高中数学讲义微专题24 恒成立问题——最值分析法（含恒成立综合习题）

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微专题24 恒成立问题——最值分析法
最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功。是导数中的难点问题。
一、基础知识：
1、最值法的特点：
（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参
（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论
2、理论基础：设的定义域为
（1）若，均有（其中为常数），则
（2）若，均有（其中为常数），则
3、技巧与方法：
（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：
① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）
② 缩小参数与自变量的范围：
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）
观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围
（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号。
（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。
二、典型例题：
例1：设，当时，恒成立，求的取值范围
思路：恒成立不等式为，只需，由于左端是关于的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法
解：恒成立不等式为，令则对称轴为
（1）当时，在单调递增，
即
（2）当时，在单调递减，在单调递增

终上所述：
小炼有话说：二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值，故以此为分类讨论点。
思路二：从另一个角度看，本题容易进行分离，所以也可考虑参变分离法
解：
（1）时，则 (由于系数符号未定，故分类讨论进行参变分离）
令（换元时注意更新新元的取值范围）
则
（2），不等式对任意的均成立
（3），(注意不等号变号！！）
令,则

综上所述：
小炼有话说：
（1）此题运用参变分离法解题并不简便，不仅要对分类讨论，还要处理一个分式函数的最值，所以两个方法请作一对比
（2）最后确定的范围时，是将各部分结果取交集，因为分类讨论是对进行的，的取值要让每一部分必须同时成立才可，所以是“且”的关系，取交集
例2：已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________
思路：若不等式恒成立，则，与差的最大值即为最大值与最小值的差。所以考虑求在的最大最小值，，若，则，所以，若，则，所以。而，所以无论为何值，，则在单调递增。，从而，解得
答案：
例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围
思路一：恒成立的不等式为即,令观察到两点特征：(1)导函数易分析单调性，（2）,对单调性会有一定要求进而限制参数的取值。所以考虑使用最值法求解。
解：恒成立即不等式恒成立，令
只需即可，
，令（分析的单调性）
当时 在单调递减，则
(思考：为什么以作为分界点讨论？因为找到，若要不等式成立，那么一定从处起要增（不一定在上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以时导致在处开始单减，那么一定不符合条件。由此请体会零点对参数范围所起的作用）
当时，分是否在中讨论（最小值点的选取）
若，单调性如表所示










（（1）可以比较的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦。由于最小值只会在处取得，所以让它们均大于0即可。（2）由于并不在中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）
若，则在上单调递增，，符合题意
综上所述：
小炼有话说：此题在的情况也可不分类讨论，因为从单调区间分析来看，在中是极大值点，不可能是最小值，所以无论是否在，最小值（或临界值）均只会在边界处产生，所以只需即可
思路二：不等式 中与便于分离，所以只要分离后的的函数易分析出单调性，那么就可考虑运用参变分离法
解：，令，则只需即可
（单调性受分子影响，但无法直接分析）
令，（求导函数，便不含，可分析单调性，且零点找到，所以方法二可继续进行）
在上单调递增
（体会零点配合单调性对确定函数符号的作用）
，在上单调递增
（无最大值，只有临界值，故可取等号）
小炼有话说：第一点是分析时由于形式复杂并没有对直接求导，而是把分子拿出来分析。因为我们只关心导函数的符号，而分母符号恒正，所以要体会导函数的符号是对原函数的单调性最有价值的。第二点是体会零点与单调性合作可确定函数的符号，这也是分析的重要原因
例4： 已知，若对任意的，均有，求的取值范围
思路：恒成立不等式为，可参变分离但函数比较复杂，所以考虑利用最值法来分析。发现时，左右两边刚好相等。这也为最值分析提供方向
解：令， （从起应单调递增）
令，即
下面分情况讨论：
时，恒成立，在单调递增

