高三数学 数列专题复习 二十七 递推公式求通项考点汇编

专题二十七  递推公式求通项（第1课时）模块一、思维导图
模块二、考法梳理考法一：公式法1．已知数列的前项和为，且，则       。【解析】因为数列的前项和为,当时,代入可得而由,代入可得当时上式也成立综上可知 2．已知数列 的前 项和，则它的通项公式是_____;【解析】数列的前项和，,又，，检验当时，， 3．如果数列的前项和为，那么数列的通项公式是          。【答案】【解析】当时，当时， 即 ，故数列为等比数列则 因为，所以
4．若数列的前项和为，，点（）在直线上，则____________.【答案】.【解析】因为点在直线上代入可得,即.由可知数列是首项为,公比为的等比数列.所以由代入可得而不符合上式所以故答案为:  5．若数列满足,,则______ ．【答案】【解析】得, ,所以有 6．数列满足，则               .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故
7．已知数列的前项和为，，，,则______________【答案】【解析】由题意，，所以，，所以． 8．设数列前项的和为，若，且，则______.【答案】【解析】，,是以4为首项,公比为4的等比数列, .故答案为: 考法二：累加法1．数列满足，，则=                【答案】【解析】，，则当时，，。 2．数列满足，，，则数列的通项公式______.【答案】【解析】数列满足，，，，因此，.故答案为：.
3．在数列中，，，则     。【答案】【解析】由题,,则,…,,所以由累加法可得,,即,则,所以 4．在数列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n•2n，则an＝      。【答案】（n﹣2）•2n【解析】∵an+1＝an+n•2n，∴an+1﹣an＝n•2n，且a1＝﹣2∴an﹣a1＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+…+a2﹣a1＝（n﹣1）•2n﹣1+…+2•22+1•21，①∴2（an﹣a1）＝（n﹣1）•2n+（n﹣2）•2n﹣1+…+2•23+1•22，②①-①得﹣（an﹣a1）＝﹣（n﹣1）•2n+2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+2＝﹣（n﹣1）•2n+﹣（n﹣1）•2n﹣2+2n，∴an﹣a1＝（n﹣1）•2n+2﹣2n，所以an＝（n﹣2）•2n 考法三：累乘法1.已知中，，，则数列的通项公式是              。【答案】【解析】由nan+1=（n+1）an，可得：，又∵a1=1，∴​==n．∴an=n，
2．已知中，，，则数列的通项公式是      。【答案】【解析】已知中,,化简整理可得所以递推可得 等式两边分别相乘可得即所以 模块三、巩固提升【考法一  公式法】1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．【答案】【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝.
2．设数列的前n项乘积为，对任意正整数n都有，则______．【解析】对任意正整数n都有，时，，化为：．时，，可得：，．可得：．．故答案为． 3．数列的前项和为，，则它的通项公式为______.【解析】数列的前项和为，，当时，，当时，，满足上式，.故答案为:. 4．若数列的前项和为，且，则______.【解析】，当时，，解得.当时，，即，数列是等比数列，首项为，公比为..故答案为：﹣2n﹣1. 5．数列的前n项和，则其通项公式________.【解析】当时，；当时，；故故答案为：6．已知数列满足，，则_________________．【解析】当时，，当时，由题意可得：，，两式作差可得：，故，综上可得：. 7．若数列是正项数列，且，则_______．【解析】数列是正项数列，且所以，即 时两式相减得，所以（ ）当时，适合上式，所以 8．已知数列满足：，数列的通项公式   。【答案】【解析】数列满足，时，，相减可得：，．时， 综上可得：．9．设数列满足．数列的通项公式        。【解析】当时,；当时,②,因为①,则①②得,,即,检验,,符合,故 10．设数列满足，的通项公式          。【解析】由n＝1得，因为，当n≥2时，，由两式作商得：（n＞1且n∈N*），又因为符合上式，所以（n∈N*）． 11．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）数列的通项公式      。【解析】由，得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，当时，，当时，，也满足上式，所以； 12．正项数列前项和为，且，.=       。【解析】，由得，得，，，，，是等差数列，.13．已知数列前项和为，若，则__________．【解析】令，得，解得 ，
当 时，由），得，
两式相减得 整理得，且 ∴数列 是首项为1公差为 的等差数列，
可得 所以  【考法二  累加法】1．在数列中：已知，，则数列的通项公式为         。【解析】，，． 2．已知数列满足，，则数列的一个通项公式为            。【解析】由得，，，适用．∴． 3．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，数列{an}的通项公式为________．【解析】∵an＋1－an＝n＋1，∴a2-a1=2，a3-a2=3，……，an-an-1=n（n≥2），由累加法可得an-a1=2+3+…+n=∵a1＝1，∴（n≥2）.∵当n=1时，也满足，（n∈N*）.4．已知数列中，，，则数列的一个通项公式为            。【解析】因为则由递推公式可得 将等式两边分别相加可得所以由对数运算可得 5．已知数列中，，，当时，，则____．【解析】由，得，∵，，∴，则数列构成以1为首项，以2为公比的等比数列，∴．则．故答案为：．6．已知数列满足，则该数列的通项公式 _____．【解析】由题意，数列满足，两边同时除以an+1an得：，化简得n（n+1）（）=1，两边同时除以n（n+1）得：=，即，，……，上式累加得：，即2-，所以，即．故答案为：． 【考法三  累乘法】1．已知数列的递推公式为则通项公式______.【解析】当时， ;,满足上式,
