人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试优秀单元测试当堂检测题

这是一份人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试优秀单元测试当堂检测题，共13页。试卷主要包含了下列各组数中，是勾股数的为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题


1．下列各组数中，是勾股数的为（ ）


A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13


2．直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）


A．61B．71C．81D．91


3．如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（ ）





A．15尺B．16尺C．17尺D．18尺


4．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（ ）


A． B．C．D．


5．一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（ ）


A．13，10，10B．13，10，12C．13，12，12D．13，10，11


6．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ）





A．5B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．3


7．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（ ）





A．18m B．10m C．14m D．24m


8．张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（ ）


A．30m B．40m C．50m D．70m


9．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若AD= SKIPIF 1 < 0 ，BC=2 SKIPIF 1 < 0 ，△ABC的周长为（ ）





A．6+2 SKIPIF 1 < 0 B．10 C．8+2 SKIPIF 1 < 0 D．12


10．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）





A．2个B．3个C．4个D．6个


二．填空题


11．在4×4的方格中，△ABC的三个顶点均在格点上，其中AB= SKIPIF 1 < 0 ，BC=2 SKIPIF 1 < 0 ，AC= SKIPIF 1 < 0 ．则△ABC中AC边上的高的长为 ．（保留根号）





12．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5 SKIPIF 1 < 0 千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10 SKIPIF 1 < 0 千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）





13．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3= ．





14．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是 ．


15．已知一个三角形的三边长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，则这个三角形的面积为 ．


16．请你任意写出二组勾股数 ．


17．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC= SKIPIF 1 < 0 ，CD= SKIPIF 1 < 0 ，AD=3，且AB⊥BC．则四边形ABCD的面积为 ．





18．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a= ．（提示：5=，13=，…）





三．解答题


19．如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，已知AC=2 SKIPIF 1 < 0 ，BC= SKIPIF 1 < 0 ，画出△ABC，并判断△ABC是不是直角三角形．











20．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c


根据你发现的规律，请写出


（1）当a=19时，求b、c的值；


（2）当a=2n+1时，求b、c的值；


（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．














21．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．


（1）已知CD=4cm，求AC的长；


（2）求证：AB=AC+CD．




















22．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．


（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；


（2）写出当a=17时，b，c的值．








23．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）









































24．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．


（1）求港口A到海岛B的距离；


（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？








参考答案


一．选择题（共10小题）


1． C． 2． C． 3． C． 4． C． 5． B． 6． B． 7． A． 8． C


9． A． 10． D．





二．填空题（共8小题）


11． ．（保留根号） 12． SKIPIF 1 < 0 13． 18 ．


14． 4，3，5（答案不唯一） ． 15． SKIPIF 1 < 0 ．


16． 3、4、5，5、12、13 ． 17． SKIPIF 1 < 0 ． 18． 17 ．





三．解答题（共6小题）


19．如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，已知AC=2 SKIPIF 1 < 0 ，BC= SKIPIF 1 < 0 ，画出△ABC，并判断△ABC是不是直角三角形．





【分析】根据勾股定理结合网格结构，求出AB2=42+32=25，画出AC=2 SKIPIF 1 < 0 ，BC= SKIPIF 1 < 0 ，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形．


【解答】解：如图，△ABC即为所求．





∵AC=2 SKIPIF 1 < 0 ，BC= SKIPIF 1 < 0 ，


∴AC2+BC2=20+5=25，


∵AB2=42+32=25，


∴AC2+BC2=AB2，


∴△ABC是直角三角形．


【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．





20．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c


根据你发现的规律，请写出


（1）当a=19时，求b、c的值；


（2）当a=2n+1时，求b、c的值；


（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．


【分析】（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b，c的值．


（2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b、c的值．


（3）将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是．


【解答】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b=1


∵a=19，a2+b2=c2，


∴192+b2=（b+1）2，


∴b=180，


∴c=181；





（2）通过观察知c﹣b=1，


∵（2n+1）2+b2=c2，


∴c2﹣b2=（2n+1）2，


（b+c）（c﹣b）=（2n+1）2，∴b+c=（2n+1）2，


又c=b+1，


∴2b+1=（2n+1）2，


∴b=2n2+2n，c=2n2+2n+1；





（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，


当n=7时，2n+1=15，112﹣111=1，


但2n2+2n=112≠111，


∴15，111，112不是一组勾股数．


【点评】此题主要考查学生对勾股数及规律题的综合运用能力．





21．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．


（1）已知CD=4cm，求AC的长；


（2）求证：AB=AC+CD．





【分析】（1）根据角平分线的性质可知CD=DE=4cm，由于∠C=90°，故∠B=∠BDE=45°，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得可得BD，AC的值．


（2）由（1）可知：△ACD≌△AED，AC=AE，BE=DE=CD，故AB=AE+BE=AC+CD．


【解答】解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，


∴DE=CD=4cm，


又∵AC=BC，


∴∠B=∠BAC，


又∵∠C=90°，


∴∠B=∠BDE=45°，


∴BE=DE=4cm．


在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD= SKIPIF 1 < 0 cm，


∴AC=BC=CD+BD=4+ SKIPIF 1 < 0 （cm）．





（2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，


∴∠ADE=∠ADC，


∴AC=AE，


又∵BE=DE=CD，


∴AB=AE+BE=AC+CD．


【点评】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，比较简单．





22．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．


（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；


（2）写出当a=17时，b，c的值．


【分析】（1）根据表格找出规律再证明其成立；


（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可．


【解答】解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：


①以上各组数均满足a2+b2=c2；


②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；


③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，


如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…


由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：


设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），


则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，


证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），


∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，


∴m，n，（n+1）是一组勾股数；


（2）运用以上结论，当a=17时，


∵172=289=144+145，


∴b=144，c=145．


【点评】本题考查了勾股数、勾股定理的逆定理；解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．





23．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）





【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB﹣AD可得BD长．


【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=13m，AC=5m，


∴（m），


∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，


∴CD=13﹣0.5×10=8（m），


∴（m），


∴）（m）．


答：船向岸边移动了）m．


【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．





24．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．


（1）求港口A到海岛B的距离；


（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？





【分析】（1）作BD⊥AE于D，构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD表示出CD和AD，利用DA和DC之间的关系列出方程求解．


（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可．


【解答】解：（1）过点B作BD⊥AE于D


在Rt△BCD中，∠BCD=60°，设CD=x，则BD= SKIPIF 1 < 0 ，BC=2x


在Rt△ABD中，∠BAD=45°


则AD=BD= SKIPIF 1 < 0 ，AB= SKIPIF 1 < 0 BD= SKIPIF 1 < 0


由AC+CD=AD得20+x= SKIPIF 1 < 0


解得：x=10 SKIPIF 1 < 0 +10


故AB=30 SKIPIF 1 < 0 +10 SKIPIF 1 < 0


答：港口A到海岛B的距离为 SKIPIF 1 < 0 海里．





（2）甲船看见灯塔所用时间： SKIPIF 1 < 0 小时


乙船看见灯塔所用时间： SKIPIF 1 < 0 小时


所以乙船先看见灯塔．





【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答．





3，4，5
32+42=52
5，12，13，
52+122=132
7，24，25
72+242=252
9，40，41
92+402=412
…
…
17，b，c
172+b2=c2
3，4，5
32+42=52
5，12，13，
52+122=132
7，24，25
72+242=252
9，40，41
92+402=412
…
…
17，b，c
172+b2=c2