人教版八年级上册数学几何与方程应用强化练习题（三）

这是一份初中数学人教版八年级上册本册综合精品习题，共20页。试卷主要包含了阅读与推理，阅读下面的材料，并解决问题，阅读下列材料并解答问题等内容，欢迎下载使用。
八年级上册数学几何与方程应用强化练习题（三）





1．阅读与推理


【阅读】三角形外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．例如在图中，∠ACD是△ABC的一个外角，则有∠ACD＝∠A+∠B．


小明在课外书上看到这样一题：


“在五角星形ABCD中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数”．


小明思考：∠AFG是△FEC的外角，


根据“三角形外角定理”，可得∠AFE＝∠ +∠ ．


类似的，∠AGF是△BGD的外角，可得∠AGF＝∠ +∠ ．


小明已经有了解题思路，请你帮助他将这道题完整解答．





2．阅读下面的材料，并解决问题．


（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．





如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；


如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．


（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．


（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．











3．（1）如图（1）所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试猜想∠BOC与∠1的关系，并证明．





（2）如图（2）所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试猜想∠A与∠BOC的关系 （直接写结果不要证明）；


（3）如图（3）所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试猜想∠A与∠BDC的关系 （直接写结果不要证明）．











4．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC．


（1）若AD⊥BC于D，∠C＝35°，求∠DAE的大小；


（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC．





5．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．


（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．


（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB＝80°．判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？


（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数．














6．在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．


求证：（1）△ABE≌△AFE；


（2）AD＝AB+CD；








7．如图，AD是△ABC的角平分线，点F、E分别在边AC、AB上，连接DE、DF，且∠AFD+∠B＝180°．


（1）求证：BD＝FD；


（2）当AF+FD＝AE时，求证：∠AFD＝2∠AED．














8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CD是△ABC的角平分线，BE与CD相交于点P．


（1）求∠BPC的度数；


（2）求证：BC＝BD+CE．














9．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F．


（1）求证：△ADE≌△BCF；


（2）若∠BCF＝65°，求∠DMF的度数．














10．如图1，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α．


（1）求证：BE＝AD；


（2）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明．











11．济南市地铁1号线于2019年1月1日起正式通车，在修建过程中，技术人员不断改进技术，提高工作效率，如在打通一条长600米的隧道时，计划用若干小时完成，在实际工作过程中，每小时打通隧道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务．


（1）求原计划每小时打通隧道多少米？


（2）如果按照这个速度下去，后面的300米需要多少小时打通？





12．2019年12月1日阜阳高铁正式运行，在高铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元，已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元．


（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？


（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．














13．某文化用品商店用120元从某厂家购进一批套尺，很快销售一空；第二次购买时，该厂家回馈老客户，给予8折优惠，商店用100元购进第二批该款套尺，所购到的数量比第一批还多1套．


（1）求第一批套尺购进时的单价；


（2）若商店以每套5.5元的价格将第二批套尺全部售出，可以盈利多少元？











14．某商场用8万元购进一批新型衬衫，上架后很快销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的2倍，但进价涨了4元/件，结果用去17.6万元．


（1）该商场第一批购进衬衫多少件？


（2）商场销售这种衬衫时，每件定价都是58元，剩至150件时按八折出售，全部售完．售完这两批衬衫，商场共盈利多少元？

















15．某市派出两个抢险救灾工程队赶到支援，甲工程队承担了2400米道路抢修任务，乙工程队比甲工程队多承担了600米的道路抢修任务，甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40米，结果两工程队同时完成任务．


