第3章圆锥曲线 综合检测-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册章节复习

第三章圆锥曲线综合检测卷

一、单选题

1．已知双曲线的渐近线为，且过点，则该双曲线的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

2．椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线相互垂直，则的面积为（    ）

A．49 B．24 C．12 D．7

3．以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

4．已知点，直线，点是上的动点.若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（    ）

A．双曲线 B．椭圆

C．圆 D．抛物线

5．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．已知双曲线()的左､右焦点分别为､，点在双曲线的左支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．若圆与双曲线（，）的一条浙近线相切，则此双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

8．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（    ）

A． B． C． D．

9．已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则m等于（    ）

A．4 B．5 C．7 D．8

10．虚轴长为2，离心率的双曲线两焦点为，，过作直线交双曲线的一支于、两点，且，则的周长为（    ）

A．3 B．16+

C．12+ D．24

11．如图，圆上一动点M，抛物线上一动点，则的最小值为（    ）

A．1 B．3 C．4 D．6

12．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的个数是（    ）

①与共轭的双曲线是；

②互为共轭的双曲线渐近线不相同；

③互为共轭的双曲线的离心率为，则；

④互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

13．已知双曲线的方程为，则焦点到渐近线的距离为_________.

14．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________.

15．设F为抛物线的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若F是三角形的重心，则_________．

16．设双曲线的左、右焦点分别为、，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是____.

三、解答题

17．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．

（1）求的值；

（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．

18．设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

（2）求点到直线距离的最大值.

19．已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．

（1）求双曲线的方程：

（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．

20．椭圆E与有共同的焦点，且经过点

（1）求椭圆E的标准方程和离心率；

（2）设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求的最大值.

21．如图，已知圆，点，P是圆上的一动点，N是上一点，M是平面内一点，满足，．

（1）求点N轨迹的方程；

（2）若均为轨迹上的点，且以为直径的圆过Q，求证：直线过定点．

22．已知椭圆的左、右焦点分别为.点在椭圆上滑动，若的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点使得为直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆分别相交于两点，与轴交于点.设，，求证：为定值，并求该定值．

参考答案

1．B

【分析】

按照焦点在轴、轴讨论，由渐近线方程及椭圆过的点运算即可得解.

【详解】

当双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为，

则渐近线方程为，即，

所以双曲线方程为，所以，解得，

所以双曲线的方程为；

当双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为，

则渐近线方程为，即，

所以双曲线方程为，所以，不合题意；

所以该双曲线的标准方程为.

故选：B.

2．B

【分析】

先利用椭圆定点得，再结合勾股定理得，再计算面积即可.

【详解】

由定义得，即，

又，即得，即.

故.

故选：B.

3．A

【分析】

求出抛物线的焦点坐标即圆心坐标，求得圆半径可得圆方程．

【详解】

抛物线的标准方程是，焦点为，，

所以圆方程为，即．

故选：A．

4．D

【分析】

根据垂直平分线的定义可得出点到直线的距离等于，利用抛物线的定义可得出结果.

【详解】

连接，由中垂线性质知，即到定点的距离与它到直线距离相等.

因此，点的轨迹是抛物线.

故选：D.

5．C

【分析】

根据，得到，根据点到直线距离，求出，从而求出得范围，从而求出答案.

【详解】

设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，如下图所示：

由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则

又   

四边形为平行四边形

又，解得：

点到直线距离：，

解得：，即

    .

故选：C.

【点睛】

求椭圆离心率的方法：

（1）利用定义寻找参数的关系；

（2）利用曲线与方程的关系构建等量关系；

（3）利用椭圆的有界性来建立起参数中的不等关系

6．A

【分析】

设，，根据双曲线的定义以及性质可得，，再利用离心率的式子即可求解.

【详解】

作图，设，，

则有，，，

∴，，解得，

故选：A.

7．B

【分析】

设双曲线的一条渐近线方程，结合直线与圆相切，根据圆心到直线的距离等于半径，求得，即可求得渐近线的方程.

【详解】

设双曲线的一条渐近线方程，即，

又由圆的圆心为，半径为，

因为与相切，

可得，解得，即，

所以双曲线的渐近线方程为.

8．C

【分析】

根据题意可知M的轨迹为：，即与其有交点的曲线都是“好曲线”，结合图形即可判断不是“好曲线”的曲线.

【详解】

由题意知：M平面内两点，距离之差的绝对值为8，由双曲线定义知：

M的轨迹以为焦点的双曲线且，即轨迹方程为：，

∴“好曲线”一定与有交点，结合各选项方程的曲线知：

所以不是“好曲线”的是C.

故选：C

9．D

【分析】

先将椭圆的方程化为标准方程，进而根据焦距求得.

【详解】

解：由题意知：椭圆的标准方程为：，

又椭圆的长轴在轴上，

，

解得：；

又，

，

即，

解得：.

故选：D .

【点睛】

易错点睛：由圆锥曲线的方程求参数范围时，应注意将方程化为标准方程，再根据焦点的位置求出相应的参数.

