人教版七年级数学上册期末压轴题型难点突破训练 解析版

人教版七年级数学上册期末压轴题型难点突破训练
一、实际问题与方程
1．为了鼓励市民节约用水，某市水费实行阶梯式计量水价．每户每月用水量不超过25吨，收费标准为每吨a元；若每户每月用水量超过25吨时，其中前25吨还是每吨a元，超出的部分收费标准为每吨b元．下表是小明家一至四月份用水量和缴纳水费情况．根据表格提供的数据，回答：
月份
一
二
三
四
用水量（吨）
16
18
30
35
水费（元）
32
36
65
80
（1）a＝　 　；b＝　 　；
（2）若小明家五月份用水32吨，则应缴水费　 　元；
（3）若小明家六月份应缴水费102.5元，则六月份他们家的用水量是多少吨？






2．某市居民使用自来水按月收费，标准如下：
①若每户月用水不超过10m3，按a元/m3收费；
②若超过10m3，但不超过20m3，则超过的部分按1.5a元/m3收费，未超过10m3部分按①标准收费；
③若超过20m3，超过的部分按2a元/m3收费，未超过20m3部分按②标准收费；
（1）若用水20m3，应交水费　 　元；（用含a的式子表示）
（2）小明家上个月用水21m3，交水费81元，求a的值；
（3）在（2）的条件下，小明家七、八两个月共交水费240元，七月份用水xm3超过10m3，但不足20m3，八月份用水ym3超过20m3，当x，y均为整数时，求y的值．






3．公园门票价格规定如下表：
购票张数
1～50张
51～100张
100张以上
每张票的价格
13元
11元
9元
某校七（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（2）两班各有多少学生？
（3）如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？



4．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）

甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？





5．甲、乙两家体有用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动．
甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠盒乒乓球：
乙店的优惠办法是：按定价的9折出售某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干（不少于4盒）．
（1）用代数式表示（所填代数式需化简）：
当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款　 　元，在乙店购买需付款　 　元：
（2）若只能选择到一家商店购买，当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由：
（3）若只能选择到一家商店购买，当购买乒乓球多少盒时，到两家商店所花费用一样多？
（4）若只能选择到一家商店购买，结合（2）（3）的结论，请你回答当购买乒乓球的盒数在什么范围时，到乙商店购买合算．





二、数轴动点类问题
6．已知多项式x3+2x2y﹣4的常数项是a，次数是b，若a、b两数在数轴上所对应的点为A、B．

（1）线段AB的长＝　 　；
（2）数轴上在B点右边有一点C，点C到A、B两点的距离和为11，求点C在数轴上所对应的数；
（3）若P、Q两点分别从A、B出发，同时沿数轴正方向运动，P点的速度是Q点速度的2倍，且3秒后，2OP＝OQ，求点Q运动的速度．

7．如图，数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式x3﹣3xy29﹣20的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母表示，比如，点A与点C之间的距离记作AC．
（1）求a，c的值；
（2）若数轴上有一点D满足CD＝2AD，求D点表示的数为多少？
（3）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，AB＝BC，求t的值．



8．如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式x3+15x2y2﹣20的常数项是a，最高次项的系数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如，点A与点B之间的距离记作AB．
（1）求a，c的值：
（2）动点B从数﹣6对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒3个单位长度，每秒4个单位长度，设运动时间为t秒．
①若点A向右运动，点C向左运动，AB＝BC．求t的值：
②若点A向左运动，点C向右运动，2AB﹣m•BC的值不随时间t的变化而改变，求出m的值．

9．如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知AB＝12，原点O是线段AB上的一点，且OA＝2OB．

（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，2OP﹣OQ＝4．
（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M行驶的总路程和点M停止运动时在数轴上所对应的有理数．




10．如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为4，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点A到点B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）
（1）求t＝1时点P表示的有理数；
（2）求点P与点B重合时的t值；
（3）在点P由点A到点B的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）；在点P由点B到点A的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）；
（4）当点P表示的有理数与原点的距离是2个单位长度时，直接写出所有满足条件的t值．




