2020-2021学年北师大版初一数学上册难点突破讲义09 有理数的乘方及混合运算

专题09 有理数的乘方及混合运算【专题说明】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.【知识点总结】一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.要点诠释：                                                            （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．  二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；  （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．【精典例题】一、有理数乘方1、把下列各式写成幂的形式：(1)；(2)(－3.7)×(－3.7)×(－3.7)×(－3.7)×5×5；(3)．【答案与解析】 (1)；(2)(－3.7)×(－3.7)×(－3.7)×(－3.7)×5×5＝(－3.7)4×52；(3) 【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.2、计算：（1）           （2）      （3）           （4）（5）　         （6）      （7）         （8）【答案与解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（7）；（8）【总结升华】与不同，，而表示的n次幂的相反数．3、计算：（1）（2）【答案与解析】由乘方的定义可得： (1)3 4＝3×3×3×3＝81；－3 4＝－（3×3×3×3）＝－81；；(2)； ；；【总结升华】注意与的意义的区别．（n为正整数），（n为正整数）．二、乘方的符号法则1、不做运算，判断下列各运算结果的符号．(－2)7，(－3)24，(－1.0009)2009，，－(－2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得： (－2)7运算的结果是负；(－3)24运算的结果为正；(－1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；－(－2)2010运算的结果是负．【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．2、不做运算，判断下列各运算结果的符号．(－2)7，(－3)24，(－1.0009)2009，，－(－2) 2010【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得： (－2)7运算的结果是负；(－3)24运算的结果为正；(－1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；－(－2)2010运算的结果是负．【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．三、有理数的混合运算1、计算： （1）（2）[来（3）（4）【答案与解析】（1）法一：原式＝； 法二：原式= （2）原式(3) 原式=－32－3+66－9=22 (4) 原式【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．2、计算： （1）－(－3)2+(－2)3÷[(－3)－(－5)]（2）[73－6×(－7)2－(－1)10]÷(－214－24+214)（3）；（4）【答案与解析】（1）－(－3)2+(－2)3÷[(－3)－(－5)]＝－9+(－8)÷(－3+5)＝－9+(－8)÷2＝－9+(－4)＝－13（2） [73－6×(－7)2－(－1)10]÷(－214－24+214)＝(7×72－6×72－1)÷(－214+214－24)        ＝[72×(7－6)－1]÷(－24)        ＝(49－1)÷(－24)        ＝－2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.原式（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．3、         （       ）（A）        （B）    （C）     （D）【答案】C【解析】逆用分配律可得：，所以答案为：C【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式.4、计算：【答案与解析】逆用分配律可得：【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有四、探索规律 1、你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到       根面条，第5次捏合抻拉得到       根面条，第次捏合抻拉得到       根面条，要想得到64根细面条，需     次捏合抻拉.                   第1次               第2次             第3次【答案】8; 32; ; 6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：           第1次：；第2次：；第3次：；…；第次：.第3次捏合抻拉得到面条根数：，即8根；第5次得到：，即32根；第次捏合抻拉得到；因为，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．2、下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；…第n个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（   ）．A．第10个数    B．第11个数    C．第12个数    D．第13个数【答案】A【解析】第1个数结果为；第2个数结果为；第3个数结果为；…；发现运算中在后边的各式为，分子、分母相约为1，所以第n个数结果为，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．