高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量优秀达标测试

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量优秀达标测试，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．


A．4B．5C．6D．7


【答案】A


【解析】设圆心，则，


化简得，


所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，





所以，所以，


当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.


2．（2020·湖北襄阳高二期末）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）


A．对任意的，


B．当时，；当时，


C．对任意的，


D．当时，；当时，


【答案】D


【解析】依题意，，，


因为，由于，，，


所以当时，，，，，所以；


当时，，，而，所以，所以．


所以当时，；当时，．


3.（2020·四川南充高二联考）已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）


A．B．C．D．


【答案】B


【解析】据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.


4.（2019·北京高考）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：





①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；


②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；


③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.


其中，所有正确结论的序号是


A．①B．②C．①②D．①②③


【答案】C


【解析】由得,,,


所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.


如图所示,易知,


四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误. 故选C.





5. （多选题）（2020·全国高二单元测）已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）


A．若，则点的横坐标为4


B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为


C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为


D．周长的最小值为


【答案】ACD


【解析】因为双曲线的方程为，所以，，则，








因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，


选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；


选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；


选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；


选项D：因为的周长为，所以选项D正确.故选：ACD


6．（多选题）（2020·江苏南京高二期末）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）


A．点P的轨迹曲线是一条线段


B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点


C．不是“最远距离直线”


D．是“最远距离直线”


【答案】BCD


【解析】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，


其方程是，故A错误点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，


即两者是没有交会的轨迹，故B正确要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交





点，把代入抛物线，消去y并整理得


因为，无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确；


把代入抛物线，消去y并整理得，因为，有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．故选：BCD．


二、填空题


7．（2020·四川南充高二期末）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 ．


【答案】5


【解析】易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.


法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.


8．（2020·福建莆田一中高二月考）椭圆的左、右焦点分别为焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足则该椭圆的离心率等于 .


【答案】


【解析】注意到直线过点即为左焦点，又斜率为，所以倾斜角为，即.又故，那么.，，.


9.（2020·大连24中高二月考）设抛物线的焦点为 ，点在 上，，若以 为直径的圆过点（0,2），则的方程为 .


【答案】或





【解析】∵抛物线 方程为,∴焦点，


设,由抛物线性质,可得，


因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，


由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，


即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.


所以抛物线C的方程为或.





10．（2020·山西师大附中高二月考）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为 .


【答案】


【解析】设，由题意，显然时不符合题意，故，则


，可得：


，当且仅当时取等号，


三、解答题


11. （2020·辽宁盘锦高二联考）在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．


（Ⅰ）写出C的方程；


（Ⅱ）若，求k的值；


（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．


【解析】（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，


故曲线C的方程为． 3分


（Ⅱ）设，其坐标满足


，消去y并整理得，


故．


若，即．而，


于是，


化简得，所以．


（Ⅲ）


．


因为A在第一象限，故．由知，从而．又，


故，即在题设条件下，恒有．


12.（2020·全国高考）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．


（1）求E的方程；


（2）证明：直线CD过定点.


【解析】（1）依据题意作出如下图象：





由椭圆方程可得：， ，


，


，


椭圆方程为：


（2）证明：设，


则直线的方程为：，即：


联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：


，解得：或


将代入直线可得：


所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为


当时，











直线的方程为：，


整理可得：


整理得：


所以直线过定点．


当时，直线：，直线过点．


故直线CD过定点．