专题05 圆的标准方程与一般方程（课时训练）解析版-高二上（新教材人教A版）

  专题05 圆的标准方程与一般方程课时训练【基础巩固】1．（福建省宁德一中2019届质检）若圆C与y轴相切于点P(0,1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程是(　　)A．(x＋)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋)2＝2C．(x－)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－)2＝2【答案】C　【解析】设线段AB的中点为D，则|AD|＝|CD|＝1，∴r＝|AC|＝＝|CP|，故C(，1)，故圆C的标准方程是(x－)2＋(y－1)2＝2，故选C.2.（陕西工业大学附中2019届模拟）已知点A(2，－1，－3)，点A关于x轴的对称点为点B，则|AB|的值为(　　)A．4  B．6    C.  D．2【答案】D　【解析】由题意可知点A关于x轴的对称点B的坐标为(2,1,3)，所以|AB|＝＝2.故选D.3．（2020江西赣州三中高二月考）若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的圆心位于(　)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因为直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，所以，因为圆心，所以圆心位于第二象限，选B.4．（2020全国高二课时练）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.5.（多选题）（2020·山东临朐高二月考）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】CD【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，由为圆上的点与定点的斜率的值，设过点的直线为，即，圆心到到直线的距离，即，整理可得解得，所以，即的最大值为，最小值为。故选：.6．（2020浙江丽水高二期末）“”是“为圆方程”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】方程表示圆需满足或，所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，故选：A. 7.（云南昆明第三中学2019届模拟）已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2 ＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.8.（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程．(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；(2)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.【解析】(1)由题意知kAB＝2，AB中点为(4,0)，设圆心C(a，b)．因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，则解得所以C(2,1)，所以r＝|CA|＝＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将P，Q两点的坐标分别代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.　　③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，　　④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
【能力提升】9．（2020·浙江温岭中学高二月考）已知，，动点满足，则点的轨迹方程是___________；又若，此时的面积为___________.【答案】； .    【解析】，，设，由，得，整理得：；以为直径的圆的方程为，联立，解得.即点的纵坐标的绝对值为.此时的面积为.10．（浙江省台州一中2019届期中）已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求的最大值和最小值．【解析】将圆C化为标准方程可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C(2，7)，半径r＝2.(1)设m＋2n＝b，则b可看作是直线n＝－m＋在y轴上截距的2倍，故当直线m＋2n＝b与圆C相切时，b有最大或最小值．所以＝2，所以b＝16＋2(b＝16－2舍去)，所以m＋2n的最大值为16＋2.(2)设＝k，则k可看作点(m，n)与点(－2,3)所在直线的斜率，所以当直线n－3＝k(m＋2)与圆C相切时，k有最大或最小值，所以＝2，解得k＝2＋或k＝2－.所以的最大值为2＋，最小值为2－.11．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考）设三角形的顶点坐标是A（0，a），B（，0），C（，0），其中a>0，圆M为的外接圆．（1）求圆M的方程；（2）当a变化时，圆M是否过某一定点?请说明理由．【解析】 (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).12．（2020全国高二课时练）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.【解析】 (1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－3．又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．(2)由,得,∴点A的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|＝.∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．
【高考真题】13．（2019·北京高考）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.14.（2019·浙江高考）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.【答案】        【解析】可知，把代入得，此时.15.（2018·天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】【解析】设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：，则圆的方程为.16.（2017·天津高考）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为____________ .【答案】【解析】设圆心坐标为，则，焦点，，，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为.17．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解析】(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.18. 直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.19．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．【答案】x2＋y2－2x＝0【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将已知三点的坐标代入方程可得解得所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.20．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　 　)A．－　　　　　　　　　 B．－C．   D．2【答案】A【解析】圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为＝1，解得a＝－，故选A．21．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为2＋y2＝　.【答案】2＋y2＝.【解析】由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0，－2)．易知线段AB的垂直平分线的方程为2x－y－3＝0，令y＝0，得x＝，所以圆心坐标为，则半径r＝4－＝，所以该圆的标准方程为2＋y2＝.