山西省榆社中学2021届高三上学期第六次模块诊断 数学（理）(含答案) 试卷

山西省榆社中学2021届高三上学期第六次模块诊断数  学 试 题（理科）考查时间：120分钟        满分：150分         考查内容：高考综合 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数A．1 B． C．2 D．3．若，，则A．2 B．1 C．1 D．04．已知是等比数列，是它的前项和，若，且，则A.33            B.93                 C.-33              D.-935．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若，则 B．若，则C．若,则           D．若，则6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为（参考数据：，，，）A. B. C． D．7．若数列的通项公式是，则A．45 B．65 C．69 D．8．直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为A． B． C． D． 9．若函数的值域为，则的取值范围是A． B． C． D．10．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线C的离心率是A． B． C． D．511．已知，，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当时，函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围是A． B． C． D．12．若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数的上的奇函数，当时，，且曲线在点处的切线斜率为，则______．14.已知向量，，且，则____.15.如图，直三棱柱中,，， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：① 直线与直线是异面直线；②一定不垂直；③ 三棱锥的体积为定值； ④的最小值为.其中正确的序号序号是______.16.的三个内角所对的边分别为，，，，且，则________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）在中，，，点在上，.（1）求的长；（2）若的面积为，求的长.   18．（本小题12分）已知等差数列是递增数列，其前项和为，若是方程的两个实根．（1）求及；（2）设，求数列的前项和．   19. （本小题12分）如图，在梯形中，//，，，四边形为正方形，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上运动，是否存在点使平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，若存在，求线段的长，若不存在，说明理由.    20. （本小题12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.    21．（本小题12分）已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围.   22．（本小题10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程，并求曲线的直角坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．    2020—2021学年第一学期高三年级第六次模块诊断XX试题评分细则1-6 BDABDB   7-12BCDBDB13.-2  14.1  15.①③④   16.17．在△ABC中，，，点D在BC上，.（1）求AD的长；（2）若△ABD的面积为，求AB的长；解：（1）∵,且∴， ……………2分正弦定理有，得；……………5分（2）∵， ，∴，得，  ……………8分又∵，由余弦定理得，∴．……………12分18．已知等差数列是递增数列，其前项和为，若是方程的两个实根．（1）求及；（2）设，求数列的前项和．解：（1）因为等差数列为递增数列，且，是方程的两根，所以，，……………2分解得或又，则，则……………4分故，．……………6分（2），……………8分可得前n项和．……………12分19. 如图，在梯形中，//，，，四边形为正方形，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上运动，是否存在点使平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，若存在，求线段的长，若不存在，说明理由.（1）证明：在梯形中，因为//，，，所以，又因为，取中点P，连接，则，，易知，所以，所以.……………3分因为平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面.所以平面平面；……………5分（2）由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，，，所以，……………6分设为平面的一个法向量，由得取，则，……………8分因为是平面的一个法向量……………9分所以……………11分可得，即.……………12分20．已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.（1）∵，，∴，∴，…………3分将代入椭圆，∴，∴.……………5分（2）显然斜率存在，设方程 为：，，，∴.设，，，∴，，……………7分∵，∴时……………9分，……………11分∴直线过定点.……………12分21．已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围.解：（1）因为， ……………1分所以，……………2分①当时，，在上单调递减. ……………3分②当时，令，则；令，则，所以在单调递增，在上单调递减. ……………5分综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，可知，，令，得.……………6分设，则.当时，，在上单调递增，所以在上的值域是，即.……………8分当时，没有实根，且，在上单调递减，，符合题意. ……………9分当时，，所以有唯一实根，当时，，在上单调递增，，不符合题意. ……………11分综上，，即的取值范围为.……………12分22．已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程，并求曲线的直角坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．解：（1）将消去参数，化为普通方程，即，……………2分将代入，得，所以的极坐标方程为；……………4分，，，所以的普通方程为.……………6分（2）由，解得或，……………8分所以与的交点的极坐标分别为，．……………10分