【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题54 圆锥曲线的综合问题（含解析）

考点54 圆锥曲线的综合问题
1．（2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学理）已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点．为坐标原点．若的面积为1，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．4
2．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）过双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若A恰好是F1B的中点，则双曲线的离心率是（　　）
A． B． C．2 D．
3．（山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题理）已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知A、B是抛物线上的两点，直线AB垂直于轴，F为抛物线的焦点，射线BF交抛物线的准线于点C，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
5．（福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学理）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试数学理）如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )

A． B． C． D．
7．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三数学理）已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为，则=（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学理）已知椭圆的短轴长为，离心率为。
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，，点，，为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程.
9．（天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学理）已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设与圆相切的直线交椭圆于,两点(为坐标原点)，的最大值.
10．（2017届山东省淄博市高三3月模拟考试数学理）已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求面积的最大值；
（Ⅲ）若直线的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点的定点.
11．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）已知椭圆的左、右焦点为，，长轴端点为，，为椭圆中心，，斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，这两点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若抛物线上存在两个点，，椭圆上存在两个点，，满足，，三点共线，，，三点共线，且，求四边形面积的最小值.
12．（山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题理）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线斜率为，且与椭圆的另一个交点为，是否存在点，使得若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
13．（湖北省黄冈市2019届高三2月联考数学理）已知椭圆的离心率是，为坐标原点，点分别为椭圆的左、右视点，为椭圆上异于的一点，直线的斜率分别是。

（1）求证：为定值；
（2）设直线交椭圆于两点，，，且的面积是，求椭圆的标准方程。
14．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)数学理）已知平面上一动点P到定点C（1，0）的距离与它到直线的距离之比为.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点O是坐标原点，A，B两点在点P的轨迹上，F是点C关于原点的对称点，若，求的取值范围.
15．（福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试数学理）已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围．
16．（四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知椭圆：的离心率为，直线被圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.
17．（福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检数学理）已知椭圆的左、右焦点分别为（）．点在上，，△的周长为，面积为．
（1）求的方程；
（2）过的直线与交于两点，以为直径的圆与直线相切，求直线的方程．
18．（湖北省2019届高三4月份调研考试数学理）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到左焦点的最小值为.

（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与轴交于点，过点的直线与交于、两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记，，的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得恒成立？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.
19．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）已知圆O；x2+y2=4，F1（-1，0），F2（1，0），点D圆O上一动点，2=，点C在直线EF1上，且=0，记点C的轨迹为曲线W．
（1）求曲线W的方程；
（2）已知N（4，0），过点N作直线l与曲线W交于A，B不同两点，线段AB的中垂线为l'，线段AB的中点为Q点，记P与y轴的交点为M，求|MQ|的取值范围．
20．（安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考数学理）已知抛物线E：，圆C：．
若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；
在的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使为坐标原点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)数学理）已知椭圆上的点到右焦点的最大距离是，且1，，成等比数列.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中垂线交轴于点，求实数的取值范围.
22．（重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学理）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于A,B，过与垂直的直线与椭圆交于，，与交于，求证：直线，，的斜率，，成等差数列．
23．（河北省邯郸市2019届高三第一次模拟考试数学理）已知椭圆的左、右焦点分别为为上的一个动点，且的最大值为，的离心率与椭圆的离心率相等.
求的方程；
直线与交于两点（在轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值.
24．（宁夏银川市2019年高三下学期质量检测）已知点，点，分别为椭圆的左右顶点，直线交于点，是等腰直角三角形，且．
（1）求的方程；
（2）设过点的动直线与相交于，两点，为坐标原点．当为直角时，求直线的斜率．
25．（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测(二)数学理）设定点，动点满足：以为直径的圆与轴相切.
（I）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设，是曲线上两点，若曲线在点，处的切线互相乖直，求证：，，三点共线．















考点54 圆锥曲线的综合问题
1．（2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学理）已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点．为坐标原点．若的面积为1，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线为，抛物线的渐近线为，渐近线与准线的交点为，，所以，，故选B．
2．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）过双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若A恰好是F1B的中点，则双曲线的离心率是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
由题意可知，渐近线方程为y＝±x，
则F1A的方程为y﹣0（x+c），代入渐近线方程yx可得B的坐标为（，），
因为若A恰好是F1B的中点，所以|OB|＝c，
所以（）2+（）2＝c2，
所以b2＝3a2，所以c2＝a2+b2＝4a2，
所以e＝2
故选：C．