问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米．


（1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则用含x的式子表示：


甲工程队每小时抢修道路 米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时．


（2）列出方程，完成本题解答．





参考答案


1．解：在△CEF中，可得∠AFE＝∠C+∠E，


在△BDG中，可得，AGF＝∠B+∠D，


∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠AFG+AGF+∠A＝180°；


故答案为：E，C，B，D．


2．解；（1）如图1，





∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB


∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB


∴∠OBC+∠OCB


＝（∠ABC+∠ACB）


＝（180°﹣∠BAC）


＝（180°﹣60°）


＝60°


∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；


如图2，





∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD


∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD


∵∠ACD＝∠ABC+∠A


∴∠OCD＝（∠ABC+∠A）


∵∠OCD＝∠OBC+∠O


∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC


＝∠ABC+∠A﹣∠ABC


＝∠A


＝30°


如图3，





∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD


∴∠OBC＝∠EBC，∠OCB＝∠BCD


∴∠OBC+∠OCB


＝（∠EBC+∠BCD）


＝（∠A+∠ACB+∠BCD）


＝（∠A+180°）


＝（60°+180°）


＝120°


∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°


如图4，





∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2


∴∠O2BC＝∠ABC，∠O2CB＝∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C


∴∠O2BC+∠O2CB


＝（∠ABC+∠ACB）


＝（180°﹣∠BAC）


＝（180°﹣60°）


＝80°


∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°


∴∠BO2O1＝∠BO2C＝50°


故答案为：120°，30°，60°，50°；


（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，


∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，


∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）


＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）


＝180°﹣（180°﹣∠A）


＝90°+∠A．


（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°


∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°


∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°


∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°


∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°


或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，


∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°


∴α＝20°，β＝25°


∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，


∴∠A＝70°．


3．解：（1）结论：．


理由：如图 （1）中，





∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，


∴，


∴．





（2）结论：．


理由：如图 （2）中，





∵BD平分∠FBC，


∴．


同理可证：．


∴，


∵∠FBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，


∴，


∴，


故答案是：∠BOC＝．





（3）结论：．


理由：如图（3）中，





∵CD平分∠ACB的外角，BD平分∠ABC，


∴，


∵∠ECD是△DBC的外角，


∴∠BDC＝∠ECD﹣∠DBC＝，


∵∠ACE是△ABC的外角，


∴∠ACE﹣∠ABC＝∠A，


∴．


故答案是：∠BDC＝．


4．（1）解：∵∠C＝35°，∠B＝2∠C，


∴∠B＝70°，


∴∠BAC＝75°，


∵AE平分∠BAC，


∴∠EAC＝37.5°，


∵AD⊥BC，


∴∠ADC＝90°，


∴∠DAC＝55°，


∴∠DAE＝55°﹣37.5°＝17.5°；





（2）证明：∵EF⊥AE，


∴∠AEF＝90°，


∴∠AED+∠FEC＝90°，


∵∠DAE+∠AED＝90°，


∴∠DAE＝∠FEC，


∵AE平分∠BAC，


∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣3∠C）＝90°﹣∠C，


∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，


∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+∠C＝∠C，


∴∠FEC＝C，


∴∠C＝2∠FEC．





5．解：（1）当108°是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36°，第三个内角原式36°，故最小的内角是36°，


