【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题61 n次独立重复试验与二项分布（含解析）

考点61 n次独立重复试验与二项分布
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．5
C．6 D．7
2．设X～B(4，p)，其中0＜p＜，且P(X＝2)＝，那么P(X＝1)＝(　　)
A. B．
C． D．
3．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为(　　)
A. B．
C. D．
4．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为(　　)
A. B．
C． D．
5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)＝(　　)
A．C102 B．C92
C．C22 D．C102
6．设随机变量X服从二项分布X～B，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是(　　)
A. B．
C． D．
7．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是(　　)
A. B．
C. D．
8．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是(　　)
A. B．
C． D．
9．某种电路开关闭合后会随机出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率为，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为，则开关在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次闭合后出现红灯闪烁的概率为(　　)
A. B．
C. D．
10．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为(　　)
A. B．
C. D．
11．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为(　　)
A. B．
C. D．
12．假设一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否出现故障是相互独立的．已知4引擎飞机中至少3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．若要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
13．若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为________．
14．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每个人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)＝________.
15．已知一书包中有两本语文资料和一本数学资料，除内容不同外其他均相同，现在有放回地抽取资料，每次抽取一本，记下科目后放回书包中，连续抽取三次，X表示三次中语文资料被抽中的次数，若每本资料被抽取的概率相同，每次抽取相互独立，则方差D(X)＝________.
16．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
17．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．
18．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．

19．空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．
一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图．

(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；
(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．
20．已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为.某小组为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，进行了药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关．
(1)若出现A症状，则立即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；
(2)若在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则在这个用药周期结束后终止试验．若试验至多持续两个周期，设药物试验持续的用药周期为η，求η的分布列．
21．现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．
(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；
(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．
22．某次飞镖比赛中，规定每人至多发射三镖．在M处每射中一镖得3分，在N处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M处的命中率q1＝0.25，在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处发射一镖，以后都在N处发射，用X表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为
X
0
2
3
4
5
P
0.03
P1
P2
P3
P4
(1)求随机变量X的分布列；
(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．
















考点61 n次独立重复试验与二项分布
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．5
C．6 D．7
【答案】A
【解析】P＝1－n≥，解得n≥4.
2．设X～B(4，p)，其中0＜p＜，且P(X＝2)＝，那么P(X＝1)＝(　　)
A. B．
C． D．
【答案】D
【解析】P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝2·2，解得p＝或p＝(舍去)，故P(X＝1)＝Cp·(1－p)3＝.
3．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为(　　)
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于的概率为P＝1－＝，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于的概率为3＝.故选C.
4．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为(　　)
A. B．
C． D．
【答案】B
【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝，P()＝，P()＝.由题意知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P()＝P()P()P()＝××＝，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－＝.
5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)＝(　　)
A．C102 B．C92
C．C22 D．C102
【答案】D
【解析】由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为，所以P(X＝12)＝C9×2×.
6．设随机变量X服从二项分布X～B，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是(　　)
A. B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，
∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.
∵X服从X～B，∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝.
7．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是(　　)
A. B．
C. D．
【答案】B
【解析】解法一：由题意知，每次试验成功的概率为，失败的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C××＝＝，P(X＝2)＝2＝，E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
解法二：由题意知，一次试验成功的概率p＝，故X～B，所以E(X)＝2×＝.
8．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是(　　)
A. B．
C． D．
【答案】C
【解析】一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－×＝1－＝，设X为3次试验中成功的次数，所以X～B，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C×0×3＝.故选C.
9．某种电路开关闭合后会随机出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率为，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为，则开关在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次闭合后出现红灯闪烁的概率为(　　)
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯闪烁”为事件A，“开关第二次闭合后出现红灯闪烁”为事件B，则“开关两次闭合后都出现红灯闪烁”为事件AB，“开关在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次闭合后出现红灯闪烁”为事件B|A，由题意得P(A)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝，故选C.
10．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为(　　)
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】因为该射手每次射击击中目标的概率是，所以每次射击不中的概率为，设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)＝P(A1A2A34 5)＋P(1 A2A3A4 5)＋P(1 2A3A4A5)＝3×2＋×3×＋2×3＝.
11．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为(　　)
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××2＝.故选C.
12．假设一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否出现故障是相互独立的．已知4引擎飞机中至少3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．若要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
【答案】B
【解析】一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，正常运行的概率是p，且各引擎是否出现故障是相互独立的，由题意，4引擎飞机可以成功飞行的概率是Cp3(1－p)＋p4,2引擎飞机可以成功飞行的概率是p2，则Cp3(1－p)＋p4＞p2，化简得3p2－4p＋1＜0，解得＜p＜1.故选B.
13．若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为________．
【答案】1或2
【解析】由题意得P(ξ＝k)＝Ck·5－k，k＝0,1,2,3,4,5，则P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝；P(ξ＝3)＝；P(ξ＝4)＝；P(ξ＝5)＝.故当k＝1或2时，P(ξ＝k)最大．
14．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每个人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)＝________.
【答案】
【解析】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙两人从另外两个景点中选择，所以甲独自去一个景点的可能情况共有3×2×2＝12(种)．因为三个人去的景点不同的可能情况共有3×2×1＝6(种)，所以P(A|B)＝＝.
15．已知一书包中有两本语文资料和一本数学资料，除内容不同外其他均相同，现在有放回地抽取资料，每次抽取一本，记下科目后放回书包中，连续抽取三次，X表示三次中语文资料被抽中的次数，若每本资料被抽取的概率相同，每次抽取相互独立，则方差D(X)＝________.
【答案】
【解析】每次抽取时，取到语文资料的概率为，取到数学资料的概率为，所以取出语文资料的次数X服从二项分布，即X～B，所以D(X)＝3××＝.
16．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
【答案】1.96
【解析】X～B(100,0.02)，所以D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.
17．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．
【答案】
【解析】移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动2次，向上移动3次，故其概率为C3·2＝C5＝.
18．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．