3．（山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题理）已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设点，由于点是抛物线上任意一点，则，
点，则，
由于点是圆上任意一点，所以要使的值最小，则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，则 ，
，
，经检验满足条件，
的最小值为，
故答案选A。
4．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知A、B是抛物线上的两点，直线AB垂直于轴，F为抛物线的焦点，射线BF交抛物线的准线于点C，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】
过点A做AH垂直于准线，垂足为H，做CG垂直于AB，垂足为G，根据抛物线的定义AH=AF，，因此DE=AH=CG=AF，
由，，得
又，则，，可得，又因，所以EF=2，因为EF正好是焦点到准线的距离，即.故选C.

5．（福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学理）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设
根据题意得到，设直线方程为
联立直线和抛物线方程得到：


化简得到根据韦达定理，将根的和与乘积代入化简得到.
此时直线为，点P坐标为
根据点到直线的距离公式得到：
故答案为：B.
6．（福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试数学理）如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，
圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），
与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，
∴|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA，
∴三角形ABF的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3，
∵1＜yB＜3，
∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．

故选：B．
7．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三数学理）已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为，则=（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】
如图

由题，设椭圆的长半轴为，双曲线的半实轴为，根据椭圆和双曲线定义：

可得
设
在直角三角形ABC中，由勾股定理可得

即
即2
故选B
8．（四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学理）已知椭圆的短轴长为，离心率为。
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，，点，，为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为，，若，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由题意，得，.
又，∴，，.
∴椭圆C的标准方程为
（2）由（1），可知，，.
据题意，直线的方程为
记直线与椭圆的另一交点为，设，.
∵，根据对称性，得.
联立，
消去，得，其判别式，
∴，.①
由，得，即.②
由①②，解得，
∵，∴.
∴.∴.
∴直线的方程为，即.
9．（天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学理）已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设与圆相切的直线交椭圆于,两点(为坐标原点)，的最大值.
【答案】I. ；Ⅱ.2
【解析】
I.由题设：
两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为，
解得
∴椭圆C的方程为
Ⅱ.设
1.当ABx轴时，
2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为
由已知，得
设三角形OAB的高为h即圆的半径,直线和圆的切点为M点，根据几何关系得到：=，
把代入椭圆方程消去y，
整理得,
有
得
当且仅当，即时等号成立.
当时，
综上所述
10．（2017届山东省淄博市高三3月模拟考试数学理）已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求面积的最大值；
（Ⅲ）若直线的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点的定点.
【答案】（I）；（II）；（III）.
【解析】
解：（Ⅰ）由题意知：且，
可得：，
椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，设，与联立得：
.
由于，得，解得或（舍去）.
此时，的面积为.
当直线的斜率存在时，设，与联立得：
.
由，得；
且，.
由于，
得：.
代入式得：，
即或（此时直线过点，舍去）.
，
点到直线的距离为：.
的面积为，将代入得：
的面积为.
面积的最大值为.
（Ⅲ）设直线的方程为，联立方程得：
①.
设的外接圆方程为：联立直线的方程的：
②.
方程①②为同解方程，所以：.
又由于外接圆过点，则.
从而可得到关于的三元一次方程组：
，解得：.
代入圆的方程为：.
整理得：；
所以，解得或（舍去）.
的外接圆恒过一个异于点的定点.
11．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）已知椭圆的左、右焦点为，，长轴端点为，，为椭圆中心，，斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，这两点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若抛物线上存在两个点，，椭圆上存在两个点，，满足，，三点共线，，，三点共线，且，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】
解：（1）设椭圆方程为，
利用数量积运算可得，可得，
直线的方程为，当时，，
代入椭圆方程可得，
联立解得，，椭圆方程.
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，得到，，；
②当直线的斜率存在时，设直线方程为，
与抛物线联立得。
令，，则，，
，
因为，所以直线的方程为，
将直线与椭圆联立，得，
令，，则，，
所以，
所以四边形面积，
令，
则，
所以，其最小值为.
12．（山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题理）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线斜率为，且与椭圆的另一个交点为，是否存在点，使得若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
解（1）当为的短轴顶点时，的面积有最大值
所以，解得，故椭圆的方程为：.
（2）设直线的方程为，
将代入，得；
设，线段的中点为，
，
即
因为，所以直线为线段的垂直平分线，
所以，则，即，
所以，
当时，因为，所以，
当时，因为，所以.
综上，存在点，使得，且的取值范围为.
13．（湖北省黄冈市2019届高三2月联考数学理）已知椭圆的离心率是，为坐标原点，点分别为椭圆的左、右视点，为椭圆上异于的一点，直线的斜率分别是。

