山西省大同市2021届高三上学期学情调研测试 数学（理）（含答案）
展开大同市2021届高三学情调研测试试题(卷)
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
5.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∩B等于
A.{1} B.{1，2} C.{0，1，2，3} D.{－1，0，1，2，3}
2.已知i为虚数单位，复数Z＝i(3－ai)，且|z|＝5，则实数a＝
A.－4 B.4 C.±4 D.2
3.已知sin(θ－)＝，且θ∈(0，)，则cos(θ－)＝
A.0 B. C. D.1
4.等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，则S5＝
A.32 B.31 C.64 D.63
5.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为
A.360 B.520 C.720 D.600
6.中国传统文化是中华民族智慧的结晶，是中华民族的历史遗产在现实生活中的展现。为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查。将数据分组整理后，列表如下：
以下四个结论中正确的是
A.表中m的数值为10
B.估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人
C.估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人
D.若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50的样本，则分段间隔为25
7.已知双曲线mx2＋ny2＝1与抛物线x2＝8y有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
8.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中|φ|<)的图象如图所示，为了得到y＝f(x)的图象，只需把y＝sinωx的图象上所有点
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
9.已知变量x，y满足，则的取值范围是
A.[，] B.[，] C.[，] D.[，]
10.函数f(x)＝()·sinx的图像大致为
11.如图，双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作线段F2P与C交于点Q，且Q为PF2的中点。若等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，若在区间(－1，1]上方程f(x)－mx－m＝0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是
A.(0，) B.(0，] C.(0，] D.(0，)
第II卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量＝(2m－1，2)，＝(－2，3m－2)，且⊥。则|2－3|＝ 。
14.在(2x－1)7的二项展开式中，第四项的系数为 。
15.已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则P到直线l1：4x－3y＋11＝0和l2：x＋1＝0的距离之和的最小值是 。
16.如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
在公差不为0的等差数列{an}中，a1、a4、a8成等比数列。
(1)已知数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝，求数列{an}的公差。
18.(12分)
在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠CDA＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝2DC＝2，且E、F分别为PD、PB的中点。
(1)求证：CF//平面PAD；
(2)若直线PA与平面CEF的交点为G，且PG＝1，求截面CEF与底面ABCD所成锐二面角的大小。
19.(12分)
某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N(170.5，16)。现从该省某校高三年级男生随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5]。第二组[162.5，167.5]，……第六组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。
(1)求该学校高三年级男生的平均身高；
(2)求这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数；
(3)在这50名男生身高在177.5cm以上含(177.5cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望。
参考数据：
若ξ～N(μ，σ2)。则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974。
20.(12分)
如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，已知|AB|＝4，且点(e，)在椭圆上，其中e是椭圆的离心率。
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上异与A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP、BP于点M、N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值。
21.(12分)
设函数f(x)＝lnx－ax2－bx。
(1)当a＝b＝时，求函数f(x)的最大值；
(2)当a＝0，b＝－1，方程2mf(x)＝x2有唯一实数解，求正数m的值。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.[选修4－4：极坐标与参数方程](10分)
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数，0<α<π)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝。
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点，若|AB|＝8，求α的值。
23.[选修4－5；不等式选讲](10分)
巳知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|。
(1)当a＝1，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围。
