【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题50 椭圆（含解析）

考点50 椭圆
1．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为

A． B． C． D．
2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆：，的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
3．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
4．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的右顶点和右焦点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，若三点共线，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．或
5．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是关于直线的对称点，且轴，则椭圆的离心率为_________.
6．（河南省洛阳市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，直线与椭圆另一交点为，且，则椭圆的离心率为______.
7．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．

8．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆与轴正半轴交于点，离心率为．直线经过点和点．且与椭图E交于A、B两点（点A在第二象限）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若，当时，求的取值范围．
9．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系中，设椭圆的左焦点为,短轴的两个端点分别为，且，点在上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线与椭圆和圆分别相切于,两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.
10．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且．

（1）求椭圆的方程．
（2）过椭圆右焦点的直线，交椭圆于两点，交直线于点，判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
11．（天津市河北区2019届高三一模数学理）已知椭圆C：过点，且离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程。
12．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，下顶点为是的中点（为原点），连接并延长交椭圆于点，连接，得．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若是上一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点，求直线的斜率．
13．（2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学理）已知点为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于两不同点，，若，求实数的取值范围.
14．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知的周长为6，，关于原点对称，且.点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若，直线：与交于，两点，若，，成等差数列，求的值.
15．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为，，直线的斜率为，点在椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)作直线l与x轴垂直，交椭圆于两点（两点均不与P点重合)，直线，与x轴分别交于点.求的最小值及取得最小值时点P的坐标.
16．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学（理）已知椭圆：离心率为，直线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆方程；
（2）设直线交椭圆于，两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.
17．（湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试理）已知椭圆：的离心率为，焦距为.
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点.
①证明：直线的斜率依次成等比数列.
②若与关于轴对称，证明：.
18．（安徽省泗县第一中学2019届高三高考最后一模数学理）已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.
19．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，点在第一象限，且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、为椭圆上不重合的两点且异于、，若的平分线总是垂直于轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的的长．
20．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理）已知直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于点，，点为椭圆的左焦点，的周长为..
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点、，，求证：直线与直线的交点在定直线上.
21．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）已知椭圆过点，右焦点是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在求出点的坐标:若不存在，说明理由.
22．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为相圆上一点，与轴交于，，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于、两点若的中点为，为原点，直线交直线于点.求的最大值.
23．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模）已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知圆M：的切线与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，
24．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线上存在点，且过点的椭圆的两条切线相互垂直，求实数的取值范围．
25．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点为椭圆上一动点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求实数的取值范围.















考点50 椭圆
1．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如下图，F为月球的球心，月球半径为：×3476＝1738，

依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，
　　　　｜BF｜＝400＋1738＝2138.
2a＝1838＋2138，
a＝1988，
a＋c＝2138，
c＝2138－1988＝150，
椭圆的离心率为：，
选B.
2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆：，的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

解：的内心为，连接和，
可得为的平分线，即有，
，
可得，
即有，
即有，
故选：B．
3．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：设椭圆的两个焦点为,,圆与椭圆交于,,,四个不同的点,
设,则,．
椭圆定义,得,
所以,
故选：B．
4．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的右顶点和右焦点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，若三点共线，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】
如图

设,
又，
,
三点共线,
,
即,
,
,
,故选A.
5．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是关于直线的对称点，且轴，则椭圆的离心率为_________.
【答案】
【解析】
、分别是椭圆的左、右焦点，点是关于直线的对称点，且轴，可得的方程为，的方程，可得，
的中点为，代入直线，可得：，，
可得，
解得．
故选：

6．（河南省洛阳市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，直线与椭圆另一交点为，且，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
设，，作轴，垂足为，如下图所示：

则：
由得： ，即：
由椭圆的焦半径公式可知：
，整理可得：
，即
本题正确结果：
7．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．

【答案】
【解析】
如图，圆锥面与其内切球，分别相切与B,A，连接则，，过作垂直于，连接， 交于点C
设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为
在中， ，




解得

即
则椭圆的离心率

8．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆与轴正半轴交于点，离心率为．直线经过点和点．且与椭图E交于A、B两点（点A在第二象限）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若，当时，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
解析：（1）．由题意，且，所以，
所以椭圆E的标准方程为．
（2）．因为直线l经过点和点，所以直线l的斜率为，设，将其代入椭圆方程中，
消去得，
当时，设、，
则……①，……②
因为，所以，所以……③
联立①②③，消去、，整理得．
当时，，解
由且，
故，所以．
9．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系中，设椭圆的左焦点为,短轴的两个端点分别为，且，点在上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线与椭圆和圆分别相切于,两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)由，可得，①
由椭圆经过点，得，②
由①②得，
所以椭圆的方程为．
(Ⅱ)由消去整理得（*），
由直线与椭圆相切得，
，
整理得，
故方程（*）化为，即，
解得，
设，则，故，
因此．
又直线与圆相切，可得．
所以，
所以，
将式代入上式可得

