高三数学 数列专题复习 二十六 等比数列考点汇编

专题二十六  等比数列模块一、思维导图           模块二、考法梳理考法一：定义的运用1.已知数列，，，.求证：是等比数列；【解析】依题意，，所以，是首项为2、公比为2的等比数列. 2．已知数列的前项和为，且，.求证：为等比数列，并求的通项公式；【解析】由得：，两式相减得：，即，∴，由，令得，而，故，所以为首项是2，公比是2的等比数列，故，. 3．已知数列中，其前项和满足．求证：数列为等比数列，并求的通项公式；【解析】当时，，可得；当时，，即有，则数列为首项为2，公比为2的等比数列，可得， 考法二：中项性质1．已知实数依次成等比数列，则实数的值为        。【解析】因为实数依次成等比数列，所以有当时，，显然不存在这样的实数，故2．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则         。【答案】【解析】由韦达定理可知，，则，，从而，且， 3．在等比数列中，，是方程的两根，则       【答案】【解析】在等比数列中，由题意知：，，所以，，所以，即. 4．在正项等比数列中，，则_______【答案】【解析】由正项等比数列的的性质以及等比中项公式可得:,则:.故答案为:-2019. 5．己知数列为正项等比数列，且，则        【答案】2【解析】∵数列为等比数列，且∴，即，又，∴．
6．实数数列为等比数列，则 。【解析】由题意，，又与同号，∴． 7．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为     。【答案】或【解析】等比数列中，，是方程的两个根 8．已知，若2是与等比中项，则的最小值为     。【解析】∵2是与的等比中项，∴，∴，即，结合可得，，∴，当且仅当，即，时取等号，即的最小值为， 9．已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则       。【解析】先由等差数列和等比数列的性质，得，；再利用等比数列中的第三项和第一项同号，得；所以10．在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列且，则    。【答案】【解析】由a，b，c成等比数列，可得，则，又，利用正弦定理可得，，则，故，所以，所以. 11．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则的取值范围是    。【答案】【解析】可得：即由，所以因为a、b、c成等比数列，所以即，令又，则化简可得：即，所以
考法三：前n项和的性质1.已知等比数列的前n项和为，且，，则       。【答案】19【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故. 2．已知等比数列的前项和为，，，则     。【答案】4【解析】因为成等比数列，所以代入数值所以，则. 3．设等比数列的前项和记为,若,则     。【答案】【解析】∵数列为等比数列，且其前项和记为，∴成等比数列．∵，即，∴等比数列的公比为，∴，∴，∴． 4．若等比数列的前项和为，已知，，则     。【答案】7【解析】依题意，显然数列的公比，所以，，也成等比数列，且公比为，所以，所以，所以，5．各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为。【答案】8【解析】因为，且等比数列各项均为正数，所以 公比首项 所以 ，通项 所以 当且仅当所以当时，的最小值为8 6．设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为         。【答案】【解析】化简得因为为等比数列，为其前项和，所以所以 7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为         。【答案】10【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶，则S奇=341,S偶=682,所以 ，∴ ，解得n=5，这个等比数列的项数为10，8．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为   。【解析】因为是等比数列，所以，且也是等比数列，所以 整理有 （当且仅当时取等号）所以的最小值为  考法四：实际运用1．我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一尺长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有尺长的线段，每天取走它的，天后剩下的线段长度不超过尺，则的最小值为        。【解析】由题意可知：第一天取走，剩下尺，第二天剩下尺，第三天剩下尺， 第九天剩下尺，第十天剩下尺，答案：10 2．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为     。【解析】由题意可知此人行走的里程数为等比数列设第一天行走的路程为,且等比数列的公比为则由等比数列的前n项和公式代入可得解得 根据等比数列的通项公式代入可得
3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分为十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率，则第八个单音频率为        。【解析】设从第一单音起，每个单音的频率记为，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率，所以是以为首项，公比为的等比数列，.【答案】 4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还          升粟。【解析】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且则，解得，所以马主人要偿还的量为：，【答案】 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要走189里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了        。【解析】记第天行走的路程为，则数列为等比数列，公比，依题意知，前项的和，即，所以，解得，所以，所以第二天行走了48里.6．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是  。【答案】只【解析】设第天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂只，由题意可得：，即，所以数列为等比数列即所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是 模块三、巩固提升【考法一 定义的运用】1．已知数列满足（，），且，．证明：数列是等比数列；【答案】见解析【解析】证明：∵当时，，∴． ∴，．∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列．  2．在数列中，，，且对任意的N*，都有.证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；【答案】见证明；【解析】由可得． 又，，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.   所以. 3．已知数列满足若数列满足，求证：是等比数列；【答案】见解析.【解析】由题可知，从而有，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.                  4．已知数列中，，，．设．证明：数列是等比数列；【答案】证明见解析；【解析】证明：因为，，所以 ，又因为，    所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列.     5．设数列的前项和为，且.证明：是等比数列，并求其通项公式；【答案】（1）；（2）.【解析】当时，，所以，当时，，，两式相减得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列.于是.6．已知数列满足，设．证明数列为等比数列；【答案】证明见详解；【解析】(1)证明：由可得.而，所以.又，所以数列为等比数列.
