2021届山西省吕梁市高三上学期理数第一次模拟试卷及答案

 高三上学期理数第一次模拟试卷

一、单项选择题

1.集合 ， ，那么 〔    〕           

A.                B.                C.                D. 

2.命题 “ ， 〞，那么 为〔    〕           

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

3.等比数列 满足 ， ，那么 〔    〕           

A. 4                                           B.                                            C. 8                                           D. 

4.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体，而无所失矣〞，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 边形等分成 个等腰三角形(如下列图)，当 变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计 的值为〔 〕 

5. 为等差数列 的前 项和，满足 ， ，那么数列 的前10项和为〔    〕           

A.                                         B. 55                                        C.                                         D. 65

6. ， ， ，那么 ､ ､ 的大小关系为〔    〕           

A.                            B.                            C.                            D. 

7. 为双曲线 的左焦点，假设双曲线右支上存在一点 ，使直线 与圆 相切，那么双曲线离心率的取值范围是〔    〕           

A.                             B.                             C.                             D. 

8.假设 ，那么 等于〔    〕           

A.                                     B.                                     C.                                     D. 

9.函数 的图象大致为〔    〕           

A.         B.         C.         D. 

10.函数 ，给出以下结论：① 的最小正周期为 ；②点 ，是函数 的一个对称中心；③ 在 上是增函数；④把 的图象向左平移 个单位长度就可以得到 的图象，那么正确的选项是〔    〕           

A. ①②                                 B. ③④                                 C. ①②③                                 D. ①②③④

11. ，假设 有四个不等的实根，那么 的取值范围为〔 〕           

A.               B.               C.               D. 

12.四棱锥 中，底面 是矩形，侧面 是正三角形，且侧面 底面 ， ，假设四棱锥 外接球的体积为 ，那么该四棱锥的外表积为〔    〕           

A.                                     B.                                     C.                                     D. 

二、填空题

13.假设向量 、 、 满足 ， ，那么 ________.   

14.曲线 与 轴相切，那么 ________.   

15.直线 过抛物线 的焦点 ，交抛物线 于 ､ 两点，假设 ，那么直线 的斜率为________.   

16.如图，棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动，给出以下结论： 

①异面直线 与 所成的角范围为 ；

②平面 平面 ；

③点 到平面 的距离为定值 ；

④存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角为 .

其中正确的结论是________.

三、解答题

17.设 为实数，函数 .   

〔1〕假设 ，求 的定义域；   

〔2〕假设 ，且 有两个不同的实数根，求 的取值范围.   

18.数列 满足 ， .   

〔1〕求证：数列 为等比数列；   

〔2〕设 ，求 的前 项和 .   

19.在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 . .   

〔1〕求角 ；   

〔2〕假设 ， 在边 上，且 ， ，求 .   

20.如图，四棱锥 中， ， ，侧面 为等边三角形， ， ， . 

〔1〕求证： ；   

〔2〕求二面角 的余弦值.   

21.椭圆 过点 ， .   

〔1〕求 的方程；   

〔2〕经过 ，且斜率为 的直线 交椭圆 于 ､ 两点(均异于点 )，证明：直线 与 的斜率之和为定值.   

22.函数 .   

〔1〕假设 ，求实数 的取值范围；   

〔2〕求证： .   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】 ，所以 。

故答案为：B.

 
【分析】利用条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合B，再利用交集的运算法那么，进而求出集合A和集合B的交集。

2.【解析】【解答】命题 为全称命题，该命题的否认为 ， 。

故答案为：C.

 
【分析】利用全称命题与特称命题互为否认的关系，进而写出命题p的否认。

3.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，

再由 得 ， 。

故答案为：A.

 
【分析】利用条件结合等比中项公式，再利用解一元二次方程的根的方法求出等比数列第四项的值，再利用等比数列的通项公式，进而求出等比数列第七项的值。

4.【解析】【解答】将一个单位圆平均分成90个扇形，那么每个扇形的圆心角度数均为 ，

因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，

所以 ，

所以 ，

故答案为：D

 
【分析】利用条件将一个单位圆平均分成90个扇形，那么每个扇形的圆心角度数均为4°，因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，再利用等腰三角形的面积和单位圆的面积公式，进而估计出 的值。

5.【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ，那么 ，

所以 ， ，所以 ，

所以 ，所以 ，

所以 是以1为首项， 为公差的等差数列，

数列 的前10项和 ，

故答案为：C.