，
由得，
所以，当且仅当时等号成立，即时取得最大值．
由，得，
所以直线的方程为．
10．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且．

（1）求椭圆的方程．
（2）过椭圆右焦点的直线，交椭圆于两点，交直线于点，判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
【答案】（1）；（2）是，理由见详解.
【解析】
（1）由，得，即，
所以是等腰三角形，
又，∴点的横坐标为2；
又，
设点的纵坐标为，∴，解得，
应取，
又点在椭圆上，∴，解得，
∴所求椭圆的方程为；
（2）由题意知椭圆的右焦点为，，
由题意可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
代入椭圆并整理，得；
设，，直线的斜率分别为，
则有，，
可知的坐标为；
∴
，
又；
所以，
即直线的斜率成等差数列．
11．（天津市河北区2019届高三一模数学理）已知椭圆C：过点，且离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=0或y=
【解析】
（Ⅰ）由题解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意；
当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,,设P（）,则Q（）,,又PQ的垂直平分线方程为由，解得,,, ∵为等边三角形即解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=
综上可知，直线的方程为y=0或y=．
12．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，下顶点为是的中点（为原点），连接并延长交椭圆于点，连接，得．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若是上一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点，求直线的斜率．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）求出点坐标，根据可得，结合可得结果；（2）方程为，由，结合韦达定理可得 点坐标，利用列方程，进而可得结果.
试题解析：（1），直线方程为，
由得点坐标，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴离心率；
（2）分析题意，易知直线的斜率存在，设方程为，
由得，由以为直径的圆经过右焦点得
，∴，
∵，∴，∴．
13．（2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学理）已知点为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于两不同点，，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（Ⅰ）求椭圆标准方程，只要求出参数，由于有，因此要列出关于的两个方程，而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得，再利用已知直线与椭圆只有一个公共点，即判别式为0可求得椭圆方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得点的坐标，从而可得，要求范围只要求得的范围，为此可直线分类，对斜率不存在时，求得，而当直线斜率存在时，可设出直线方程为，同时设，则，由韦达定理可把表示为的函数，注意直线与椭圆相交，判别式＞0，确定的范围，从而可得的范围，最后可得的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）由题意，得，则椭圆为：，
由，得 ，
直线与椭圆有且仅有一个交点，
，
椭圆的方程为 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直线与轴交于 ,
,
当直线与轴垂直时， ,
由 ,
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， ，
由 ，
依题意得，，且 ，
，
，
，
综上所述，的取值范围是 .

14．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知的周长为6，，关于原点对称，且.点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若，直线：与交于，两点，若，，成等差数列，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.
【解析】
（Ⅰ）依题意，，，故，则，
故点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），
故的方程为.
（Ⅱ）依题意，，故.
联立整理得.
设，，则，.
故

，
则.
15．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为，，直线的斜率为，点在椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)作直线l与x轴垂直，交椭圆于两点（两点均不与P点重合)，直线，与x轴分别交于点.求的最小值及取得最小值时点P的坐标.
【答案】（1）（2）的最小值为，此时点P的坐标为或
【解析】
(1)由直线的斜率为可知直线的倾斜角为.
在中，,于是,
椭圆,将代入得
所以，椭圆E的标准方程
(2)设点.
于是，直线,令,
所以
直线，令，
所以



又.代入上式并化简
即，
当(即)时取得最小值，
（Ⅰ）时，化简得
根据题意：，若亦与题意不符，
所以，此时或
（Ⅱ）时，化简得
将代入并化简得：
根据题意：，若，而
所以 不成立，即不成立
综上，或，点P的坐标为或
16．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学（理）已知椭圆：离心率为，直线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆方程；
（2）设直线交椭圆于，两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意易得椭圆过点，结合，求出即可得结果；（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理根据中点坐标公式化简可得，求出，列出的中垂线方程即可得结果.
【详解】
（1）由直线被椭圆截得的弦长为，得椭圆过点，即，
又，得，
所以，，即椭圆方程为.
（2）由得，
由，
得.
由，
设的中点为，
得，即，
∴.
∴的中垂线方程为.
即，故的中垂线恒过点.
17．（湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试理）已知椭圆：的离心率为，焦距为.
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点.
①证明：直线的斜率依次成等比数列.
②若与关于轴对称，证明：.
【答案】（1）； （2）①见解析；②见解析.
【解析】
（1）由题意可得：，解得：
椭圆的方程为：
（2）证明：①设直线的方程为：，，
由消去得：
则，且，


