高三数学 集合专题复习 二 四种命题和充要条件级逻辑语言

专题二 四种命题和充要条件
1．命题及其真假

能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题的真假关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．
(2)①如果p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充分必要条件；简称为p是q的充要条件．
②如果p⇒q，但q⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件；
③如果p⇒/ q，但q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；
④如果既有p⇒/ q，又有q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

必考点1 四种命题间的关系的判定
【例】 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“如果a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解析】 (1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，如果a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题，证明如下：
∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a．又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，∴否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，如果f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0．是真命题，可证明原命题为真来证明它．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
巩固1.下列命题中为真命题的序号是________．
①若x≠0，则x+1x≥2；
②命题：若x2=1，则x=1或x=-1的逆否命题为：若x≠1且x≠-1，则x2≠1；
③“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x0”的否命题为“若x≥-1，则x2-2x-3≤0”．
【解析】当xy2，则x>y”的逆否命题是___________．
【解析】根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

巩固3.给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实数根”的逆否命题；
④若a＋b是偶数，则整数a，b都是偶数．
其中真命题是 ．(填序号)
【解析】①显然正确；②不全等的三角形的面积不相等，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a＋b是偶数，则整数a，b都是偶数或都是奇数，故④不正确．真命题是①③．
巩固4.有三个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．
其中真命题的序号为____________．
【解析】命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；
因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；
命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题．
综上知只有命题①是真命题．

必考点2 充要条件、必要条件的判定
【例】给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cos αb”是“3a>3b”的充要条件，故①错；
由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α