﹣1)(2x+1)的根是( )


A.x=﹣1 B.x=1 C.x=±1 D.x=0





LISTNUM OutlineDefault \l 3 甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为+2和﹣2，则原方程是（ ）


A．x2+4x﹣15=0B．x2﹣4x﹣15=0C．x2+4x+15=0D．x2﹣4x﹣15=0





二、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=0的根是 ．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程x2=x的根是___ _______．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15=0的根，则该等腰三角形的周长为________．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知(a+b)2-2(a+b)-3=0，则a+b=_______________.

















三、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解方程：x2+3x﹣4=0.(因式分解法)




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 解方程：x2－2x－3=0.(因式分解法)




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 解方程：3x(x﹣2)=2(x﹣2).(因式分解法)























LISTNUM OutlineDefault \l 3 解方程：4x(2x+1)=3(2x+1).(因式分解法)























参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 A


LISTNUM OutlineDefault \l 3 A


LISTNUM OutlineDefault \l 3 D


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x1=3，x2=2．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x1=0，x2=1


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：19或21或23


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：3或—1


LISTNUM OutlineDefault \l 3 因式分解可得：(x﹣1)(x+4)=0，∴x﹣1=0或x+4=0，解得：x1=﹣4，x2=1；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x1=3,x2=-1.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x1=2，x2=；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x=﹣或x=；