即直线的斜率依次成等比数列
②由题可知：
由①可知：，，

若，则两点重合，不符合题意；可知无法取得等号

18．（安徽省泗县第一中学2019届高三高考最后一模数学理）已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由已知，又，则.
椭圆方程为，将代入方程得，，
故椭圆的方程为；
（2）不妨设直线的方程，
联立消去得.
设，，则有，①
又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，∴，
由，得，
将，代入上式得
，
将①代入上式求得或（舍），
则直线恒过点.
∴，
设，则在上单调递增，
当时，取得最大值.
19．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，点在第一象限，且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、为椭圆上不重合的两点且异于、，若的平分线总是垂直于轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的的长．
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）∵，∴，
∵．即，
∴是等腰直角三角形，
∵，∴，
而点在椭圆上，∴，，∴，
∴所求椭圆方程为．
（2）对于椭圆上两点，，
∵的平分线总是垂直于轴，
∴与所在直线关于对称，
，则，
∵，∴的直线方程为，①
的直线方程为，②
将①代入，得，③
∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，
∴，
以替换，得到．
∴，
∵，，，弦过椭圆的中心，
∴，，∴，
∴，∴，
∴存在实数，使得，
，
当时，即时取等号，
，
又， ，
∴取得最大值时的的长为．
20．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理）已知直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于点，，点为椭圆的左焦点，的周长为..
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点、，，求证：直线与直线的交点在定直线上.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】
解：（Ⅰ）由已知，得，，，
椭圆的标准方程.
（Ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在.
令，，，，，.
将直线的方程代入椭圆方程得：，
，，
同理，.
由得，此时，，
直线，
，即点的定直线上.
21．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）已知椭圆过点，右焦点是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在求出点的坐标:若不存在，说明理由.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
（1）因为椭圆过点，所以，
又抛物线的焦点为，所以.
所以，解得（舍去）或.
所以椭圆的方程为.
（2）假设在轴上存在定点，使得.
①当直线的斜率不存在时，则，，，，
由，解得或；
②当直线的斜率为0时，则，，，，
由，解得或.
由①②可得，即点的坐标为.
下面证明当时，恒成立.
当直线的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.
当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，，.直线与椭圆联立得，
直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且，.
，
所以
恒成立
综上所述，在轴上存在点，使得恒成立.
22．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为相圆上一点，与轴交于，，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于、两点若的中点为，为原点，直线交直线于点.求的最大值.
【答案】（I）；（II）
【解析】
（I）连接，由题意得，所以为的中位线，
又因为，所以，且
又，，得，，
故所求椭圆方程为.
（II）联立，可得.
设、，则，，
所以为
所以的中点坐标为，
因此直线的方程为，从而点为，，
设，令，则
，
因此当，即时取得最大值.
23．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模）已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知圆M：的切线与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）因为椭圆的离心率，所以，即．
因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，
所以，所以．所以椭圆的方程为．
（2）（i）当直线的斜率不存在时．
因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为．
由，不妨设，，
则以为直径的圆的方程为．
（ii）当直线的斜率为零时．
因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为．
由，不妨设，，
则以为直径的圆的方程为．
显然以上两圆都经过点．
（iii）当直线的斜率存在且不为零时．
设直线的方程为．
由消去，得，
所以设，，则，．
所以．
所以．①
因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，
整理，得， ②
将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点，
综上可知，以为直径的圆过定点．
24．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线上存在点，且过点的椭圆的两条切线相互垂直，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）由题意，解得，又，解得
所以椭圆C的标准方程为．
（2）①当过点的椭圆的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于轴，易得
②当过点的椭圆的切线的斜率均存在时，设
切线方程为，
代入椭圆方程得，
，
化简得：，
由此得，
设过点的椭圆的切线的斜率分别为，所以．
因为两条切线相互垂直，所以，即，
由①②知在圆上，又点在直线上，
所以直线与圆有公共点，
所以，所以．
综上所述，的取值范围为．
25．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点为椭圆上一动点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）将代入中，由可得，
所以弦长为，
故有，解得，所以椭圆的方程为：.
（Ⅱ）设点，又，则直线的方程分别为； .
由题意可知.
由于点为椭圆上除长轴外的任一点，所以，
所以，
因为，，
所以，即
因此， .