高三数学 函数专题复习 十七 三角函数性质

专题十七 三角函数性质
模块一、思维导图










模块二、考法梳理
考点一：周期
1．函数的最小正周期为 。
【答案】
【解析】因为，所以最小正周期为.

2．函数（其中）的最小正周期是，则 。
【答案】
【解析】由的最小正周期为，所以的最小正周期为，所以.

3．在下列四个函数，①②③④中，最小正周期为的所有函数为 。
【答案】①③④
【解析】①函数的图像是将的图像在轴下方的全部对称到轴上方，故函数的最小正周期为，故①满足题意；
②函数的图像是将的图像在轴下方的全部对称到轴上方，而函数的周期为，故函数的最小正周期为，故②不满足题意；
③函数的周期为，故③满足题意；
④函数的周期为，故④满足题意；

4．函数的最小正周期为 。
【答案】
【解析】因为，
又的最小正周期为，函数的图像是将图像在轴下方的部分翻折到轴上方，因此函数的最小正周期为：.

5．给出四个函数（1）；（2）；（3）；（4）.其中最小正周期为的函数个数为 。
【答案】2
【解析】（1），该函数的最小正周期为；
（2），该函数的最小正周期为；
（3），，，
所以，函数不是以为最小正周期的函数；
（4），设，
，所以，函数的最小正周期不是.
因此，（1）（2）中的函数的最小正周期为.

6．已知函数，则函数的最小正周期为 。
【答案】
【解析】，
的最小正周期为

考点二：定义域
1．函数的定义域是 。
【答案】
【解析】由题意可得，
解得.


2．函数的定义域是 。
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，，即：，，
则函数的定义域为．
3．求函数 的定义域 。
【答案】，
【解析】由题即或，
解得

4．函数的定义域为 。
【答案】
【解析】由得故.

考点三：单调性
1．函数的一个单调递减区间是 。
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的单调递减区间，与单调递增区间相同
所以，，解得，，
时，，所以的一个单调递减区间是，

2．函数的单调递减区间为 。
【答案】
【解析】，
令，，解得，．
故函数的单调递减区间为：

3．函数的单调递增区间是 。
【答案】
【解析】根据复合函数单调性的判断规律，在其定义域内是单调增函数，且在其定义域内也只有单调递增区间，故转化为求的单调增区间并且，
故，解得：，
所以函数的单调递增区间是，

4．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】由题意可得,，
，，．

5．若在上是减函数,则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】，令，解得函数的单调减区间为,由题意知

6．已知函数在上单调递增，则的取值范围 。
【答案】
【解析】由,可得,
时,,而,又在上单调递增,且,
所以,则,即,故.

考点四：对称性
1．函数的图象 。
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【解析】对于函数，令，得，，
令，得，，
所以，函数的图象的对称中心坐标为，对称轴为直线，令，可知函数图象的一个对称中心坐标为，故选A.

2．函数的对称中心坐标为 。
【解析】
令.故对称中心为

3．若函数的图象关于点对称，则的最小值为 。
【解析】由f(x)＝sin（2x+φ），令2+φ＝kπ，（k∈z）得：φ，（k∈z）
又φ＞0，所以k=1时则φmin，

4．已知函数，则的图象的对称中心为 。
【解析】

令，得，则的图象的对称中心为.
5．函数的一个对称中心为 。
【答案】
【解析】由，对称中心为.

6．已知且，，若的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】，（，），
若的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间，
则，，即，故排除A、C，
当时，，
令，求得，
可得函数的图像的对称轴为：，
当时，对称轴为，
当时，对称轴为，
满足条件： 任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间.

考点五：奇偶性
1．已知函数，是偶函数，则______.
【解析】因为为偶函数,故当时,取得最大或最小值.即.
即.又,故.故答案为：
2．已知，且为偶函数，则φ=________.
【答案】
【解析】
又因为为偶函数，，
故答案为：

3．已函数是奇函数，且，则 。
【答案】-2
【解析】根据题意，设，则g(x)奇函数，所以g(x)+g(-x)=0，
则：，即

4．已知是偶函数,则所有满足条件的的值组成的集合为______
【答案】
【解析】∵是偶函数，∴，
即，
，
，
此式对任意实数恒成立，则，

5．已知函数，则是 。
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】D
【解析】
.周期，，为偶函数.故选：

6．若函数既存在最大值，又存在最小值，则的值为 。
【答案】-4
【解析】.
令，则，.
∵.∴是奇函数.∴，
∴.