三、角的计算类问题
11．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．
（1）将三角板放置到如图所示位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
（2）若仍将三角板按照如图所示的方式放置，仅满足OC平分∠MOB，试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．






12．如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD．
（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数．
（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数．
（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由．



13．已知：如图1，OB、OC分别为锐角∠AOD内部的两条动射线，当OB、OC运动到如图的位置时，∠AOC+∠BOD＝100°，∠AOB+∠COD＝40°，
（1）求∠BOC的度数；

（2）如图2，射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数．
（3）如图3，若OE、OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB＝∠COF＝90°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点O旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由．


14．已知点O为直线AB上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90°．
（1）如图1，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由；
①∠COD和∠BOE相等吗？
②∠BOD和∠COE有什么关系？
（2）如图2，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答；
①∠COD和∠BOE相等吗？
②第（1）题中的∠BOD和∠COE的关系还成立吗？



15．已知：∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，∠MON＝　 　度．
（2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小．
（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．

16．已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．

（1）如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．
（2）若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为　 　．
（3）由（1）和（2），我们发现∠MOC和∠BON之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
















参考答案
1．解：（1）由题意得：a＝＝2；
25×2+（30﹣25）b＝65，
解得b＝3．
故答案是：2；3；
（2）依题意得：25×2+（32﹣25）×3＝71（元）．
即：若小明家五月份用水32吨，则应缴水费71元．
故答案是：71；
（3）因为102.5＞50，所以六月份的用水量超过25吨，
设六月份用水量为x吨，则2×25+3（x﹣25）＝102.5，
解得：x＝42.5
答：小明家六月份用水量为42.5吨．
2．解：（1）由题意得：10a+10×1.5a＝25a（元）
故答案是：25a．
（2）根据题意，25a+2a＝81
解得a＝3；
（3）根据题意，30+4.5（x﹣10）+30+45+6（y﹣20）＝240．
4.5x+6y＝300
3x+4y＝200
4y＝200﹣3x

因为x取11至19的整数，且y为整数，所以x应为4的倍数．
当x＝12时，y＝41：
当x＝16时，y＝38．
综上所述，y的值为41或38．
3．解：（1）1240﹣104×9＝304，
∴可省304元钱；
（2）设七（1）班有x人，
则有13x+11（104﹣x）＝1240或13x+9（104﹣x）＝1240，
解得：x＝48或x＝76（不合题意，舍去）．
即七（1）班48人，七（2）班56人；
（3）要想享受优惠，由（1）可知七（1）班48人，只需多买3张，
51×11＝561，48×13＝624＞561
∴48人买51人的票可以更省钱．
4．解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x+15）件，
根据题意得：22x+30（x+15）＝6000，
解得：x＝150，
∴x+15＝90．
答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．
（2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
（3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得：（29﹣22）×150+（40×﹣30）×90×3＝1950+180，
解得：y＝8.5．
答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
5．解：（1）甲：20×4+5（x﹣4）＝60+5x（x≥4）；
乙：4.5x+72（x≥4）．
故答案是：（60+5x）（x≥4）；（4.5x+72）（x≥4）；
（2）当x＝10时，
甲：60+5x＝60+50＝110（元）
乙：4.5x+72＝4.5×10+72＝117（元）
由于110＜117，
所以，在甲店合适；
（3）由题意知，60+5x＝4.5x+72，
解得x＝24，
即当x＝24时，到两店一样合算；
（4）由题意知，60+5x＞4.5x+72，
解得x＞24，
即当x＞24时，到乙店合算．
6．解：（1）∵多项式x3+2x2y﹣4的常数项是a，次数是b，
∴a＝﹣4，b＝3，
∴线段AB的长为3﹣（﹣4）＝3+4＝7，
故答案为：7；
（2）设点C在数轴上对应的数为c，
[c﹣（﹣4）]+（c﹣3）＝11，
解得，c＝5，
即点C在数轴上对应的数为5；
（3）设点Q的速度为m，则点P的速度为2m，
当点P在点O左侧时，满足2OP＝OQ，得
（|﹣4|﹣3×2m）×2＝3+3m，
解得，m＝；
当点P在点O右侧时，满足2OP＝OQ，得
（3×2m﹣|﹣4|）×2＝3+3m，
解得，m＝，
答：点Q的速度为或．
7．解：（1）多项式x3﹣3xy29﹣20的常数项是﹣20，次数是30．
所以 a＝﹣20，c＝30．
（2）分三种情况讨论：
当点D在点A的左侧时，

