高三数学 导数专题复习 十九 导数的概念及几何意义

专题十九 导数的概念及几何意义

一、基本概念

1、导数定义：函数在处的瞬时变化率，我们称它为函数在处的导数，记作或，即。

附注：①导数即为函数在处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：；

        ；；

，当时，，∴。

③求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

2、基本初等函数的八个必记导数公式

3、导数四则运算法则

(1)；

(2)；

(3)()。

温馨提示：，即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数。

4、复合函数的导数

(1)复合函数定义：一般地对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，就称这个函数为和的复合函数，记作。

(2)复合函数求导法则：复合函数的导数和函数、的导数的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。

例题1              求函数在处的导数。

分析：先求，再求，再求。

【解析】。

例题2              求导：①；②；③；④；⑤。

【解析】①，；

②，；

③，；

④，；

⑤，。

变式1              若物体的运动方程是，则物体在时的瞬时速度为(  )。

A、         B、         C、         D、

【解析】∵，∴，选C。

变式2              如果函数，则(  )。

A、                   B、                    C、                   D、不存在

【解析】，，选B。

例题3              函数的导数是          。

【解析】。

变式1              函数的导数是          。

【解析】。

变式2              设，则(  )。

A、                        B

C、                            D、

【解析】，选A。

变式3              函数的导函数为，则(  )。

A、                   B、                   C、                   D、

【解析】，则得，选D。

例题4              函数在处的导数为        。

【解析】∵；∴，。

变式1              曲线()，且，则实数的值为(  )。

A、                   B、                   C、                   D、

【解析】，

，即，∵，∴，选B

变式2              求导：(1)；                        (2)。

【解析】(1)；

(2)∵，∴。

拔尖1            已知函数，判断在处是否可导？

【分析】分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导。

【解析】，，

∴在处不可导。

注意：，指逐渐减小趋近于；，指逐渐增大趋近于。

点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，，包括与，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数。

讲解：函数在定义域内的导数可能没有意义，但是函数有意义：例如，则，在函数有意义，在导函数无意义。

导数是切线的斜率，如果原函数某点的切线垂直与轴，则导数无意义，但是原函数值是存在的。

例题5              函数的导数为        。

【解析】，则。

变式1              已知，则        。

【解析】设，，

则。

拔尖1            求导：(1)；(2)；(3)。

【解析】(1)

；

(2)，，，，

，，

，，

；

(3)解法一：设，，，则：

；

解法二：

           。

二 导数的几何意义

一 求曲线的切线方程

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

例题1            （2020·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

【解析】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.故选：B.

例题2            （2019·全国高考真题（文））已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）

A． B． C． D．

【解析】，

将代入得，故选D．

【小结】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

曲线切线方程的求法：

(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：

①求出函数f(x)的导数f′(x)；

②求切线的斜率f′(x0)；

③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．

(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．

二 求切点坐标

例题3            （2015·陕西高考真题（理））设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．

【解析】设.

对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．

例题4            （2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.

【解析】设点，则.又，

当时，，

点A在曲线上的切线为，即，

代入点，得，即，

考查函数，当时，，当时，，

且，当时，单调递增，

注意到，故存在唯一的实数根，此时，

故点的坐标为.

【小结】

已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.

三 求参数的值(范围)

例题5            （2019·安徽高二月考（文））若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【解析】设切点为，切线的斜率为，由，得，所以，而，所以，故选B.

例题6            （2020届山东省青岛市三模）【多选题】已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（    ）

A． B．3 C． D．

【解析】由题可知，，则，

可令切点的横坐标为，且，可得切线斜率，

由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，

且可知，

则，即，解得：，的取值可能为，.故选：AC.

例题7            （2018·全国高考真题（理））曲线在点处的切线的斜率为，则________．

【解析】，则，所以

【小结】

根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．

1．（2018·全国高考真题（理））设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)

A． B． C． D．

【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，

所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

化简可得，故选D.

2．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【解析】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.故选：D.

3．（全国高考真题（理））设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．

4．（全国高考真题（理））曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（     ）.