7．设函数的最大值为，最小值为，则________.
【答案】
【解析】,
，，为奇函数，，
.故答案为:2

考点六：值域
1．函数的最大值为 。
【解析】，
因为，所以，故函数的最大值为2，

2．函数，的值域是 。
【解析】由题意，，根据的性质，
当时，；当时，

3．函数的最大值为 。
【解析】因为，而，
所以当时，取得最大值5.

4．函数的最大值为 。
【解析】由，因为，所以，所以，即函数的最大值为3，

5．函数的最大值为__________.
【解析】由已知，
，，即的最大值为2
6．设当时，函数取得最大值，则______.
【答案】；
【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝
当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.

7．函数的值域为 。
【答案】
【解析】，所以周期为，取，
当，
其中，
当时，，
，；
当，
其中，
当时，，
，；
，周期为，所以的值域为.

8．函数在上的值域为，则的取值范围是 。
【解析】
函数在上的值域为，又
结合余弦函数图象可知：

9．函数，当时函数的值域为，则函数的最小正周期的取值范围是 。
【解析】令，，
∵，，∴，∴，
函数的最小正周期.

10．已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是 。
【解析】由题意，函数，
令，所以，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，
则函数恰有一个最大值点和一个最小值点在区间，
则，解答，即，

考点七：解析式
1．函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是 。

A．的最小正周期是 B．在上单调递增
C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴
【解析】由图可知，，该三角函数的最小正周期，故A项正确；
所以，则.因为，所以该函数的
一条对称轴为，将代入，
则，解得，
故.令，
得，
令，则故函数在上单调递增.故B项正确；
令，得，
令，故函数在上单调递减.故C项错误；
令，得，令，
故直线是的一条对称轴.故D项正确.故选C.
2．已知函数()的部分图象如图所示，若，则的最小值为 。

A． B． C． D．
【解析】由图象易知，，即，，，
由图可知，，，又，，
由得，，，关于点对称，
即有，，，的最小值为，故选：A.

3．如图是偶函数的部分图像，为等腰直角三角形，，，则（ ）

A． B． C． D．
【解析】根据已知的等腰直角三角形可知，，所以，即.
所以，又因为该函数为偶函数，
所以，所以. 故选：D
4．函数的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度后得函数的图像，则 。

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数的部分图象知，即.
因为，所以．所以.
因为点在的图象上．所以.所以．
因为，结合图象可知，所以.
将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．则.

考点八：图像变换
1．要得到函数的图象，只需要将函数的图象 。
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】函数，将函数的图象向右平移个单位长度得到
，故答案为C．

2．已知函数（其中,）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为，为了得到的图象，则只要将的图象 。
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】D
【解析】由题设,则,将代入可得
,所以,则,
而,
，将的图象向左平移个单位可得到的图象，所以应选D.

3．已知函数，图象相邻两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则函数的图象 。
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
【答案】D
【解析】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为4π，
所以ω==，所以f（x）=sin（x+φ）；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z；
又|φ|＜，所以φ=，所以f（x）=sin（x+），令x+=kπ，k∈Z，解得x=2k﹣，k∈Z；
令k=0时，得f（x）的图象关于点（-，0）对称．故选D．

4．已知函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)＝sinωx的图象，只要将y＝f(x)的图象 。
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】∵f(x)最小正周期为，∴＝，∴ω＝4，∴f(x)＝cos＝cos4，g(x)＝sin4x＝cos＝cos＝cos4，故须将f(x)的图象右移＋＝个单位长度

5．已知函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为______.
【答案】
【解析】依题意，向右平移个单位得到，而关于轴对称，所以，由于，所以.所以.当时，，所以在区间上的最小值为.
故答案为：

6．已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为 。
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的图象向右平移个
单位长度后得到函数，的图像关于轴对称，即为偶函数，
所以，解得，的最小值为.故选:C.


考点16 三角函数性质
【题组一 周期】
1．函数的最小正周期是 。
【解析】∵，，∴．

2．在函数：①y=cos|2x|；②y=|cosx|；③y=cos2x+π6；④y=tan2x-π4中，最小正周期为π的所有函数为 。
【解析】逐一考查所给的函数：y=cos|2x|=cos2x ，该函数为偶函数，周期T=2π2=π ；
将函数y=cosx 图象x轴下方的图象向上翻折即可得到y=|cosx| 的图象，该函数的周期为12×2π=π ；
函数y=cos(2x+π6)的最小正周期为T=2π2=π ；函数y=tan(2x-π4)的最小正周期为T=π2=π2 ；
综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.

