期末测试卷01（人教A版）（测试范围：必修1、必修4）（解析版）
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（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：必修1、必修4（人教A版）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则集合与集合的关系是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵，，故有，故选A。
2．在平面直角坐标系中，已知角的终边在直线上，则的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵角的终边在直线上，∴，
∴，故选B。
3．已知向量，，且，则向量与的夹角为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】∵，，∴，又，
∴，又，故向量与的夹角为，故选C。
4．已知函数(，)的部分图像如图所示，则函数的单调递减区间为( )。
A、 ()
B、 ()
C、 ()
D、 ()
【答案】A
【解析】由图可知，的最小正周期为，排除A、C，
又函数在上单调递减，∴的单调递减区间为，故选A。
5．若函数的定义域为，则实数的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】等价于恒成立，
若，则，不可取，
若，则需，，解得，
∴的范围为，故选D。
6．可以看成向量在向量上的投影与的乘积。已知点、均在以为直径的圆上，若，，则的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】，
∵点、在以为直径的圆上，∴，故选C。
7．设函数，，若实数、分别是、的零点，则下列不等式一定成立的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵、连续且都为单调增函数，
∴、各只有唯一一个零点，则：
，，则，
，，则，
∴，，选A。
8．已知函数，实数、、满足，其中，若实数为方程的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵，在定义域上是减函数，
∴时，，
又∵，
∴一种情况是、、都为负值①，
另一种情况是，，②，
在同一坐标系内画函数与的图象，
对于①要求、、都大于，对于②要求、都小于是，大于。
两种情况综合可得不可能成立，故选D。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．若集合，，且，则实数的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】ABC
【解析】，，
当时，，，可取，
当时，，令，，可取，令，，可取，
综上、或，故选ABC。
10．已知，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】AC
【解析】原式转化为，则，
∴，则或，
当时，
，
当时，，
故选AC。
11．将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的 ()倍(纵坐标不变)，得到函数的图像，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】将函数的图像经过变化后得到的图像，
令()，即()，
∵在上是增函数，∴，又，∴，
令时，解得，当且时，不符合题意，故选B。
12．已知为定义在内的偶函数，对都有，当任意，且时，恒成立，则下列命题正确的是( )。
A、
B、直线是函数的图像的一条对称轴
C、函数在区间内为增函数
D、方程在区间内有四个实数根
【答案】BD
【解析】A选项，∵为上的偶函数，且对，均有，
∴令得：，∴，错，
B选项，∵，∴，∴是以为周期的偶函数，
∴，，∴，
∴图像关于对称，对，
C选项，∵当且时，恒成立，
∴在上为增函数，
又函数是偶函数，∴在上为减函数，
又函数是以为周期的函数，∴在上为减函数，错，
D选项，∵在上为减函数，在上为增函数，且，
∴方程在上有个实根(和)，
又函数是以为周期的函数，
∴方程在上有个实根()，
在区间上有一个实根()，
∴方程在上有个实根，对，
故选BD。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．定义集合运算，若，，则集合中的元素个数为 。
【答案】
【解析】∵，，
∴，
因此中的元素个数为。
14．已知平面单位向量、互相垂直，且平面向量，，，若，则实数 。
【答案】
【解析】，∵，∴，即，
即，解得。
15．设函数，则函数零点的个数是 。
【答案】
【解析】的零点相当于：
与的两图像的交点，
作图，有四个交点。
16．将函数图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到图像，若，且、，则的最大值为 。
【答案】
【解析】由题意可得，∴，
又，∴，
由，得()，
∵、，∴。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知集合，集合。
(1)已知，求；
(2)若，求实数的取值范围。
【解析】(1)∵，∴集合，∴， 2分
，∴， 5分
(2)∵，∴， 6分
①当，即时，，∴， 7分
②当时，∵，∴，∴， 9分
综上所述，实数的取值范围为。 10分
18．（本小题满分12分）
设，在上满足=恒成立。
(1)求的值；
(2)证明：在上是增函数。
【解析】(1)依题意，对一切，有，即， 1分
∴对一切成立，由此可得，即， 3分
又∵，∴，∴； 5分
(2)证明：在上任取，则：
， 8分
由，得，，， 11分
∴，即在上是增函数。 12分
19．（本小题满分12分）
已知三个点，，。
(1)求证：；
(2)若四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值。
【解析】(1)证明：∵，，，∴，， 2分
∵，∴，即； 4分
(2)解：∵，四边形为矩形，∴， 5分
设点坐标为，则， 6分
∴，解得，∴点坐标为， 7分
从而，，
且，，， 9分
设与的夹角为，则， 11分
∴矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为。 12分
20．（本小题满分12分）
已知函数，，是常数。
(1)当时，判断和的大小，并说明理由；
(2)求函数的最小值。
【解析】(1)当时，，证明如下： 1分
∵时，，
∴，， 3分
∵正弦函数在区间上是减函数，且，
∴，∴，∴； 5分
(2)令，则， 6分
∵，∴， 7分
∵，∴， 8分
∴可转化为，
∴只需求出函数，的最小值即可， 9分
∵，，
∴当，即时，函数的最小值为，
当，即时，函数的最小值为，
当即时，函数的最小值为。 12分
21．（本小题满分12分）
对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”。若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，。
(1)求证：；
(2)若(、)，且，求实数的取值范围。
【解析】(1)证明：若，则显然成立； 1分
若，设，则，，即，从而； 3分
(2)解：中元素是方程即的实根，
由，知或，即， 5分
中元素是方程 ，即的实根，
由，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为：
， 7分
若，则方程①要么没有实根，
要么实根是方程②的根， 8分
若①没有实根，则，由此解得， 9分
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有，代入①有，
由此解得，再代入②得，由此解得， 11分
故的取值范围是。 12分
22．（本小题满分12分）
已知函数(，，)在内取得一个最大值和一个最小值，且当时，有最大值，当时，有最小值。
(1)求函数的解析式；
(2)是否存在实数满足？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由。
【解析】(1)由题意可知：，，∴，则，
∴， 2分
∵点在此函数图像上，∴，，，
，，∵，∴，∴； 5分
(2)∵，，∴， 6分
， 7分
而在上是增函数，∴， 8分
∴，
∴，∴，解得：， 11分
∴的取值范围是。 12分