 
【分析】利用条件结合等差数列的通项公式，进而解方程组求出等差数列的首项和公差，再结合等差数列前n项和公式结合等差数列的定义，进而推出数列是以1为首项， 为公差的等差数列，再利用等差数列前n项和公式，进而求出数列 的前10项和。

6.【解析】【解答】由题知 ， ，

，

而 ，

所以 。

故答案为：D.

 
【分析】利用条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的指数与对数的大小关系比较，进而比较出a,b,c三者的大小。

7.【解析】【解答】直线 与圆 相切，设切点为 ,那么 , ，所以 ，那么直线 的斜率 ，

又因为点 在双曲线的右支上，所以 ，即 ，

所以 ，所以 ，即 。

故答案为：B.

 【分析】利用直线与圆相切的位置关系判断方法，设切点为 ,那么 , ，所以 ，那么直线 的斜率 ，又因为点 在双曲线的右支上，所以 ，即 ，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合双曲线的离心率公式变形，进而求出双曲线的离心率的取值范围。

8.【解析】【解答】因为 ，

，

那么 。

故答案为：C.

 
【分析】利用二倍角的正弦公式和余弦公式，利用两角和的正切公式和诱导公式，求出 的值。

9.【解析】【解答】由 ，

所以 为奇函数，可排除B、D；

因为，

，

。

故答案为：A.

 
【分析】利用奇函数的定义判断出函数为奇函数，再利用奇函数图象的对称性，进而结合特殊点排除法，进而选出函数的大致图象。

10.【解析】【解答】 ， 

即 ，那么周期 ，故①正确；

，故②正确；

当 时， ， 在 上是增函数故③正确；

因为 ，所以把 的图像向左平移 个单位长度就可以得到 的图像，故④错误，

故答案为：C.

 
【分析】利用两角和的正弦公式和两角差的余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出正弦型函数的最小正周期；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称中心；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像判断出正弦型函数的单调性；利用正弦型函数的图象变换得出把函数 的图像向左平移 个单位长度就可以得到 的图像，进而选出正确的序号。

11.【解析】【解答】因为 ， , ，那么 为偶函数，

，

由 ，得 或 或 ，

， ， ， ，

由偶函数可知，可知 在 处取极小值， 或 处取极大值，

因为 ， ，

所以 时， 有四个不等的实根。

故答案为：A.

 
【分析】因为 ， , 再利用偶函数的定义判断出函数为偶函数，再利用求导的方法判断出函数的单调性，进而结合偶函数的图像的对称性，从而求出函数的极值点，再利用函数有四个不等的实根，因为 ， ，进而求出实数k的取值范围。

12.【解析】【解答】设四棱锥 外接球的球心为 ，过 作底面 的垂线，垂足为 ，

因为四边形 是长方形，所以 的底面中心，即对角线 的交点，

过 作三角形 的垂线，垂足为 ，所以 是正三角形 外心，

设外接球半径为 ，外接球的体积为 ，所以 ，即 ，

过 作 ，那么 是 的中点，连接 ，所以 ， ，

因为平面 平面 ，平面 平面 ，

所以 平面 ，所以 ，所以 平面 ，所以 ，

所以四边形 是平行四边形，即 ，设 ，那么 ， ，

所以 ，由勾股定理得 ，即 ，

解得 ，所以 ， ，

因为 ，所以 平面 ， 平面 ，

所以 ， ， ，

因为 ， ，

作 于 ，所以 为 的中点，所以 ，所以 ， ，

所以 。

故答案为：B.