3．在下列函数① ② ③ ④ ⑤ ⑥中周期为的函数的个数为 。
【答案】个
【解析】①最小正周期为.正确.
②因为.正确.
③,最小正周期为.正确.
④最小正周期为,故周期为成立.正确.
⑤故周期为.正确.
⑥为偶函数且无周期.错误.
4．下列说法正确的是 。
①因为，所以是函数的一个周期；
②因为，所以是函数的最小正周期；
③因为时，等式成立，所以是函数的一个周期；
④因为，所以不是函数的一个周期．
【答案】④
【解析】由，不满足周期函数的定义，故A错误；tan（2π+x）＝tanx，所以2π是函数y＝tanx的一个正周期，由tan（x+π）＝tanx，可得π是函数y＝tanx的最小正周期，故B错误；时，等式成立，但x，等式不成立，所以不是函数y＝sinx的一个周期，故C错误；由，由周期函数定义，得不是函数y＝cosx的一个周期，故D正确．

5．函数的最小正周期为____________.
【解析】由题意可得：.
故函数的最小正周期为：.故答案为．

6．函数的周期为________
【解析】由题得函数的最小正周期为π，
函数就是把函数的图像在x轴上的保持不变，把x轴下方的图像对称地翻折到x轴上方，如图，所以函数的周期为π.故答案为π


【题组二 定义域】
1．的定义域是 。
【答案】
【解析】
由二次根式有意义的条件，得2sinx-1≥0，所以sinx≥，画出图象，
所以可得sinx≥的解集为，
的定义域是，

2．函数的定义域是________
【答案】
【解析】由正弦函数的定义和分式的意义，得，即，
解得.故答案为：

3．函数的定义域为__________．
【解析】
解得故答案为

【题组三 单调性】
1．函数的单调增区间为_______________.
【解析】，要求函数的单调增区间，
即求函数的单调递减区间，
解不等式，得，
因此，函数的单调增区间为.
故答案为：.

2．函数的单调递增区间是 。
【解析】令，解得，
因此，函数的单调递增区间是.

3．函数的一个单调递增区间是 。
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数，令，，
解得：，，令，可得，即区间是函数的一个单调递增区间.故选：D.

4．函数的一个单调递增区间是 。
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，
令，则，则，开口向下，对称轴，
当，不单调，不符合题意，
当时，单调递减且，即，
根据二次函数的性质可知，当，函数单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增．故选：

5．下列函数中最小正周期为，且在上单调递增的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，周期为，时，，此函数在上递增，的周期是，的周期是，在上递减，只有A正确.
故选A.

6．函数单调递减区间为 。
【答案】，
【解析】由题意，设，解得．

7．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】，若函数在上单调递减，则，，若，则，，，，若函数在上单调递减，则满足，即，即，故答案为.

8．已知函数在区间为单调递减函数，则的最大值是 。
【答案】
【解析】f（x）=cos（2ωx+），由2kπ≤2ωx+≤2kπ+π，k∈Z，
得﹣≤x≤+，即函数的单调递减区间为[﹣，+]，k∈Z，
若f（x）在区间[]内单调递减，则满足得，
同时≥﹣=，则≥，则ω≤3当k=0时，0＜ω≤，当k=1时，不等式无解，故ω最大值为

【题组四 对称性】
1．函数的图像 。
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】B
【解析】令,得,所以对称点为.
当,为,故B正确；令,则对称轴为,
因此直线和均不是函数的对称轴.故选：B

2．设函数，则 。
A．在上单调递增，其图象关于直线对称
B．在上单调递增，其图象关于直线对称
C．在上单调递减，其图象关于直线对称
D．在上单调递减，其图象关于直线对称
【答案】B
【解析】因为，
由得，
由得，
即的单调递增区间为；单调递减区间为；所以在上单调递增；
由得；即函数的对称轴为：；
因此其图象关于直线对称.故选：B.

3．已知函数，的图像的一个对称中心为，则的值为__________．
【答案】
【解析】由于是函数的对称中心，故，由于，故取时，或符合题意.
4．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为 。
【答案】
【解析】，，
又因为的图象关于对称，
所以，即，因为，所以的最小值为.

5．已知函数的最小正周期为，则该函数图像 。
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【答案】A
【解析】由已知可得，∴，
因为，所以是对称中心，所以A正确；
因为，所以直线不是对称轴，所以B错误；
因为，所以不是对称中心，所以C错误；
因为，所以直线不是对称轴，所以D错误.故选A.

