【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题59 几何概型（含解析）

考点59  几何概型1．(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为(　　)A．16.32 B．15.32C．8.68 D．7.682．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评数学理）在区间上随机取两个数,则事件“”发生的概率为（  ）A． B． C． D．3．(2018辽宁五校联考)若实数k∈[－3,3]，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于(　　)A. B．C． D．4．（湖南省2019届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（    ）A． B． C． D．5．(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S－ABC内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　)A. B．C． D．6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）设函数，在区间上随机取一个数，则的概率为（    ）A． B． C． D．7．(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为(　　)A. B．C． D．8．（2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试数学理）如图，扇形AOB的圆心角为，点P在弦AB上，且，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为A． B． C． D．9．(2018湖南十校联考)如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是(　　)A.　 B．C． D．10．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图，在正方形内任取一点，则点恰好取自阴影部分内的概率为（    ）A． B．C． D．11.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(　　),A. B．C． D．,12．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（   ）A．0.18 B．0.32 C．0.36 D．0.6413．(2018济南模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，则以x，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为(　　),A.1－ B．1－  C.1－ D．14．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（    ）A． B． C． D．15.(2018重庆检测)在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________．16．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）A． B． C． D．17．(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．18．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月数学理）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为(  )A． B．C． D．19．(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________． 20．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为(　　)A． B． C． D．21．(2018河南检测)若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴，y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．22．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）如图，矩形满足，为的中点，其中曲线为过三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（  ）A． B． C． D．23．(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．24．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的，能与构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数，估计的值.那么可以估计的值约为（   ）A． B． C． D．                    考点59  几何概型1．(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为(　　)A．16.32 B．15.32C．8.68 D．7.68【答案】A【解析】设椭圆的面积为S，则＝，故S＝16.32.2．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评数学理）在区间上随机取两个数,则事件“”发生的概率为（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】在区间上随机取两个数点构成的区域为边长为1的正方形及其内部，事件“”构成的区域为圆及其内部，所以概率3．(2018辽宁五校联考)若实数k∈[－3,3]，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于(　　)A. B．C． D．【答案】D【解析】由点A在圆外可得k＜0，由题中方程表示圆可得k＞－1或k＜－4，所以－1＜k＜0，故所求概率为.故选D.4．（湖南省2019届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，可设 扇形区域的面积分别为 ，则由几何概型得，消费 元以上者抽中一等奖的概率 ，故选C.5．(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S－ABC内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　)A. B．C． D．【答案】A【解析】如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点，则满足条件的点P应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF＝S△ABC，∴VS－DEF＝VS－ABC.∴P＝＝.故选A.6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）设函数，在区间上随机取一个数，则的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由,得,即,根据几何概型的概率公式可得从区间内随机选取一个实数,的概率为,故选D.7．(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为(　　)A. B．C． D．【答案】B【解析】如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选B.8．（2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试数学理）如图，扇形AOB的圆心角为，点P在弦AB上，且，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，由余弦定理可求得，有，所以扇形的面积为，扇形的面积为，从而所求概率为.故选A.9．(2018湖南十校联考)如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是(　　)A.　 B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知，阴影部分的面积S阴影＝0x2dx＝x3＝，又正方形的面积S＝1，故质点落在图中阴影区域的概率P＝＝.故选C.10．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图，在正方形内任取一点，则点恰好取自阴影部分内的概率为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S阴（1）dx＝（x），设“点M恰好取自阴影部分内”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A），故选：B．11.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(　　),A. B．C． D．,【答案】D【解析】因为log0.5(4x－3)≥0，所以0＜4x－3≤1，即＜x≤1，所以所求概率P＝＝.故选D.,12．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（   ）A．0.18 B．0.32 C．0.36 D．0.64【答案】C【解析】设305路车和202路车的进站时间分别为、，设所有基本事件为 ,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件，则,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则，则.选.13．(2018济南模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，则以x，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为(　　),A.1－ B．1－  C.1－ D．【答案】A【解析】连接AC，首先由x＋y＞1得构成三角形的点P在△ABC内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cos α＝＞0，x2＋y2＞1，即点P在以原点为圆心，1为半径的圆外．∴点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内．∴所求概率为＝1－.故选A.14．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，的长等于其外接球的直径，因为，∴，∴，又平面，所以，∴.15.(2018重庆检测)在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________．【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S△ABC＝×3×＝，S△AOD＝×1×1＝，所以点P恰好落在第二象限的概率为＝＝.16．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为,则，圆的面积为，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是，则,故本题选D.17．(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．【答案】【解析】由题意知，所求的概率为1－÷(π×12×3)＝.18．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月数学理）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为(  )A． B．C． D．【答案】B【解析】如图：设，以为圆心的扇形面积是，的面积是，所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是，故选B.19．(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________．【答案】【解析】设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x，y，则由题意可知0≤x≤5,0≤y≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x－y|≤3，做出图形如图所示，根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P＝1－＝.20．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为(　　)A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，阴影部分的面积为，又矩形的面积为，所以在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为.故选B21．(2018河南检测)若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴，y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．【答案】【解析】对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.由题意可得··＜，因为m∈(0,3)，所以解得0＜m＜2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是.22．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）如图，矩形满足，为的中点，其中曲线为过三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】以所在的直线为x轴，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，则，,过三点抛物线方程为,阴影部分面积为,又矩形得面积为,故点落在阴影部分的概率为.故选：A23．(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．【答案】【解析】设AD＝x，AB＝y，则由三角形相似可得＝，解得y＝a－x，所以矩形的面积S＝xy＝x(a－x)≤2＝，当且仅当x＝a－x，即x＝时，S取得最大值，所以该点取自矩形内的最大概率为＝.24．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的，能与构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数，估计的值.那么可以估计的值约为（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，实数对，即面积为1且卡片上的，能与构成锐角三角形，即满足，且 ，所以面积为 所以，能与构成锐角三角形的概率为： 由题，n张卡片上交m张，即 故选C