 
【分析】设四棱锥 外接球的球心为 ，过 作底面 的垂线，垂足为 ，因为四边形 是长方形，所以 的底面中心，即对角线 的交点，过 作三角形 的垂线，垂足为 ，所以 是正三角形 外心，再利用球的体积公式结合条件，进而求出球的半径长，过 作 ，那么 是 的中点，连接 ，所以 ， ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，所以 ，所以 平面 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，即 ，设 ，再利用勾股定理结合条件，进而求出x的值，所以 ， 再利用三角形面积公式结合 ，所以 平面 ， 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ， ， 再利用等面积法结合三角形面积公式，进而结合勾股定理，进而结合中点的性质求出PH的长，再利用三角形面积和矩形面积公式结合求和法，进而求出该四棱锥的外表积。

二、填空题

13.【解析】【解答】因为 ， ，

所以 。

故答案为：0。

 
【分析】利用条件结合数量积的运算法那么结合数量积求模公式，进而求出的值。

14.【解析】【解答】设曲线上切点坐标为 ，

因为 ，所以 ，解得 ， 。

故答案为：-3。

 
【分析】利用代入法设曲线上切点坐标为 ，再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再结合曲线 与 轴相切， 进而求出和a的值。

15.【解析】【解答】由直线 过 ，所以 ，

设 ， ，

由 ，可得 ，

直线 与抛物线 联立得， ，

所以 ，可得 ，

所以 。

故答案为： 。

 
【分析】由直线 过 结合代入法，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程，设 ， ，再利用共线向量的坐标表示可得 ，再利用直线与抛物线相交，将直线 与抛物线 联立得 ，再利用韦达定理得出， 再利用两点求斜率公式，进而求出直线的斜率。

16.【解析】【解答】对于①，当 在 点时， ，

异面直线 与 所成的角最大为 ，

当 在 点时，异面直线 与 所成的角最小为 ，

所以异面直线 与 所成的角的范围为 ，故①错误；

对于②，如图，因为 平面 ,所以 ,同理 ,又因为 平面 ,所以 平面 ，所以平面 平面 ，故②正确；

对于③，因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ，即 ，故③正确；

对于④，直线 与平面 所成的角为 ， ，

当 时， 最小， 最大，最大值为 ，故④不正确，

故答案为：②③.

 
【分析】利用条件结合正方体的结构特征，再结合异面直线所成的角的求解方法和异面直线所成的角的取值范围，进而求出异面直线 与 所成的角的取值范围 ；再利用面面垂直的判定定理推出平面 平面 ；利用条件结合点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ；利用条件结合线面角的求解方法，进而得出结论正确的序号。

三、解答题

17.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数的解析式，再利用偶次根式函数求定义域的方法结合绝对值不等式求解方法，进而求出函数的定义域。
〔2〕因为 ，得 ，设 ，可得 有2个不同的实数根，整理得 ， 有2个不同的实数根，再利用方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系，得出 且 与 在 上有两个不同的交点， 再利用二次函数图象求值域的方法，进而得出实数a的取值范围。

18.【解析】【分析】〔1)利用条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义，进而证出数列 为等比数列。
〔2〕利用〔1〕数列 为等比数列，再结合等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，再结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再结合错位相减的方法，进而求出数列 的前n项和。

19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合正弦定理和三角形内角和为180度，再结合诱导公式结合两角和的正弦公式，进而求出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值。
〔2〕利用条件结合共线定理和三角形法那么，再利用平面向量根本定理结合数量积的运算法那么，进而结合数量积的定义结合一元二次方程求根的方法，进而求出b的值。

20.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合勾股定理，进而推出，又因为 再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即证出 。
〔2〕 以 为坐标原点，取 中点 ，， 的方向分别为 轴， 轴正方向建立如下列图的空间直角坐标系 ，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的余弦值。

21.【解析】【分析】〔1〕 因为椭圆 过点 ， ， 结合代入法求出a,b的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕利用经过 且斜率为 的直线 ， 结合点斜式设出直线的方程，再利用直线 交椭圆 于 ､ 两点(均异于点 )，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，进而结合两点求斜率公式，进而证出直线 与 的斜率之和为定值。

22.【解析】【分析】〔1〕利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而求出实数a的取值范围。
〔2〕 由〔1〕知，当 时， ，即 ，所以 ，得 ，再利用放缩法结合加减相消求和法，进而证出 。