6．已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是 。
A． B． C． D．
【解析】因为是函数的对称中心，所以，解得
因为，所以，，
令，解得，
当时，函数的一个单调递减区间是故选：D

7．已知函数，则有
A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称
C．的最小正周期为 D．在区间内单调递减
【解析】，由正切函数的性质知，A、C、D都错误，只有B正确．

8．已知，，的图象与的图象关于点对称，则的最小值为 。
【解析】因为,所以,
因为的图象与的图象关于点对称，
所以=0，即，
,，因为，所以当时，最小值为.

【题组五 奇偶性】
1．函数是 。
A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数
【解析】∵f（x）=2sinxcosx=sin2x，∴f（x）为周期为π的奇函数，故选C

2．已知函数，则是 。
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
【解析】，因此，函数是周期为的偶函数.故选：D.

3．为偶函数，则的值为______．
【解析】因为是偶函数，所以有，于是有：
，化简得：，要想恒成立，只需.故答案为：

4．函数是奇函数，且在上单调递减，则的最大值为 。
【解析】因为是奇函数所以，所以
所以因为在上递减所以在上递增
所以，解得，因为，所以时得所以最大值为
5．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是 。
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选A．

6．已知函数,下面结论错误的是 。
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于y轴对称 D．函数的图像关于点对称
【答案】D
【解析】.
选项A：函数的最小正周期为：,故本结论是正确的；
选项B：由的性质可知：在区间上是减函数,因此函数在区间上是增函数,故本结论是正确的；选项C：,所以函数的图像关于y轴对称,故本结论是正确的；
选项D：的对称点的坐标为,故本结论是错误的.故选：D

7．已知函数为奇函数，则 。
【答案】
【解析】∵函数为奇函数，，
，解得，∴，则.

8．已知函数，若，则__________.
【答案】
【解析】，则，即，
，，即，
，故答案为：.

9．已知函数，且，则_________.
【解析】由题知，所以，
从而.故答案为：

10．已知函数,在区间上的最大值为最小值为则_____.
【解析】.
令 ,且 为奇函数,
设其最大值为,则其最小值为,
∴函数的最大值为,最小值为则 .故答案为:.
11．设函数,的最大值为,最小值为,那么___________.
【解析】令，，
因为，
，
故，所以为上的奇函数，
故.又，，
故.

【题组六 值域】
1．函数的最大值为 。
【解析】 的最大值为

2．函数的最大值为 。
【解析】
即当时，取最大值

3．函数的最小值为 。
【解析】由题可得，所以函数的最小值为，选A．

4．函数的最小值为________.
【解析】令，，则，
当时，函数有最小值，故答案为.

5．函数的最大值为___________________
【解析】∵
，∴当时，有最大值为4，故答案为4.

6．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 。
【解析】因为对任意恒成立，所以，
则或，
当时，，则（舍去），
当时，，则，符合题意，
即，令，解得，即的单调递增区间是；

【题组七 求解析式】
1.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为 。

【解析】由题图可知A＝2，T＝2×＝4π，故＝4π，解得ω＝.所以f(x)＝2sin.
把点代入可得2sin＝2，即sin＝1，所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.

2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为 。

【解析】由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.由f＝sin＝－，|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝－1.

3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)

【解析】由图象可得，A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝＝＝.所以f(x)＝2sin.
由函数的对称性得f(2)＝－2，即f(2)＝2sin＝－2，即sin＝－1，
所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|<π，所以k＝0，φ＝－.
故函数的解析式为f(x)＝2sin.

4.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，已知点A(0，)，B，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴方程为 。

【答案】x＝＋(k∈Z
【解析】∵f(0)＝2sin φ＝，∴sin φ＝，又|φ|＜π，∴φ＝或，又f＝2sin＝0，∴＋φ＝kπ(k∈Z)，∴ω＝×＝6k－2(k∈Z)，或ω＝×＝6k－4(k∈Z)，又ω＞0，且＝＝＞，∴ω＜3，∴ω＝2，φ＝，∴f(x)＝2sin，将其图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝2sin＝2sin，g(x)图象的对称轴方程满足2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)

【题组八 图像的变换】
1.已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
[解析]　易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.选D
2．将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为 。
【解析】将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y＝sin的图象，因此变换后所得图象对应的函数解析式为y＝sin.