A． B． C．2 D．1

【解析】由，得，故，故切线的斜率为，故选C.

5．（2019·重庆南开中学高三月考（文））若直线与相切，则实数（    ）

A．2 B． C． D．

【解析】设切点为： ，

∴在此点处的切线方程为：

，即

∴ ，解得，故选：B

6．（2019·辽宁高三期中（理））已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=x2+f'（2）lnx，则f'（2）的值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【解析】由题得，∴，解得．故选：C．

7．（2019·河北安平中学高二月考）某物体运动规律是，若此物体的瞬时速度为，则 (    )

A． B． C． D．

【解析】依题意，令，解得.故选：C.

8．（2019·全国高考真题（文））曲线在点处的切线方程为___________．

【解析】

所以，

所以，曲线在点处的切线方程为，即．

9．（2020·全国高考真题（文））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.

【解析】设切线的切点坐标为，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为，即.

10.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.

【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.

由，得，，

即切点，

则切点Q到直线的距离为，

11．（2019·天津高考真题（文）） 曲线在点处的切线方程为__________.

【解析】，

当时其值为，

故所求的切线方程为，即.

12．（2019·全国高考真题（文））曲线在点处的切线方程为___________．

【解析】

所以，

所以，曲线在点处的切线方程为，即．

13．（2018·全国高考真题（文））曲线在点处的切线方程为__________．

【解析】由，得，

则曲线在点处的切线的斜率为，

则所求切线方程为，即.

14.（2019·江苏高三期中（文））在平面直角坐标系中，点在曲线（为自然对数的底数）上，且该曲线在点处的切线经过原点，则点的坐标是______.

【解析】设切点，切线的斜率，

所以切线方程为：，

因为切线过原点，所以，

所以点的坐标是.

15．（2019·重庆南开中学高三月考（理））已知曲线在处的切线与直线平行，则的值为___________．

【解析】由得，

因此曲线在处的切线斜率为：，

又切线与直线平行，

所以，解得.

16.（2019·全国高三月考（理））已知函数，则________.

【解析】由，得，

令，得，解得. 所以. 所以.

17.（2019·江西省奉新县第一中学高三月考（理））已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是____

【解析】由已知函数的导数为

，，

即，，，即答案为：.

18.（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与曲线相切，则__________.

【解析】函数的导函数，

设切点坐标，则，解得：.

19．（2020·山东海南省高考真题）已知函数．

（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

【解析】（1），，.

，∴切点坐标为(1,1+e),

∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,

切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;

例题讲解

例题1              曲线在点的切线斜率是(  )。

A、                  B、                   C、                   D、不存在

【解析】点在曲线上，选B。

变式1              曲线在点处切线的倾斜角为(  )。

A、                 B、                    C、                  D、

【解析】点在曲线上，选C。

例题2              曲线在点处的切线方程为           。

【解析】，故，又点在曲线上，

∴曲线在点处的切线方程为，化为一般式方程为。

【小结】求曲线切线方程关键点：利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线斜率或曲线上某点坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点，点坐标适合曲线方程；点坐标适合切线方程；点处切线斜率为。

变式1              已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是         。

【解析】当时，，则，又为偶函数，∴，

∴当时，，又点在曲线上，

则曲线在点处的切线的斜率为，

∴切线方程为，即。

例题3              已知点，点是曲线上的两点，求与直线平行的曲线的切线方程。

【解析】，设切点为，则，

∵的斜率，又切线平行于，

∴，即，切点，所求直线方程为。

变式1              由曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为         。

【解析】∵，∴切线为，如图，，，∴。

例题4              函数的图像上有两点和，在区间内求实数，使得函数的图像在处的切线平行于直线。

【解析】，()，解得。

变式1              已知直线是函数图像的切线，则实数        。

【解析】设切点为，则，∴，

又，∴，∴。

变式2              若曲线在点处的切线方程是，则(  )。

A、，       B、，        C、，         D、，

【解析】∵，∴曲线在点处的切线斜率，

∴，∴，