高三数学 数列专题复习 二十五 等差数列考点汇编

专题二十五 等差数列模块一、思维导图
模块二、考法梳理考法一：等差数列定义的运用1.已知数列中，，，证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；【解析】因为，且，所以数列为首项为，公差为的等差数列.所以，即. 2．已知数列中，， ，数列满足。（1）求证：数列为等差数列。（2）求数列的通项公式。【解析】（1）证明：由题意知，，又，故，又易知，故数列是首项为，公差为1的等差数列。（2）由（1）知，所以由，可得，故数列的通项公式为。 考法二：等差中项性质1.等差数列，，，的第四项等于     。【解析】由题得.所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，所以等差数列的第四项为9. 2.等差数列的前项和为，若，则    。【解析】由等差数列性质可知：，解得：  3．已知数列为等差数列，为其前 项和，，则         。【解析】由等差数列的性质可得， 4．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为      。【答案】9【解析】因为，，且，，成等差数列，所以，因此，当且仅当，即，时，等号成立. 5．在等差数列 中，若  为方程 的两根，则     。【解析】 为方程 的两根，，由等差数列的性质得，即，.
6．等差数列中，若，则的值是   。【解析】依题意，由，得，即所以 7．在中，若，，成等差数列，，则当取最大值时，           。【解析】因为，，成等差数列所以所以由正弦定理得由余弦定理当且仅当时取等号，所以此时 8．的内角所对的边分别为 ，若角依次成等差数列，且，则的面积     。【答案】【解析】依次成等差数列，，因为，由余弦定理得，得， 9．已知，，且，，成等差数列，则有最小值    。【答案】100【解析】由题意可知： ，且： ，由均值不等式有： ，当且仅当 时等号成立.10．设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为. 则实数m的取值范围为     。【解析】设的前项为，由于数列的前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为，所以，由（3）（4）得，所以即，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得，整理得. 考法三：前n项和的性质1．设等差数列的前项和为，若，，则的值为      。【答案】6【解析】因为，所以，故. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则=    。【答案】1【解析】∵等差数列{an}中，，∴，∴，． 3.已知等差数列的前项和为，且，，则          ；【答案】60【解析】数列{an}为等差数列则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列．S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差数列．因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=60．
4.数列的通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值为     。 【答案】13或12【解析】因为，所以数列是以为首项，公差的等差数列，所以由二次函数的性质可得：当或时，最大。 5.若数列是等差数列，首项，，则使前项和成立的最大自然数是__________．【解析】由于等差数列首项，而，故公差，且，所以，，故使前项和成立的最大自然数是.故填：. 6．是等差数列的前项和，，则时的最大值是     。【答案】4034【解析】由所以所以可知等差数列是单调递增的,且前2017项均是负数，又即故当时，的最大值是4034 7．设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为 。【解析】由,利用等差数列的性质可得：,又<0,>0，∴>0,<0.∴，则满足Sn>0的最大自然数n的值为12.考法四：实际运用1．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日共走一千二百六十里，第一日､第四日､第七日所走之和为三百九十里，问第一日所走里数为    。【答案】100【解析】由题意，该男子每日走的路程数构成等差数列，，，则，解得，，解得，所以公差，. 2．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为           。【答案】70【解析】设每个月的收入为等差数列{an}．公差为d．则a3=25，S12=510．∴a1+2d=25，12a1+d=510，解得a1=15，d=5，  3．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为     。【答案】16【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项，公差的等差数列，该问题中的1864人全部派遣到位的天数为，则，依次将选项中的值代入检验得，满足方程.4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的是最小的两份之和，则最小的一份的量是     。【答案】【解析】由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为，公差为，由题意可得，解得. 5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为                 。【答案】35岁【解析】设这位公公的第个儿子的年龄为，由题可知是等差数列，设公差为，则，又由，即，解得，即这位公公的长儿的年龄为岁． 模块三、巩固提升【考法一 定义的运用】1．已知为数列的前项和，，，.求证：为等差数列；【解析】证明：，，可得：，时，．时，，，可得．为等差数列，公差为，首项为． 2．已知数列中， ，.设，求证：是等差数列；【解析】（1），，又，，是等差数列，首项为3，公差为33．在正项数列中，已知且.证明：数列是等差数列；【解析】∵∴，∴数列是公差为2的等差数列.∵∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴数列是等差数列. 4．已知数列满足，.证明：数列为等差数列；【解析】（1）由得，又，所以数列首项为，公差为的等差数列； 5.已知数列满足，且.证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.【解析】因为两边都加上，得所以，即，所以数列是以为公差，首项为的等差数列．所以，即． 6.数列中，，，数列满足.求证：数列是等差数列；【解析】，而，，，因此，数列是首项为，公差为的等差数列；【考法二 中项性质】1．的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列则角的值为  。【答案】【解析】由题意得：，由余弦定理得：     2．设，，是与的等差中项，则的最小值为    。【答案】【解析】∵是与的等差中项，∴，即，∴．所以 当且仅当即时取等号，∴的最小值为9． 3．正项等差数列的前项和为，已知，则     。【答案】55【解析】由是等差数列，得，因为，所以，或，又，得，所以， 4．在等差数列中，已知，则的值为______.【答案】【解析】由等差中项的性质可得，，因此，.故答案为：.5．设等差数列的前n项的和为，且，则       。【答案】12【解析】设数列公差为，则，，∴.． 6．已知是与的等差中项，则的最小值为______.【答案】【解析】因为是与的等差中项则所以由基本不等式可得当且仅当时取等号,此时所以的最小值为故答案为: 【考法三---前n项和的性质】1．等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为     。