时，
，恒成立，在单调递增

时，
时，恒成立，在单调递增

时，
在单调减，在单调递增
，不符题意，舍去
综上所述：
小炼有话说：本题导函数形式简单，所以直接对参数进行分类讨论与取舍
例5： 已知函数对任意的，均有，求实数的范围
思路：此题可用最值法求解，先做好准备工作，，所以函数要从开始增，求导观察特点：
解： （不易直接出单调性，但是发现其中，且再求一次导，其导函数容易分析单调性。进而可解）
，令即，下面进行分类讨论：
（1）当时，，单调递增。
单调递增，，满足条件
（此处为此题最大亮点，体会三点：①单调性与零点是如何配合来确定的符号的；②每一步的目的性很强，的作用就是以符号确定的单调性，所以解题时就关注的符号。而符号的确定同样要靠二阶导数与一阶导函数的零点配合来得到；③ 的零点是同一个，进而引发的连锁反应）
（2）当时，（可正可负，而，所以讨论 的符号）
① 当时，恒成立，即恒大于零，则：
单调递增。
单调递增，，满足条件
② 当，则时，即在单调递减， 在单调递减，，不符题意，故舍去
综上所述：时，恒成立
小炼有话说：这道题的重要特点在于的零点是同一个，进而会引发“连锁反应”。大家在处理多次求导问题时，一定要清楚每一层导数的目的是什么，要达到目的需要什么，求出需要的要素。
例6：已知函数，
（1）求函数的单调区间
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围
解：（1）
令即
① 当时，恒成立。在单调递增
② 当时，解得









（2）思路：恒成立不等式为，即
若参变分离，分离后的函数较为复杂（也可解决）。所以考虑最值法，观察当时，左边的值为0，所以对左边的函数的单调性有所制约，进而影响参数的取值。
解：恒成立不等式等价于
设，

恒成立，
否则若，由于连续
所以必存在区间使得，即在单调递减
进而，，不符题意
（本质：，所以要保证从开始的一段小区间要单调增，进而约束导数符号）
（这是要满足的必要条件，最终结果应该是这一部分的子集，下面证均满足条件或者寻找一个更精确的范围）
下面证任意的均满足条件。
构造函数（时的）
则
，若要恒成立，只需证明即可


成立
在单调递增，
在单调递增，成立
时，恒成立，符合题意

小炼有话说：
（1）的构造的的解析式可看为以为自变量的一次函数，且单调递增（），所以对于，无论为何值，，即，与恒成立的不等式不等号方向一致。
（2）本题核心想法是利用不等式化参数函数为常值函数（函数的放缩），进而便于对参数取值范围的验证。
（3）归纳一下解决此题的方法：为最值法解恒成立问题的另一个方法——构造中间函数
首先先说考虑使用这个方法的前提：
① 以参数为自变量的函数结构简单（最好单调）
② 参数缩小后的范围，其不等式与含参函数不等号方向，以及单调性保持一致（在本题中，而刚好关于单调递增，且要。故可引入位于与之间）
其步骤如下：
① 代入自变量的特殊值缩小参数的取值范围（有可能就得到最终结果），记为A
② 因为最终结果A的子集，所以只需证明A均符合条件或者寻找更小的范围
③ 如果函数是关于参数的一次函数（或单调函数），可通过代入参数的边界值（临界值）构造新函数并与原函数比较大小
④ 证明新函数介于原函数与不等式右侧值之间，进而说明A中的所有值均满足条件，即为最后结果
例7： 已知函数，若在区间上，恒成立，求实数的取值范围
思路：考虑用最值分析法，但可考虑先利用缩小的讨论范围
解：

令，即
（1）时，即，恒成立 在单调递减
满足条件
（2）时，，考虑，不符题意，舍去
（注：这里需要对函数值进行估计，显然，总有一个时刻，大于零，进而，所以考虑代入特殊值来说明。对于，所以构造时只需要即可，解得，进而舍掉的情况）
例8：已知函数，曲线在点处的切线方程为。其中为自然对数的底数
（1）求的值
（2）如果当时，恒成立，求实数的取值范围
解：（1）
，切线方程：
，而且在切线中，
解得：

（2）思路：恒成立不等式为：，若参变分离，则分离后的函数过于复杂，不利于求得最值，所以考虑利用最值法，先变形不等式，由于的符号不确定（以为界），从而需进行分类讨论。当时，不等式变形为：，设，可观察到，则若要时，，则需，进而解出，再证明时，即可。将的范围缩至时再证明时，即可。
解：由（1）可得恒成立的不等式为：
当时，

设，可得

若，则，使得时，
在单调递减 则时，与恒成立不等式矛盾
不成立
解得：
下面证明均可使得时，


在单调递增 ，即不等式恒成立
当时，

同理，
在单调递增
即时不等式在 恒成立
综上所述，
例9： 设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.
（1）求函数，的解析式；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）思路：由题意可知在处有公共点，且切线斜率相同
在处有相同的切线.


