专题18 恒成立问题-最值分析法（原卷版）学案

专题18  恒成立问题-最值分析法

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不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法.

1、最值法的特点：

（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参

（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论

2、理论基础：设的定义域为

（1）若，均有（其中为常数），则

（2）若，均有（其中为常数），则

3、技巧与方法：

（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：

① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）

② 缩小参数与自变量的范围：

   通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）

   观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围

（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.

（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点

的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内

【经典例题】

例1．（2020·安徽高三三模）已知函数，其导函数为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

例2．（2020·柳州高级中学高三三模）如果关于x的不等式x3﹣ax2+1≥0在[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A．a≤0 B．a≤l C．a≤2 D．a

例3．（2020·河南平顶山·高三三模）已知函数对有成立，则k的最小值为（    ）

A．1 B． C．e D．

例4．（2020·定远县育才学校高三三模）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

例5．（2020·全国高三三模）不等式对于任意正实数恒成立，则实数的取值范围是______．

例6．（2020·宁夏银川一中三模）对于任意实数，当时，有恒成立，则实数的取值范围为___________.

例7．（2020·江苏南京·高三三模）若对任意a[e，)（e为自然对数的底数），不等式对任意xR恒成立，则实数b的取值范围为_______．

例8．（2020·河南南阳中学高三三模）已知函数，，若对，总有或成立，则实数的取值范围为________.

【精选精练】

1．（2020·重庆高三三模）已知函数（，），若对任意都有成立，则（ ）

A． B．

C． D．

2．（2020·河北邢台·高三三模）若函数在上为减函数，则的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

3．（2020·青海西宁·高三三模）若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)

4．（2020·河南三模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·四川省泸县第四中学高三三模）若对任意，恒成立，则a的取值范围是（    ）

A．    B． 

C．    D．

6．（2020·江苏泰州中学高三三模）若关于的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数的取值范围是______

7．（2020·广东佛山一中高三三模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为__________.

8．（2020·河南南阳中学高三三模）已知函数，其中为自然对数的底数.若不等式恒成立，则的最小值为_________.

9．（2020·江苏盐城·高三三模）若对任意实数，都有成立，则实数的值为________.

10．（2020·安徽淮北·三模）已知函数为奇函数，为偶函数，对于任意均有，若对任意都成立，则实数的取值范围是______.

11．（2020·南开·天津二十五中三模）对于总有成立，则=     　        ．

12．（2020·湖南怀化·高三三模）已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为______．