2．已知正项数列满足，，则数列的前项和为___________．【解析】由已知得所以又因为，所以，所以所以； 累乘得所以所以=，所以累加求和得故答案为
考点4 递推公式求通项（第2课时）模块一、思维导图   模块二、考法梳理考法一：构造等差数列1．已知数列满足，则__________．【解析】由题， 则则数列是以为首项，2 为公差的等差数列，则即答案为. 2．在数列中，，，则这个数列的通项=    。【解析】∵，等式两边同时取倒数得：，则，∴，，，当 时， 亦成立，综上所述 3．已知数列的前n项和为，，，则______．【解析】因为则可化简为等式两边同时除以可得,即所以数列为等差数列,首项,公差 所以即故答案为:
4．各项均正的数列满足，则等于       。【解析】两边同除以，得,则为首项为2，公差为1 的等差数列，∴则 5．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝________．【解析】由an－an＋1＝nanan＋1得＝n，则由累加法得＝1＋2＋…＋(n－1)＝，又因为a1＝1，所以，所以an＝. 考法二：构造等比数列1．已知数列满足，且，则________________.【解析】由可得：，所以是以1为首项3为公比的等比数列，所以，故. 2．已知数列满足，则数列的通项公式_________.【解析】设①将代入①式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则，代入①式得②由及②式得，则，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以.3．设为数列的前项和，，且，则【答案】.【解析】由两边同除以，整理得，令，则，∴，又由解得，∴ 。∴数列是首项为，公比为的等比数列。∴。∴，∴， 4．已知数列满足， ()，则__________．【答案】【解析】由 ()，可得，于是，又，∴数列{﹣1}是以2为首项，为公比的等比数列，故﹣1=∴an=（n∈N*）．故答案为．
考法三：周期数列1．数列中，若，则    。【答案】【解析】，则，所以，所以数列是周期数列，周期为2. 又， ， ，，即. 2．已知数列中，，，则的值是     。【答案】【解析】因为，，所以，，，，可知数列的取值有周期，周期为3，所以， 3．已知数列满足,,则     。【答案】【解析】依题意，，，所以，所以数列是周期为的数列，且每项的积为，故.
4．已知数列中，，，且，则的值为    。【答案】2【解析】因为，由，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列，所以。 5．数列满足，（），则    。【答案】【解析】因为数列满足，（），所以所以是公比为2的等比数列，所以 6．已知数列中，，则      。【答案】1022【解析】因为，所以，即，所以，即，故是以3为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以10227．数列满足，，，记数列的前项和为，则________.【解析】当是奇数时，＝﹣1，由，得，所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列，当为偶数时，＝1，由，得，所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列，则 ，所以. 模块三、巩固提升【考法一 构造等差数列】1．在数列中，若，，则        。【解析】∵，∴，即，数列是首项为，公差为2的等差数列，∴，即。 2．若数列中，，则这个数列的      。【解析】由题意，数列中，，可得，所以数列表示首项为1，公差为3的等差数列，所以，即
3．已知数列满足 ，则数列的通项公式_______．【答案】【解析】因为，所以所以是以1为首项和公差的等差数列，所以，故. 4．在数列中，，且满足，则＝________【解析】由，可得，可得数列是以为首项，公差为的等差数列，∴，可得，故答案为． 【考法二  构造等比数列】1．已知数列中，，则数列通项公式为_____．【解析】为等比数列，公比为3，首项为，所以通项公式为 2.在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．【解析】因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0，即an＋1＝4an＋1，得an＋1＋＝4，所以是首项为a1＋＝，公比为4的等比数列，所以an＋＝·4n－1，故an＝·4n－1－.
3．在数列{an}中，a1＝3，an+1＝2an﹣1（n∈N*），则数列{an}的通项公式为     。【解析】由an+1＝2an﹣1得：，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列．所以，所以 4．已知数列满足，，则等于    。【解析】由，得，且，所以数列，因此是以首项为，公比为的等比数列，故，因此． 【考法三  周期数列】1．已知数列中，，()，则等于     。【解析】∵，()，，，，，
…，∴数列是以3为周期的周期数列，，，
 2．已知数列满足，且，则    。【解析】，且，，数列的周期，，
3．设数列满足:,,则______.【解析】依题意，，，，，数列是以为周期的周期数列，又，.故答案为：. 4．数列中，，，（），则______.【解析】因为，，，所以有：，可见数列的周期为6，故.故答案为：5 【考法四  其他求通项方法】1．数列中，若，()，则数列的通项公式_____.【解析】因为，等式两边同时取对数有，则，又因为则数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，， 2．已知数列中，，且（且）通项公式=     。【解析】∴∴ ∴