∵CD＝2AD，
∴AD＝AC＝50．
点D表示的数为﹣20﹣50＝﹣70；
当点D在点A，C之间时，

∵CD＝2AD，
∴AD＝AC＝，
∴D点表示的数为﹣20+＝﹣．

∴当点D在点C的右侧时，

则AD＞CD，与CD＝2AD相矛盾，不符合题意．
综上所述，D点表示的数为﹣70或﹣；
（3）如图所示：

当t＝0时，AB＝21，BC＝29．
当时间为t时，
点A表示的数为﹣20﹣2t，
点B表示的数为l+t，
点C表示的数为30+3t，
AB＝1+t﹣（﹣20﹣2t）＝3t+21，
BC＝30+3t﹣（1+t）＝2t+29，
由AB＝BC即3t+21＝2t+29．
解之得t＝8．
故当t＝8时，AB＝BC．
8．解：（1）∵多项式x3+15x2y2﹣20的常数项是a，最高次项的系数是c，
∴a＝﹣20，c＝15．
（2）①当运动时间为t秒时，点A表示的数为3t﹣20，点B表示的数为2t﹣6，点C表示的数为﹣4t+15，
∵AB＝BC，
∴|3t﹣20﹣（2t﹣6）|＝|2t﹣6﹣（﹣4t+15）|，即t﹣14＝6t﹣21或t﹣14＝21﹣6t，
解得：t＝或t＝5．
答：t的值为或5．
②当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣3t﹣20，点B表示的数为2t﹣6，点C表示的数为4t+15，
∴AB＝|﹣3t﹣20﹣（2t﹣6）|＝5t+14，BC＝|2t﹣6﹣（4t+15）|＝2t+21，
∴2AB﹣m•BC＝10t+28﹣2mt﹣21m＝（10﹣2m）t+28﹣21m．
∵2AB﹣m•BC的值不随时间t的变化而改变，
∴10﹣2m＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
9．解：（1）∵AB＝12，AO＝2OB，
∴AO＝8，OB＝4，
∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4，
∴a＝﹣8，b＝4．
故答案是：﹣8；4；
（2）当0＜t＜4时，如图1，

AP＝2t，OP＝8﹣2t，BQ＝t，OQ＝4+t，
∵2OP﹣OQ＝4，
∴2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
t＝＝1.6，
当点P与点Q重合时，如图2，

2t＝12+t，t＝12，
当4＜t＜12时，如图3，

OP＝2t﹣8，OQ＝4+t，
则2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
t＝8，
综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ＝4；
（3）当点P到达点O时，8÷2＝4，此时，OQ＝4+t＝8，即点Q所表示的实数为8，
如图4，