（1）求证：为定值；
（2）设直线交椭圆于两点，，，且的面积是，求椭圆的标准方程。
【答案】(1) .(2) .
【解析】
（1）由题意得，，即，
则椭圆可化为，设，则，
∴；
（2）由题意知，不垂直于轴，设直线的方程为，
联立，得，
，
设，则，
∵，∴，即，
∴，∴，
即得，，
∵，
点到直线的距离，
∴，
解得，则，∴椭圆的标准方程是.
14．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)数学理）已知平面上一动点P到定点C（1，0）的距离与它到直线的距离之比为.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点O是坐标原点，A，B两点在点P的轨迹上，F是点C关于原点的对称点，若，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）设是所求轨迹上的任意一点，
由动点P到定点C（1，0）的距离与它到直线的距离之比为，
则，化简得，即点P的轨迹方程为.
（2）由F是点C关于原点的对称点，所以点F的坐标为（－1，0），
设，，因为，
则，可得，
∵，即 ①
又由，则 ②
①②得：，化简得，
∵，∴，解得，
所以λ的取值范围是.
15．（福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试数学理）已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）当点的坐标为时，，所以．
由对称性，，
所以，得
将点代入椭圆方程 中，解得，
所以椭圆方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由消去整理得：． 显然，
设，则
故

．
因为，所以，
所以点到直线的距离即为点到直线的距离，
所以

，
因为，所以，
所以．综上，．
16．（四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知椭圆：的离心率为，直线被圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
（1）∵椭圆的离心率为，∴,
∵圆的圆心到直线的距离为,
∴直线被圆截得的弦长为
.
解得，故，∴椭圆的方程为.
（2）设，，，
当直线与轴不重合时，设的方程：.
由得，，
∴，，

，
当，即时，的值与无关，此时.
当直线与轴重合且时， .
∴存在点，使得为定值.
17．（福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检数学理）已知椭圆的左、右焦点分别为（）．点在上，，△的周长为，面积为．
（1）求的方程；
（2）过的直线与交于两点，以为直径的圆与直线相切，求直线的方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）设椭圆，
依题意知△的周长为，得，…①
又因为，所以，
所以△的面积，
所以，即…②，
联立①②解得，则，
所以的方程为．
（2）当直线斜率为0时，不满足题意．
设直线的方程为，，
由消去，得，
从而，
所以
，
设以为直径的圆的圆心，半径为，则，
又，,
又因为圆与直线相切，则，即，解得．
所以直线的方程为，即
18．（湖北省2019届高三4月份调研考试数学理）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到左焦点的最小值为.

（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与轴交于点，过点的直线与交于、两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记，，的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得恒成立？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
（1）椭圆上的左顶点到左焦点的距离最小为，
结合题干条件得到，解之得，
由，知故椭圆的方程为：，
（2）设，，，
若直线与轴不重合时，设直线的方程为，点，，
将直线代入椭圆方程整理得：
，显然，则，，