【考法二 中项性质】1．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是       。【解析】由题意，正项等比数列中，，可得，即，与的等差中项为4，即，设公比为q，则，则负的舍去， 2．设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=   。【解析】因为成等比数列，所以，即 3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝     ，ac＝     。【解析】因为 4．设，，若是与的等比中项，则的最小值为          。【解析】由题意可得，即，得，所以，，，，由基本不等式得，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为. 5．正项等比数列（），若存在， 使得，则最小值为     。【解析】∵正项等比数列{an}满足：，又q＞0，解得，∵存在两项am，an使得，∴，即，∴，当且仅当=取等号，但此时m，n∉N*．又，所以只有当，取得最小值是．6．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=     。【解析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝故答案为 7．已知数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列则公比等于   。【解析】数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列，，，解得（舍或． 8．的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列，则角的值为  。【【解析】由题意得：，由余弦定理得：     9．若等比数列中，且，则与的等比中项等于______.【解析】且，设与的等比中项为，则故与的等比中项为 10．已知实数列成等比数列，则等于     。【解析】根据等比数列的通项公式,可知由等比中项定义可知所以 所以
11．在中，角的对边分别为，若为等比数列，且，则______.【答案】【解析】由是等比数列,则,,由余弦定理可得,,即,解得或,因为,因为,所以,当时,由正弦定理可得,所以,,则；当时,同理可得,,所以,故答案为: 【考法三---前n项和的性质】1．若等比数列的前项和为，已知，，则   。【答案】7【解析】依题意，显然数列的公比，所以，，也成等比数列，且公比为，所以，所以，所以
2．设等比数列中，前n项和为，已知，则等于   。【解析】因为,且也成等比数列,.即8,－1,成等比数列,所以,即所以  3．等比数列的前项和为，若，，则    。【解析】由题有等比数列的前项和满足成等比数列.设的公比为则,故.故,即.因为故.又故,故. 4．等比数列的前项和为，公比为，若，，则    。【解析】由题意得∵，，∴，根据等比数列的性质可知，，，构成等比数列，故，∴，故. 5．各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，则_________．【解析】在等比数列中， ，，也成等比数列，即成等比数列，  解得  故答案为：
6．在等比数列中，，，则的值是        .【答案】8【解析】设等比数列的公比为，因为，即，，则，又由. 7．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值的比值为     .【解析】∵等比数列的首项为，公比为∴∴.①当为奇数时，随着的增大而减小，则，故；②当为偶数时，随着的增大而增大，则，故.∴的最大值与最小值的比值为 8．已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.【答案】【解析】设数列的公比为q，由，，得，所以或，又因为，所以，从而，所以.令，又因为，所以.故答案为:69．已知为正项等比数列的前n项和，若，则的最小值为________．【答案】【解析】由等比数列的性质，，，成等比数列，且故，当且仅当时，等号成立，所以最小值为32．故答案为：32 【考法四 实际运用】1．《九章算术》中有一题：今有牛、马羊食人苗，苗主贵之粟五斗，羊主日：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，则牛主人比羊主人多赔偿          斗粟【答案】【解析】由题意，羊马牛的主人需赔偿的粟，依次成等比数列，且公比，因为一共赔偿五斗粟，所以，即，即，所以，因此，所以.即牛主人比羊主人多赔偿斗粟. 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为    .【答案】24里【解析】该人从第一天起每天走得路程记为，则是公比为的等比数列，，解得，.
3．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载填发明的．明万历十二年（公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列．依此规则，插入的第四个数应为     .【答案】【解析】由题意设这13个数依次成递增的等比数列为，满足 4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了      .【答案】18里【解析】设第1天走了里，每天所走的路程为， 依题意成公比为，前6项和为378，解得，. 5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯        .【答案】3盏【解析】设塔的顶层共有灯a盏，则各层的灯数从上到下构成一个以2为公比的等比数列，由 得