人教版八年级上册数学几何与方程应用强化练习题（二）

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这是一份初中数学人教版八年级上册本册综合优秀一课一练，共19页。试卷主要包含了如图1，已知，在△ABC中，AC＝BC等内容，欢迎下载使用。

1．如图所示，在△ABC中，已知AD⊥BC，∠B＝64°，∠C＝56°，

（1）求∠BAD和∠DAC的度数；

（2）若DE平分∠ADB，求∠AED的度数．

2．如图1．直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上运动．AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．

（1）求∠ACB的大小：

（2）如图2．若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线．BD与AC相交于点D．点A、B在运动的过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化．请说明理由；若不发生变化．试求出其值；

（3）如图3．过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO﹣∠BCF＝45°．求证：CF∥OB．

3．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．

求：（1）∠ACD的度数；

（2）∠AEC的度数．

4．（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．

①当∠A＝60°时，求∠D的度数．

②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论．

（2）如图（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）．

5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD

若记∠ABC＝x，∠ACB＝y（不妨设y≥x），求∠CFE的大小（用含x，y的代数式表示）

6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．求证：BC＝CD；

7．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且AD＝AB．

如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证AE+AF＝AD．

如图2，如果∠EDF＝60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．

8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，点E是线段AD上一点，且ED＝CD，连接BE交AC于点F．求证：∠CBF＝∠DAC；

9．已知，在△ABC中，AC＝BC．分别过A，B点作互相平行的直线AM和BN．过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．

（1）如图1．若CD＝CE．求∠ABE的大小；

（2）如图2．∠ABC＝∠DEB＝60°．求证：AD+DC＝BE．

10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），以OA为边作等边△AOP，点B为y轴上A点上方一动点，以BP为边作等边△PBC．直线AC与x轴交于点E．

（1）求证：OB＝AC；

（2）当B点运动时，E的位置是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请直接写出E的坐标．

11．新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，购买A种消毒液花费了2500元，购买B种消毒液花费了2000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元．

（1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？

（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资，其中A、B两种消毒液准备购买共50桶，恰逢商场对两种消毒液的售价进行调整，A种消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B种消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种消毒液的总费用不超过3260元，那么学校此次最多可购买多少桶B种消毒液？

12．近期受疫情影响，需要居家学习，某中学为方便教师线上直播授课，计划给教师配备电脑手写板．信息城现有甲、乙两种手写板，若每台甲种手写板的价格比每台乙种手写板的价格少300元，且用6000元购买甲种手写板的数量与用7500元购买乙种手写板的数量相同．

（1）求每台甲种手写板和乙种手写板的价格；

（2）若学校计划到信息城购买50台手写板，购买甲种手写板的数量不少于乙种手写板数量的2倍，信息城给出的优惠方案：一次性购买不少于10台乙种手写板，则乙种手写板的价格按原价七五折优惠，否则按原价购买．请你帮学校设计一种最省钱的购买方案．

13．某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．

（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？

（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？

14．一项工程，如果由甲队单独做这项工程刚好如期完成，若乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天完成．现由若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．已知甲、乙两队施工一天的工程费分别为16万元和14万元．

（1）求规定如期完成的天数．

（2）现有两种施工方案：方案一：由甲队单独完成；方案二：先由甲、乙合作4天，再由乙队完成其余部分；通过计算说明，哪一种方案比较合算．

15．为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．

参考答案

1．解：（1）∵AD⊥BC，

①∴在Rt△BAD中，∠BAD+∠B＝90°，

又∵∠B＝64°，

∴∠BAD＝26°；

②∴在Rt△DAC中，

∠DAC+∠C＝90°，

又∵∠C＝56°，

∴∠DAC＝34°；

（2）∵AD⊥BC，DE平分∠ADB，

∴∠BDE＝45°；

在△BED中，∠B＝64°，

∴∠B+∠BDE＝109°；

∵∠AED＝∠B+∠BDE，

∴∠AED＝109°．

2．解：（1）∵AC平分∠BAO，CB平分∠ABO，

∴∠BAC＝∠CAO，∠ABC＝∠OBC，

设∠BAC＝∠CAO＝x，∠ABC＝∠OBC＝y，

在△ABO中，2x+2y+∠AOB＝180°，∵∠AOB＝90°，

∴x+y＝45°

在△ACB中，x+y+∠ACB＝180°，

∴∠ACB＝180°﹣（x+y）＝135°；

（2）∠ADB的大小不会发生变化，

∵BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，AC是∠BAO的角平分线，

∴∠BAD＝BAO，∠DBE＝∠EBO，

∵∠EBO＝∠AOB+∠OAB，∠EBD＝∠BAD+∠D，

∴∠EBD＝EBO＝∠OAB+90°＝∠OAB+∠D，

∴∠D＝45°；

（3）∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠BAD＝∠BAO，∠CBG＝∠ABO，

∵∠OAB+∠ABO＝90°，

∴∠BAD+∠CBG＝45°，

∵∠AGO＝∠BAD+∠ABO＝∠BAD+2∠CBG＝∠CBG+45°，

∴∠CBG＝∠AGO﹣45°，

∵∠AGO﹣∠BCF＝45°，

∴∠BCF＝∠AGO﹣45°，

∴∠CBG＝∠BCF，

∴CF∥OB．

3．解：（1）∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°，

∴∠ACD＝25°+31°＝56°．

（2）∵AD⊥BD，

∴∠D＝90°，

∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD，

∴∠ECD＝∠ACD＝28°，

∴∠AEC＝∠ECD+∠D＝28°+90°＝118°．

4．解：（1）①∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，

∵∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB＝×120°＝60°，

∴∠D＝180°﹣60°＝120°．

②结论：∠D＝90°+∠A．

理由：∵∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB＝×（∠ABC+∠ACB）

＝（180°﹣∠A）

＝90°﹣∠A

∴∠D＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．

（2）不正确．结论：∠D＝90°﹣∠A．

理由：∵∠DBC＝∠PBC，∠DCB＝∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB＝×（∠PBC+∠QCB）

＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）

＝（180°+∠A）

＝90°+∠A，

∴∠D＝180°﹣（90°﹣+∠A）＝90°﹣∠A．

5．解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣x﹣y，AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠BAC＝90°﹣（x+y），

∵∠ADC＝∠B+∠BAD，

∴∠ADC＝x+90°﹣（x+y）＝90°+（x﹣y），

∵AE⊥BC，

∴∠AED＝90°，

∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝（y﹣x），

∵AD∥CF，

∴∠CFE＝∠DAE＝（y﹣x）．

6．证明：∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC，

∵AB＝AD，AC＝AC，

∴△ABC≌△ADC（SAS），

∴BC＝CD；

7．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，

∵∠BAC＝120°，

∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠ADE＝∠ADF＝90°﹣60°＝30°，

∴AE＝AD，AF＝AD，

∴AE+AF＝AD+AD＝AD；

（2）解：线段AE，AF，AD之间的数量关系为：AE+AF＝AD，理由如下：

连接BD，如图所示：

∵∠BAD＝60°，AB＝AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，

∵∠DAC＝60°，

∴∠ABD＝∠DAC，

∵∠EDB+∠EDA＝∠EDA+∠ADF＝60°，

∴∠EDB＝∠ADF，

在△BDE与△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE＝AF，

∵AE+BE＝AD，

∴AE+AF＝AD．

8．证明：∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠ADB＝90°，

在△ACD和△BED中，

，

∴△ACD≌△BED（SAS），

∴∠DAC＝∠CBF；

9．（1）解：如图1，延长AC交BN于点F，

∵AM∥BN，

∴∠DAF＝∠AFB，

在△ADC和△FEC中，，

∴△ADC≌△FEC（AAS），

∴AC＝FC，

∵AC＝BC，

∴BC＝AC＝FC＝AF，

∴△ABF是直角三角形，

∴∠ABE＝90°；

（2）证明：如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，

∵AC＝BC，∠ABC＝60°，

∴△ABC为等边三角形，

∵∠DEB＝60°，

∴△CHE是等边三角形，

∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，

∴∠BHC＝120°，

∵AM∥BN，

∴∠ADC+∠BEC＝180°，

∴∠ADC＝120°，

∴∠DAC+∠DCA＝60°，

又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，

∴∠DCA+∠BCH＝60°，

∴∠DAC＝∠BCH，

在△DAC与△HCB中，，

∴△DAC≌△HCB（AAS），

∴AD＝CH，DC＝BH，

又∵CH＝CE＝HE，

∴BE＝BH+HE＝DC+AD，

即AD+DC＝BE．

10．解：（1）证明：∵△AOP和△PBC是等边三角形

∴OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°

∴∠APO+∠APB＝∠BPC+∠APB

即∠OPB＝∠APC．

在△PBO和△PCA中

∴△PBO≌△PCA（SAS）

∴OB＝AC；

（2）当B点运动时，E的位置不会发生变化．

11．（1）解：设A种消毒液每桶x元，则B种消毒液每桶为（x+30）元，

由题意得：，

解得x＝50，

经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意，

x+30＝50+30＝80．

答：A种消毒液每桶50元，则B种消毒液每桶为80元．

（2）价格调整后：A种消毒液每桶54元，则B种消毒液每桶为72元，

设可购买a桶B种消毒液，则可购买（50﹣a）桶A种消毒液，由题意得：

54（50﹣a）+72a≤3260，

解得a≤31，

∵a是整数，

∴a最大等于31．

答：学校此次最多可购买31桶B种消毒液．

12．解：（1）设每台甲种手写板的价格为x元，则每台乙种手写板的价格为（x+300）元，由题意得：

＝，

解得：x＝1200，

经检验得：x＝1200是原方程的解，

则x+300＝1200+300＝1500．

答：每台甲种手写板的价格为1200元，每台乙种手写板的价格为1500元．

（2）1500×0.75＝1125（元），

1200元＞1125元，

设购买乙种手写板y台，则购买甲种手写板（50﹣y）台，依题意有

50﹣y≥2y，

解得y≤，

∵y是整数，

∴y最大为16，

∴一种最省钱的购买方案为：购买乙种手写板16台，购买甲种手写板34台．

13．解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有

＝，

解得x＝2，

经检验，x＝2是原方程的解，

x+10＝2+10＝12．

故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；

（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有

2y+12（2000﹣y）≤10000，

解得y≥1400．

故至少购进一次性医用外科口罩1400只．

14．解：（1）设规定的工期为x天，则甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需（x+5）天，

依题意，得：+＝1，

解得：x＝20，

经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．

答：规定工期为20天．

（2）方案一所需费用为16×20＝320（万元）；

方案二所需费用为16×4+14×20＝344（万元）．

∵320＜344，

∴选择方案一合算．

15．解：设原计划每天加工x个，

根据题意，得，

解得：x＝400，

经检验，x＝400是原方程的解且符合题意．

答：原计划每天加工400个．