（2）思路：恒成立不等式为，尽管可以参变分离但分离后关于的函数结构复杂，不易分析单调性。所以考虑最值法
解：令，只需

令
均成立， （上一步若直接求单调增区间，则需先对的符号进行分类讨论。但通过代入（，便于计算），解得了要满足的必要条件，从而简化了步骤。）
解得
下面根据是否在进行分类讨论：
①
在单调递增。
与已知矛盾（舍）
②
在单调递增。
满足条件
③
则










恒成立，故满足条件
综上所述：
小炼有话说：本道题的亮点在于代入以缩小的范围，并不是边界点，但是由于易于计算（主要针对指数幂），且能够刻画的范围，故首选
例10：（2011浙江,22）设函数
（1）若为的极值点，求实数
（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.注：为自然对数的底数
解：（1）
是的极值点
或，经检验符合题意

（2）思路一：恒成立的不等式为，考虑选择最值法
当时，无论为何值，不等式恒成立（的单调区间必然含参数，首先将恒成立的部分剔除，缩小的取值范围以方便后期讨论）
，记
恒成立，所以
（通过特殊值代入缩小的范围，便于分析讨论）

（解不出具体的极值点，但可以估计其范围，利用零点存在性定理，同时得到与的关系：)
单调递增














若，只需
由得代入①得：

由②式得
综上所述，
小炼有话说：本题有以下几处亮点：
1、特殊值代入法：这是本题最大的亮点，通过代入特殊的值缩小的范围，便于讨论，在有关恒成立的问题中，通过代入特殊点（边界点，极值点等）可以简化运算，提供思路，而且有一些题目往往不等关系就在自变量的边界值处产生
2、对极值点的处理，虽无法求值，但可求出它的范围，进而解决问题
思路二：参变分离法：
当时，无论为何值，不等式恒成立
考虑,则不等式(体会将范围缩小后所带来的便利）
恒成立
则只需成立
设，
在单调递增，

再设,
令即,由左边可得时，，而单调递增，由此可得,,,(单调性+根→符号）
在单调增，在单调递减。故
综上所述：
小炼有话说：思路二有另外几个亮点：
1、缩小自变量范围的作用：使为正，进而对后面的变形开方起到关键性作用
2、在处理的问题时，采取零点与单调性结合的方式来确定符号。其中的单调性可以快速判断。增，增，且两部分的函数值恒为正数，那么相乘后的解析式依然是增函数。
三、近年模拟题题目精选（三类方法综合）
1、已知定义域为的奇函数，当时，，且对，恒有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2、（2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、（2014，辽宁）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4、（2014，新课标全国卷II）设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5、（2015，新课标I）设函数其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6、（2014，辽宁）已知定义在上的函数满足：
①
② 对所有的，且，有
若对所有的，恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7、（2016，唐山一中）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8、已知函数，在区间内任取两个不相等的实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9、已知，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______
10、已知不等式对一切恒成立，则的取值范围是_____
11、若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是___________
12、（2016，上海理工大附中一月考）已知不等式组的解集是关于的不等式解集的一个子集，则实数的取值范围是_______
13、（2014，重庆）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_________
14、（2016，上海十三校12月联考）已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是___________
15、已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为_______
16、关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______
17、（2016，内江四模）已知函数，，若，则实数的取值范围是
18、（2016四川高三第一次联考）已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_______
19、已知，若恒成立，则实数的取值范围是________
20、若不等式对满足的一切实数恒成立，则实数的取值范围是________
21、已知，函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)是否存在实数,使得恒成立？若存在,求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．
22、（2014，庆安高三期中）已知函数，其中
（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围
23、（2016，抚顺一模）已知函数。
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数，讨论函数的单调性；
（3）若（2）中函数有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围。
24、（2015，山东）设函数，其中
（1)讨论函数极值点的个数，并说明理由
（2）若成立，求的取值范围
25、（2015，新课标II）设函数
（1）证明：在单调递减，在单调递增
（2）若对于任意，都有，求的取值范围
26、（2015，北京）已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程
（2）求证：当时，
（3）设实数使得对恒成立，求的最大值
27、（2016，苏州高三调研）已知函数，是自然对数的底数
（1）当时，求函数的单调区间
（2）① 若存在实数，满足，求实数的取值范围
② 若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围










习题答案：
1、答案：D
解析：利用对称性可作出的图像，可视为的图像向左平移个单位，则恒成立不等式的几何含义为的图像始终在的上方，通过数形结合可得：若，则；若，也满足。所以的取值范围是
2、答案：D
解析：若恒成立，则，，所以在单调递减，在单调递增。，所以
3、答案：C
解析：时，恒成立不等式等价于
设