【答案】210【解析】∵等差数列{an}的前3项和为30，前6项和为100，即S3＝30，S6＝100，又S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）＝（S9﹣S6）+S3，即140＝S9﹣100+30，解得S9＝210。 2．已知等差数列前项和为，若，，则     。【答案】280【解析】等差数列前项和为，，，也成等差数列故 ，又3．设等差数列的前项和为,若,则      。【解析】∵等差数列的前项和为，，由等差数列的性质得：成等比数列又∴． 4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则为    。【解析】设,根据是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a.. 5.已知两个等差数列和的前项和分别为和,且，则       。【解析】依题意，故. 6．已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于      。【解析】∵等差数列，的前项和分别为，，对任意的正整数，都有∴7．有两个等差数列，若，则（ ）A． B． C． D．【解析】设等差数列前项和分别为，，,故选B. 8．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是___．【解析】解：根据题意，两个等差数列和，则＝＝＝＝＝＝7+，若为整数，则n+1为12的因数，又n为正整数，则为正整数，验证可得：当n＝1，2，3，5，11满足题意，故答案为：5. 9．已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.【解析】因为等差数列中，，所以，，，∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．故答案为：6 10．是等差数列，公差，前n项和记为，且，，则当取最大值时_____.【解析】；；故，即前项和最大，故答案为：11．在等差数列中，，，则数列的前项和的最大值为    。【答案】【解析】∵等差数列中，，∴，∴，又，∴，，即数列的前15项为正值，从第16项开始为负值．∴数列的前项和的最大值为． 12．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则     。【答案】8【解析】设等差数列有奇数项，．公差为．奇数项和为40，偶数项和为32，，，，，，即等差数列共项，且 13．设等差数列的前项和分别为，若，则使的的个数为     。【答案】5【解析】因为等差数列的前项和分别为，所以，又，所以，为使，只需，又，所以可能取的值为：，因此可能取的值为：.
【考法四  实际运用】1．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分石，那么三人各分得多少白米？”.请问：丙应该分得       白米【解析】依题意，设甲、乙、丙分得的米的重量分别为石、石、石，并设等差数列、、的公差为，则，解得，，因此，丙应该分得石白米. 2．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯       。【解析】设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，，，，，，，，，（盏），所以最下面一层有灯，（盏）. 3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有      。【解析】9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项，记公差为，．
4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升”.在该问题中前天共分发         升大米。【解析】记第一天共分发大米为升，由题意，每天分发的大米构成等差数列，公差为，因此，前天共分发大米为升. 5．明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为   。【解析】设第一个孩子分配到a1斤锦，则由题意得：7＝996，解得a1＝65，∴第八个孩子分得斤数为a8＝65+7×17＝184． 6．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重       斤？【解析】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，数列的前5项和为．即金锤共重15斤， 7．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是          。【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．
8．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是  。【答案】五尺五寸【解析】设晷影长为等差数列，公差为，，，则，解得．夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸． 9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得   。【答案】三分鹿之一【解析】显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为，则，解得． 10．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是        。【答案】18【解析】设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，则.
11. 已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第一行为46，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20.如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，比如，，，，若，则    。【答案】71【解析】由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数…
又因为指图中摆放的第行第列，
所以先求第行的最后一个偶数，
该偶数小于2020且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的，，当时，，第44行的最后一偶数是1980，又第45行的第45个偶数为1982，
利用等差数列的任意两项之间关系可知2020应出在该行的第45-19=26列，故，
所以．
 12．《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得      。【答案】钱【解析】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为，公差为，则有则，所以.
13．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得 只鹿，则大夫所得鹿数为     。【解析】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列,则又，，，即大夫所得鹿数为只 14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为   。【解析】由题意得，被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，∴，，由，得，∵，∴此数列的项数为169. 15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每个人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的七分之一是较小的两份之和，则最大一份的个数为         。【解析】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，则，所以解得所以最大项.