当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54°，18°，最小的内角是18°


故答案为：36°或18°．





（2）结论：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”．


理由：∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，


∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，


∴∠OAB＝3∠ABO，


∴△AOB为“梦想三角形”，


∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，


∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，


∴∠AOB＝3∠OAC，


∴△AOC是“梦想三角形”．





（3）解：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，


∴∠EFC＝∠ADC，


∴AD∥EF，


∴∠DEF＝∠ADE，


∵∠DEF＝∠B，


∴∠B＝∠ADE，


∴DE∥BC，


∴∠CDE＝∠BCD，


∵DE平分∠ADC，


∴∠ADE＝∠CDE，


∴∠B＝∠BCD，


∵△BCD是“3倍角三角形”，


∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，


∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，


∴∠B＝36°或∠B＝．


6．（1）证明：∵AE平分∠BAD，


∴∠BAE＝∠FAE，


在△ABE和△AFE中，


，


∴△ABE≌△AFE（SAS）；


（2）证明：由（1）知，△ABE≌△AFE，


∴EB＝EF，∠AEB＝∠AEF，


∵∠BEC＝180°，∠AED＝90°，


∴∠AEB+∠DEC＝90°，∠AEF+∠DEF＝90°，


∴∠DEC＝∠DEF，


∵点E为BC的中点，


∴EB＝EC，


∴EF＝EC，


在△ECD和△EFD中，


，


∴△ECD≌△EFD（SAS），


∴DC＝DF，


∵AD＝AF+DF，AB＝AF，


∴AD＝AB+CD．





7．证明：（1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，


如图1所示：





∵DM⊥AB，DN⊥AC，


∴∠DMB＝∠DNF＝90°，


又∵AD平分∠BAC，


∴DM＝DN，


又∵∠AFD+∠B＝180°，


∠AFD+∠DFN＝180°，


∴∠B＝∠DFN，


在△DMB和△DNF中，





∴△DMB≌△DNF（AAS）


∴BD＝FD；


（2）在AB上截取AG＝AF，连接DG．


如图2所示，





∵AD平分∠BAC，


∴∠DAF＝∠DAG，


在△ADF和△ADG中．


，


∴△ADF≌△ADG（SAS）．


∴∠AFD＝∠AGD，FD＝GD


又∵AF+FD＝AE，


∴AG+GD＝AE，


又∵AE＝AG+GE，


∴FD＝GD＝GE，


∴∠GDE＝∠GED


又∵∠AGD＝∠GED+∠GDE＝2∠GED．


∴∠AFD＝2∠AED


8．解：（1）∵BE，CD是△ABC的角平分线，


∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，


∵∠A＝60°，


∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°；


（2）证明：在BC上取点G使得CG＝CE，








∵∠BPC＝120°，


∴∠BPD＝∠CPE＝60°，


在△CPE和△CPG中，


，


∴△CPE≌△CPG（SAS），


∴∠CPG＝∠CPE＝60°，


∴∠BPG＝120°﹣60°＝60°＝∠BPD，


在△BPD和△BPG中，


，


∴△BPD≌△BPG（ASA），


∴BD＝BG，


∴BD+CE＝BG+CG＝BC．


9．证明：如图所示：





（1）∵AD＝AC+CD，BC＝BD+CD，AC＝BD，


∴AD＝BC，


在△AED和△BFC中，


，


∴△AED≌△BFC（AAS），


（2）∵△AED≌△BFC，


∴∠ADE＝∠BCF，


又∵∠BCF＝65°，


∴∠ADE＝65°，


又∵∠ADE+∠BCF＝∠DMF


∴∠DMF＝65°×2＝130°．


10．解：（1）如图1，


∵∠ACB＝∠DCE＝α，


∴∠ACD＝∠BCE，


在△ACD和△BCE中，


，


∴△ACD≌△BCE（SAS），


∴BE＝AD；


（2）△CPQ为等腰直角三角形．


证明：如图2，


由（1）可得，BE＝AD，


∵AD，BE的中点分别为点P、Q，


∴AP＝BQ，


∵△ACD≌△BCE，


∴∠CAP＝∠CBQ，


在△ACP和△BCQ中，


，


∴△ACP≌△BCQ（SAS），


∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，


又∵∠ACP+∠PCB＝90°，


∴∠BCQ+∠PCB＝90°，


∴∠PCQ＝90°，


∴△CPQ为等腰直角三角形


11．解：（1）设原计划每小时打通隧道x米，则实际工作过程中每小时打通隧道1.2x米，


依题意，得：﹣＝2，


解得：x＝50，


经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．


答：原计划每小时打通隧道50米．


（2）300÷（50×1.2）＝5（小时）．


答：按照这个速度下去，后面的300米需要5小时打通．


12．解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，


依题意，得：+＝1，


解得：x＝20，


经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意，


∴1.5x＝30．


答：甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需30天；


（2）设甲工程队每天的费用是y元，则乙工程队每天的费用是（y﹣250）元，


依题意，得：12y+12（y﹣250）＝27720，


解得：y＝1280，


∴y﹣250＝1030．


甲工程队单独完成共需要费用：1280×20＝25600（元），


乙工程队单独完成共需要费用：1030×30＝30900（元）．


∵25600＜30900，


∴甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成．


13．解：（1）设第一批套尺购进时单价为x元，则第二批套尺购进时单价为0.8x元，


依题意，得：﹣＝1，


解得：x＝5，


经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．


答：第一批套尺购进时单价为5元．


（2）第二批套尺购进时单价为5×0.8＝4（元）．


全部售出后的利润为（5.5﹣4）×[100÷4]＝37.5（元）．


答：可以盈利37.5元．


14．解：（1）设该商场第一批购进衬衫x件，则第二批购进衬衫2x件，


依题意，得：﹣＝4，


解得：x＝2000，


经检验，x＝2000是所列分式方程的解，且符合题意．


答：商场第一批购进衬衫2000件．


（2）（2000+2000×2﹣150）×58+150×58×0.8﹣80000﹣176000＝90260（元）．


答：售完这两批衬衫，商场共盈利90260元．


15．解：（1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则甲工程队每小时抢修道路（x﹣40）米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为＝小时．


故答案为：（x﹣40）；；．


（2）依题意，得：＝，


解得：x＝200，


经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，


∴x﹣40＝160．


答：甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修道路200米．