【答案】
【解析】记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋
中”为事件B，则事件A的对立事件为事件B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝3＋3＝，从而P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
19．空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．
一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图．

(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；
(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．
【答案】(1) 18 (2)
ξ
0
1
2
3
P





【解析】(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，所以该样本中空气质量为优良的频率为＝，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×＝18.
(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B.
所以P(ξ＝0)＝3＝，
P(ξ＝1)＝C2＝，
P(ξ＝2)＝C2＝，
P(ξ＝3)＝3＝.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P





20．已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为.某小组为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，进行了药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关．
(1)若出现A症状，则立即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；
(2)若在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则在这个用药周期结束后终止试验．若试验至多持续两个周期，设药物试验持续的用药周期为η，求η的分布列．
【答案】(1) (2)
η
1
2
P



【解析】(1)解法一：记试验持续i天为事件Ai，i＝1,2,3,4，试验至多持续一个周期为事件B，
易知P(A1)＝，P(A2)＝×，P(A3)＝2×，P(A4)＝3×，
则P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝.
解法二：记试验至多持续一个周期为事件B，则为试验持续超过一个周期，
易知P()＝4＝，
所以P(B)＝1－4＝.
(2)随机变量η的所有可能取值为1,2，
P(η＝1)＝C3·＋4＝，
P(η＝2)＝1－＝，
所以η的分布列为：
η
1
2
P


21．现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．
(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；
(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．
【答案】(1) (2) (3)
ξ
0
2
4
P




【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为，去参加乙项目联欢的概率为.设“这4个人中恰好有i人去参加甲项目联欢”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci·4－i.
(1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P(A2)＝C2×2＝.
(2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3×＋C4＝.
所以，这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
P(ξ＝0)＝P(A2)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，
P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
2
4
P




22．某次飞镖比赛中，规定每人至多发射三镖．在M处每射中一镖得3分，在N处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M处的命中率q1＝0.25，在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处发射一镖，以后都在N处发射，用X表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为
X
0
2
3
4
5
P
0.03
P1
P2
P3
P4
(1)求随机变量X的分布列；
(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．
【答案】(1)
X
0
2
3
4
5
P
0.03
0.24
0.01
0.48
0.24
(2) 0.896.
【解析】(1)设该选手在M处射中为事件A，在N处射中为事件B，则事件A，B相互独立，且P(A)＝0.25，P()＝0.75，P(B)＝q2，P()＝1－q2.
根据分布列知：当X＝0时，
P( )＝P()P()P()＝0.75(1－q2)2＝0.03，
所以1－q2＝0.2，q2＝0.8.
当X＝2时，P1＝P( B ＋ B)＝P()P(B)·P()＋P()P()P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝0.24，
当X＝3时，
P2＝P(A )＝P(A)P()P()＝0.25(1－q2)2＝0.01，
当X＝4时，
P3＝(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.75q＝0.48，
当X＝5时，P4＝P(A B＋AB)＝P(A B)＋P(AB)＝P(A)P()P(B)＋P(A)P(B)＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24.
所以随机变量X的分布列为：
X
0
2
3
4
5
P
0.03
0.24
0.01
0.48
0.24
(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72.
该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率为
P(BB＋BB＋BB)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB)＝2(1－q2)q＋q＝0.896.
所以该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大．