10．B

【分析】

先由条件求出、、的值，再利用双曲线的定义和性质，求出的周长．

【详解】

由于，，，，．

由双曲线的定义知：①，②，

又，①②得：，

，则的周长为，

故选：B

11．A

【分析】

利用抛物线的定义求出，再利用的最小值为求解即可．

【详解】

由抛物线焦点坐标，准线方程，

圆的圆心坐标，半径，

设到准线的距离，则，

所以，

当且，，三点共线时，取最小值，

的最小值2，

所以最小值为，

故选：A．

【点睛】

与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.

12．D

【分析】

根据共轭双曲线定义得到两双曲线方程，进而可表示出对应渐近线方程，离心率、焦点坐标等，再逐一进行判断即可．

【详解】

根据共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，故①正确；

由双曲线的方程可得，的渐近线方程均为，②正确

由双曲线方程可得，，所以，

上式整理得，根据、都是大于1的正数，得，

两边约去，得，时等号成立，故③正确；

的焦点坐标为，的焦点为，

4个焦点在以原点为圆心，以为半径的圆上，④正确.

故选：D．

【点睛】

本题通过对多个命题真假的判断，综合考查双曲线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

13．

【分析】

求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得答案；

【详解】

焦点坐标，渐近线方程，

则点到直线距离.

故答案为：1.

14．

【分析】

由题可得，解出即可.

【详解】

根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆，

∴，

解得或.

故的取值范围是.

故答案为：.

15．

【分析】

由题意得是三角形的重心，故，再由抛物线的定义可得.

【详解】

抛物线的焦点坐标，准线方程：，

设，

由F是三角形的重心，

则，

所以，

由抛物线的定义可知：

，

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：熟记抛物线的概念和性质是解决本题的关键.

16．

【分析】

利用双曲线的定义可求得，再由结合可求得双曲线的离心率的取值范围.

【详解】

由双曲线的定义可得，

又，则，，所以，.

因此，双曲线的离心率的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或的范围；另一种是建立、、的齐次关系式，将用、表示，转化为的关系式，进而求解．

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；

（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：

，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，

【详解】

（1）由抛物线经过点可得：，

又，可得，

解得，；

（2）由（1）知，则，

设，，

根据点M为线段的中点，可得：

，即，

由点Q为抛物线C上，所以，

整理可得点M的轨迹方程为.

18．（1）；（2）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用椭圆的离心率，长轴长为，求出几何量，即可得椭圆的方程；(2) 设点，利用点到直线的距离公式即可求出.

【详解】

（1）由已知得，得   椭圆

（2）设，则

当时，.

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性求的最大值，属于基础题.

19．（1）；（2）

【分析】

（1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义，求双曲线方程；（2）结合余弦定理和双曲线的定义，求.

【详解】

（1）由椭圆方程可知，

，，

,

，，

双曲线的方程；

（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，

，

变形为，

20．（1）；；（2）

【分析】

（1）根据题意求出，设出椭圆：，结合即可求解. 

（2）利用椭圆的参数方程即可求解.

【详解】

（1）由，可得，

设椭圆E的标准方程：，且经过点.

，解得，

所以椭圆E的标准方程：，

.

（2）由（1）可知：，，

设 （为参数），

则 ，，

所以

，（）

当时，取得最大值，即的最大值为.

21．（1）（2）见解析

【分析】

（1）根据向量的知识证明，从而得出，再由椭圆的定义证明点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，从而得出方程；

（2）求出点的坐标，当直线的斜率存在时，联立椭圆以及直线的方程，由韦达定理结合得出的关系，借助直线的知识得出定点；当直线的斜率不存在时，由以及椭圆方程得出的直线方程，从而求出定点.

【详解】

（1）

为线段的中点且

点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且

即点N轨迹的方程为

（2），即

当直线的斜率存在时，设，

，即

即，整理得

解得或

若时，，即，过定点，与点重合，不符合题意；

若时，，即，过定点

当直线的斜率不存在时，设

解得或（舍），即直线的方程为，过定点

综上，直线过定点.

【点睛】

本题的第一问主要是借助椭圆的定义求出轨迹方程，第二问中关键是对进行因式分解，得出的关系.

22．（1）；（2）证明见解析，.

【分析】

（1）点在短轴端点时的面积最大，根据此时的特征可得，再根据面积可得，从而可求椭圆的方程.

（2）设直线，根据向量关系可得，联立直线方程和椭圆方程并利用韦达定理化简前者可得定值.

【详解】

（1）由对称性知，点在短轴端点时，的面积最大

为直角三角形且，且，

所以且，

解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）证明：显然直线的斜率不为0，设直线，，

联立，消去，得.

设，则.

令，则，所以，

因为，所以，所以，同理，

所以.

【点睛】

方法点睛：利用韦达定理法解决圆锥曲线中的定值问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为关于（或的形式）；

（5）代入韦达定理求定值.