设点M运动的时间为t秒，
由题意得：2t﹣t＝12，
t＝12，
此时，点P表示的实数为﹣8+12×2＝16，所以点M表示的实数是16，
∴点M行驶的总路程为：3×12＝36，
答：点M行驶的总路程为36和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．
10．解：（1）点P所走过的路程表示为：AP＝2t，
当t＝1时，AP＝2．
因为点A表示的有理数为﹣6．
所以，点P表示的有理数为﹣4；
（2）AB＝10，
由题意得：2t＝10．
解得：t＝5．
所以，5秒时点P与点B重合；
（3）在点P由点A到点B的运动过程中，PA＝2t，
在点P由点B到点A的运动过程中，PA＝20﹣2t，
（4）在点P由点A到点B的运动过程中，PA＝2t．
在点P由点B到点A的运动过程中，PB＝2t﹣10．
在点P由点A到点B的运动过程中，2t＝4，或2t＝8，
解得t＝2或t＝4；
在点P由点B到点A的运动过程中，2t﹣10＝2或2t﹣10＝6，
解得t＝6或t＝8；
综上：满足条件的t＝2，t＝4，t＝6，t＝8．
11．解：（1）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；
（2）∠AOM＝2∠NOC．
令∠NOC为α，∠AOM为β，∠MOC＝90°﹣α，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，
∴β+90°﹣α+90°﹣α＝180°，
∴β﹣2α＝0，即β＝2α，
∴∠AOM＝2∠NOC．
12．解：（1）∵∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°；
（2）设∠COD＝x°，则∠BOC＝100°﹣x°，
∵∠AOC＝110°，
∴∠AOB＝110°﹣（100°﹣x°）＝x°+10°，
∵∠AOD＝∠BOC+70°，
∴100°+10°+x°＝100°﹣x°+70°，
解得：x＝30
即，∠COD＝30°；
（3）当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余；
理由是：
要使∠AOD与∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC＝90°，
即∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝α，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°，
即α＝45°，
∴当α＝45°时，∠AOD与∠BOC互余．

13．解：（1）∵∠AOC+∠BOD＝100°，
∴∠AOB+∠BOC+∠BOC+∠COD＝100°，
又∵∠AOB+∠COD＝40°，
∴2∠BOC＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BOC＝30°，
答：∠BOC的度数为30°；
（2）∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB，
又∵ON是∠COD的平分线，
∴∠CON＝∠DON＝∠COD，
∴∠DON+∠BOM＝（∠COD+∠AOB）＝×40°＝20°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BOC+∠DON＝20°+30°＝50°，
答：∠MON的度数为50°；
（3）∵∠EOB＝∠COF＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠EOF＝90°+90°﹣30°＝150°，
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°，
∴∠AOF+∠DOE＝∠EOF﹣∠AOD＝150°﹣70°＝80°，
又∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，
∴∠AOQ＝∠FOQ＝∠AOF，∠DOP＝∠EOP＝∠DOE，
∴∠AOQ+∠DOP＝（∠AOF+∠DOE）＝×80°＝40°，
∴∠POQ＝∠AOQ+∠DOP+∠AOD＝40°+70°＝110°．
14．解：（1）①∠COD＝∠BOE，
∵∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝∠DOE+∠BOD，
即：∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，
∵∠DOE＝90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD＝∠AOB＝180°，
∴∠BOD+∠AOE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠AOE+∠AOC＝90°+90°＝180°，
（2）①∠COD＝∠BOE，
∵∠COD+∠BOD＝∠BOC＝90°＝∠DOE＝∠BOD+∠BOE，
∴∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，
∵∠DOE＝90°＝∠BOC，
∴∠COD+∠BOD＝∠BOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠COD+∠BOE+∠BOD＝∠BOC+∠DOE＝90°+90°＝180°，
因此（1）中的∠BOD和∠COE的关系仍成立．
15．解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON
＝（∠AOB+∠BOD）
＝∠AOD
＝80°，
故答案为：80；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
即∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC
＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC
＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
＝（∠AOB+∠BOC+∠BOD）﹣∠BOC
＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC
＝×180°﹣20°
＝70°；
（3）∵∠AOM＝ （10°+2t+20°），∠DON＝ （160°﹣10°﹣2t），
又∵∠AOM：∠DON＝2：3，
∴3（30°+2t）＝2（150°﹣2t），
得t＝21．
答：t为21秒．

16．解：（1）如图1，∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝62°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°，
（2）如图1，∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣m°＝（90﹣m）°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝（90﹣m）°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣（90﹣m）°×2＝2m°，
故答案为：2m°；
（3）由（1）和（2）可得：∠BON＝2∠MOC；
（4）∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化，
如图2，∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，
即：∴∠BON＝2∠MOC．