在单调递减，在单调递增

当时，可知无论为何值，不等式均成立
当时，恒成立不等式等价于
，同理设
在单调递增
综上所述：
4、答案：C
解析：，令可得：


不等式转化为：
整理后可得：
，使得
若且，则，不等式不能成立
只需或时，不等式成立即可

5、答案：D
解析：
当时，不等式不成立
当时，可得，与矛盾，故不成立
当时，可得
设
在单调递增，在单调递减

唯一的整数使得即，又
在单调递增

6、答案：B
解析：不妨设
当时，
当时，


即

7、答案：B
解析：

问题转变为：，使得，即


8、答案：A
解析：不妨设，则恒成立不等式等价于
即，设，则在单调递增


对恒成立，即
设，可知在单调递增

9、答案：
解析：恒成立不等式为：
设
令 定义域 解得
的单调区间为：











10、答案：
解析：恒成立不等式为，所以，由均值不等式可知：，所以，即
11、答案：
解析：恒成立不等式为：，设，则不等式恒成立只需 ，所以
解得
12、答案：
解析：不等式组的解集为，由子集关系可将问题转化为，不等式恒成立，从而恒成立，因为为减函数，所以，从而
13、答案：
解析：若不等式恒成立，则
设可知

14、答案：
解析：作出的图像可知为减函数，所以恒成立不等式等价于在恒成立，即，解得：
15、答案：4
解析：作出函数和的图像，可知，，，所以，即的最大整数值为4
16、答案：
解析：问题转化为，恒成立
，设
可得：

17、答案：
解析：，作出函数图像可知若，则
恒成立
即对恒成立
设，恒成立
设，对称轴
（1）当时，，不符题意
（2）当时，
综上所述：
18、答案：
解析：令可得：

由可知：在上单调递增


19、答案：
解析：若恒成立，则，由均值不等式可得：，所以解得：
20、答案：或
解析：由可设，恒成立不等式可知，而，所以解得：或
21、解析：（1）
，
可得在单调递减，在单调递增
的极小值为，无极大值
（2）设

，令
有两不等实根，其中，不妨设
在单调递减，在单调递增

由可得：
所以
令

在单调递增，在单调递减


代入到可得：
的取值集合为
22、解析：（1）

（2）
当时，可得恒成立 在单调递增
当时，令可解得：或，所以的单调区间为：
















（3）若在上恒成立，则只需
由（2）可知在的边界处取得最大值
对任意的恒成立
所以可得：
23、解析：（1）由可得：
，当时，
切线方程
（2）

令，即
① 时，恒成立
在单调递增
② 当时，
当时，
的单调区间为：












当时，
在上单调递减，在单调递增
（3）由（2）可得：函数有两个极值点，则，且

恒成立不等式为：，只需

设
由可得：
即在单调递减

24、解析：（1），定义域为
，
设，
当时，，函数在为增函数，无极值点.
当时，，
若时，，函数在为增函数，无极值点.
若时，设的两个不相等的实数根，且，
且，而，则，
所以当单调递增；
当单调递减；
当单调递增.
因此此时函数有两个极值点；
当时，但，，
所以当单调递増；
当单调递减.
所以函数只有一个极值点。
综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点.
（2）由（1）可知当时在单调递增，而，
则当时，，符合题意；
当时，，在单调递增，而，
则当时，，符合题意；
当时，，所以函数在单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，设，当时，
在单调递增，因此当时，
于是，当时，
此时，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
25、解析：
可知单调递增，且
时， 时，
在单调递减，在单调递增
（2）若不等式恒成立
则 在连续
在有最大最小值

由（1）可知在单调递减，在单调递增



设，可知
在单调递减，在单调递增

，使得

26、解析：（1）
切线方程为：
（2）所证不等式等价于证明：
设

时，恒成立
在单调递增
，即不等式得证
（3）设

当时，由（2）可知不等式恒成立
当时，令即 解得
在单调递减，在单调递增
与恒成立不等式矛盾
的最大值为2
27、解析：（1）当时，

当时，
当时，
在单调递减，在单调递增
（2）①
当时，；当时，
设，
在区间单调递增，在单调递减
当时，
当时，
当时，不成立
的取值范围是
② 由①可得时，，且
在上单调递增，在单调递减，且


当时，，且
在上单调递减，在单调递增，且
解得
综上所述：