若直线与轴重合时，则，，，此时，
而，故.
综上所述，存在实数符合题意.
19．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）已知圆O；x2+y2=4，F1（-1，0），F2（1，0），点D圆O上一动点，2=，点C在直线EF1上，且=0，记点C的轨迹为曲线W．
（1）求曲线W的方程；
（2）已知N（4，0），过点N作直线l与曲线W交于A，B不同两点，线段AB的中垂线为l'，线段AB的中点为Q点，记P与y轴的交点为M，求|MQ|的取值范围．
【答案】（1）； （2）[0，5）.
【解析】
（1）圆O：x2+y2=4，圆心为（0，0），半径r=4，
F1（-1，0），F2（1，0），点D是圆O上一动点，
由2=，可得D为EF2的中点，
点C在直线EF1上，且=0，可得CD⊥EF2，
连接CF2，可得CE=CF2，
且CF1+CF2=CF1+CE=EF1=2OD=4，
由椭圆的定义可得，C的轨迹为以（-1，0），（1，0）为焦点的椭圆，
可得c=1，a=2，b==，
则曲线W的方程为；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，
设l：y=k（x-4），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），
联立直线与椭圆方程3x2+4y2=12，消去y得：
（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，
x1+x2=，x1x2=，
又△=（-32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，解得-＜k＜，
x0==，y0=k（x0-4）=-，
∴Q（，-），
∴l'：y-y0=-（x-x0），即y+=-（x-），
化简得y=-x+，
令x=0，得m=，即M（0，），
|MQ|=（）2+（）2=256•，
令t=3+4k2，则t∈[3，4），
∴|MQ|=256•=16•=16[-3（）2-+1]=16[-3（）2+]．
∴|MQ|∈[0，5）
．
20．（安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考数学理）已知抛物线E：，圆C：．
若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；
在的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使为坐标原点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在定点
【解析】
由题意可得抛物线的焦点，
当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为，
即，由圆心到直线的距离为，
当直线与圆相切时，，解得，
即直线方程为；
可设直线方程为，，，
联立抛物线方程可得，则，，
x轴上假设存在点使，
即有，可得，
即为，
由，，
可得，
即，即，符合题意；
当直线为，由对称性可得也符合条件．
所以存在定点使得．
21．（河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)数学理）已知椭圆上的点到右焦点的最大距离是，且1，，成等比数列.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中垂线交轴于点，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
（Ⅰ）由已知可得，解得.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由题意得，设直线的方程为.
与椭圆方程联立得，消去可得.
设，，则，.
可得线段的中点为.
当时，直线为轴，此时.
当时，直线的方程为，
化简得.令，得.
所以.
综上所述，的取值范围为.
22．（重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学理）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于A,B，过与垂直的直线与椭圆交于，，与交于，求证：直线，，的斜率，，成等差数列．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【解析】
（1）由题意知，所以，即，
又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆，
与直线相切，所以圆心到直线的距离d，所以，，
故椭圆的方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，则直线的方程为．
由得．
设点，，利用根与系数的关系得，，
由题意知直线的斜率为，则直线的方程为
令，得点的坐标




即，所以成等差数列
23．（河北省邯郸市2019届高三第一次模拟考试数学理）已知椭圆的左、右焦点分别为为上的一个动点，且的最大值为，的离心率与椭圆的离心率相等.
求的方程；
直线与交于两点（在轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值.
【答案】(1) (2)2
【解析】
依题意可知
解得
则，故的方程为.
延长交于点，由可知，
设，设的方程为，
由得，
故
设与的距离为，则四边形的面积为S，



当且仅当，即时，等号成立，
故四边形面积的最大值为.
24．（宁夏银川市2019年高三下学期质量检测）已知点，点，分别为椭圆的左右顶点，直线交于点，是等腰直角三角形，且．
（1）求的方程；
（2）设过点的动直线与相交于，两点，为坐标原点．当为直角时，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意知，a=2，B(2，0)，设Q（x0，y0），由，得，
代入椭圆方程，解得b2=1. ∴椭圆方程为.
（2）由题意可知，直线l的斜率存在，令l的方程为y=kx+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则整理得：(1+4k2)x2+16kx+12=0，
由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，
即(16k)2﹣4×12×(1+4k2)＞0，解得.
由韦达定理可知：.
当∠MON能为直角时，，即，
则x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
,解得k2=4，即.
综上可知，直线l的斜率时，∠MON为直角．
25．（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测(二)数学理）设定点，动点满足：以为直径的圆与轴相切.
（I）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设，是曲线上两点，若曲线在点，处的切线互相乖直，求证：，，三点共线．
【答案】（I）;（Ⅱ）见证明.
【解析】
（I）设，则的中点为，依题意知到点与它到轴相等，
可得，
化简得，即为动点的轨迹的方程.
(II)设，，则由得，
知曲线在点，处的切线的斜率分别是，，
依题意，即，可得，
，，
，知，，三点共线.