3．将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，所得图像对应的函数解析式为则函数的解析式为 。
【答案】
【解析】，
所以纵坐标不变，横坐标变为其的，得到，再向右平移个单位，
得到.

4．若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图像与原函数图像重合，则的最小值为 。
【答案】6
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象.根据所得的图象与原函数图象重合，则，即.
∴的最小值为6

5．已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，则不等式的解集是 。
【答案】
【解析】因为为偶函数，所以，所以，解得，所以.
将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，
则.由，得，得，则，得.
不等式的解集是,

6．已知函数的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，则在下列区间上为单调递减的区间是 。
【答案】
【解析】的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍变换后，在区间 上单调递减

7．已知函数, 先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线对称， 则的最小值为 。
【解析】，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，，，因为，最小值为．

【题组九 综合运用】
1．已知函数相邻两对称轴间的距离为，若将的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数.
（1）求的解析式，并求的对称中心；
（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的范围.
【解析】（1）由条件得：，即，则，
又为奇函数，则，，
，，令，，解得，，
故函数的对称中心为：，
（2），又有（1）知，则，值从递增到，又从递减回.
令，则由原命题得：在上仅有一个实根.
令，则需或，解得：或.
2．若，，且.
（1）求函数的解析式及其对称中心；
（2）函数的图象是先将函数的图象向左平个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的.求函数，的单调增区间.
【答案】（1），对称中心为（）；（2）.
【解析】（1）依题意有

，
令，则，，
∴函数的对称中心为（）.
（2）由（1）得，，
∴将函数的图象向左平移个单位，
再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
可得的图象.
由（），
即（），
又，
∴的单调增区间为.
3．已知函数（，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最高点坐标为．
（1）求函数的解析式；
（2）指出函数的增区间；
（3）若将此函数的图象向左平行移动个单位长度后，再向下平行移动2个单位长度得到的图象，求在上的值域．
【答案】（1）（2）；（3）
【解析】（1）由已知可得，，∴，∴；
∴，
由得，，∴，∴；
（2）由，得，
∴该函数的增区间是；
（3），
∵，∴，
∴，∴的值域为．

4．己知函数

（1）若，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象.
（2）若偶函数，求:
（3）在（2）的前提下，将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向上平移一个单位得到函数的图象，求的对称中心.
【解析】（1）当时，
列表：














函数在区间上的图像是：

（2）
因为为偶函数，则轴是图像的对称轴，则
又因为，故，
（3）由（2）可知，
当的图像向右平移个单位，得到的图像
将横坐标变为原来的倍，再向上平移个单位得到
所以
当，即时
因此的对称中心为

5．已知函数，.
（1）若图像纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图像在 上单调递增，求的最大值；
（2）若函数在内恰有两个零点，求的取值范围.
【解析】（1）由题变换后图像的解析式是：
，
，，
，，，
由题：，且，，即的最大值为；
（2），
设，当时，.
它的图形如图所示：

则，令，，
①当时，，此时，仅有一个零点，对应一个x，不符题意；
②当时，，此时，仅有一个零点，对应两个x，符合题意；
③当时，，此时，有两个零点，，
由图，各对应一个x，符合题意；
④当时，若有两根，则必有，与矛盾；
⑤当吋，若取有两相等实根，则，白①②可知，；
⑥当在上有一根，在或上有一根；
或，则或，解得：，
综上，.
6．已知函数，若把图象上所有的点向左平行移动个单位后，得到函数的图象
（1）求函数的解析式，并写出的单调增区间；
（2）设函数，，求满足的实数x的取值范围.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由题意，得，
令，得，
则单调增区间为.
（2）由题意，得

由，得，又，得到，
解得，或，或，
即，或，或，
即.

7．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象的一条对称轴为.
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.
【解析】（1）函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离为，
，解得，
又因为是函数的一条对称轴，所以
解得，又，所以，
所以，
令，解得
所以对称中心：，.
（2），且在递增，递减，
令，，则方程在时仅一实根
令，且，
则只需或，解得或.
8．已知函数,满足.
(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;
(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的取值范围.
【解析】（Ⅰ）因为,,所以,
因此,，又,,
因为,所以,，即,
因此函数的单调递增区间为,
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,因此，
又,，所以.

9．(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:






x





y





作图:

(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
【解析】（1）先列表,后描点并画图

0




x





y
0
1
0
-1
0
；
（2）把的图象上所有的点向左平移个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到的图象，即的图象；
（3）由，所以函数的对称轴方程是.