高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程精品综合训练题

2. 5.1 椭圆的标准方程  -B提高练

一、选择题

1．（2020四川阆中中学）曲线方程的化简结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】曲线方程，所以其几何意义是动点到点和点的距离之和等于，符合椭圆的定义. 点和点是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程，其中，所以，，所以，所以曲线方程的化简结果为.故选D项.

2.如果方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是(　　)

A.(3,4) B.       C. D.

【答案】D

【解析】因为方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以4-m>0,m-3>0且m-3>4-m,

解得<m<4.

3．（2020全国高二课时练习）“”是“方程表示椭圆”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若方程表示椭圆，则有因此且，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B

4. （2020全国高二课时练）设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|-a=-|PF2|(a>0),则点P的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.线段         C.不存在 D.椭圆或线段

【答案】D

【解析】由题意得,|PF1|-a=-|PF2|(a>0),所以|PF1|+|PF2|=a+≥2=6,当且仅当a=时取等号,此时a=3,则|PF1|+|PF2|≥6,因为定点F1(0,-3),F2(0,3),所以|F1F2|=6,当|PF1|+|PF2|=6时,点P的轨迹是线段F1F2;当|PF1|+|PF2|>6时,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.

5．（多选题）已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（    ）

A．的周长为12 B．

C．点P到x轴的距离为 D．

【答案】BCD

【解析】由椭圆方程知，所以，所以，于是的周长为，故A选项错误；在中，由余弦定理可得

，

所以，解得，故，故B选项正确；设点到轴的距离为，则，所以，故C选项正确；，故D选项正确．故选：BCD.

6．（多选题）设P是椭圆C:+y2=1上任意一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,则(　　)

A.|PF1|+|PF2|=2      B.-2<|PF1|-|PF2|<2    C.1≤|PF1|·|PF2|≤2      D.0≤≤1

【答案】ACD

【解析】椭圆C:+y2=1,可得a=,b=c=1,P是椭圆C:+y2=1上任意一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,所以|PF1|+|PF2|=2,A正确;-2≤|PF1|-|PF2|≤2,所以B错误;

设P点坐标为(cos θ,sin θ),

则|PF1|·|PF2|=

=2-cos2θ∈[1,2],所以C正确;

因为=(cos θ+1,sin θ)·(cos θ-1,sin θ)=2cos2θ-1+sin2θ=cos2θ∈[0,1],所以D正确.

二、填空题

7．（2020怀仁市高二月考）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则__．

【答案】

【解析】由椭圆方程得：，，．三角形顶点和，顶点在椭圆上，，由正弦定理可知

8.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为　　　　　,此时|AF2|=　　　　　. 

【答案】

【解析】如图,由=1,知a2=9,b2=7,c2=2.所以a=3,b=,c=.所以|F1F2|=2.

设|AF1|=x,则|AF2|=6-x.因为∠AF1F2=45°,所以(6-x)2=x2+8-4x·.所以x=.

所以×2.|AF2|=6-.

9.（2020全国高二课时练）如图把椭圆的长轴AB分成8等分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=　　. 

【答案】35

【解析】由已知得，如图，是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知，，，又，∴．故答案为35．

10．（2020安徽蚌埠高二月考）已知椭圆：（）的右焦点为，，为椭圆的左右顶点，且，则椭圆的方程为______.

【答案】

【解析】因为，，所以，而，解得，

又，故椭圆的方程为．

三、解答题

11.（2020全国高二课时练）如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．

【解析】如图，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，

则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.

又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a＝5，

故，c＝1，.

故点M的轨迹方程为.

12．如图,椭圆C:=1(a>b>0)经过点M,且点M到椭圆的两焦点的距离之和为2.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若R,S是椭圆C上的两个点,线段RS的中垂线l的斜率为且直线l与RS交于点P,O为坐标原点,求证:P,O,M三点共线.

【解析】(1)∵点M到椭圆的两焦点的距离之和为2,

∴2a=2,解得a=.又椭圆C经过点M,

∴=1,解得b2=1.

∴椭圆C的标准方程为+y2=1.

(2)证明∵线段RS的中垂线l的斜率为,

∴直线RS的斜率为-2,

∴可设直线RS的方程为y=-2x+m.

联立得9x2-8mx+2m2-2=0.

设点R(x1,y1),S(x2,y2),P(x0,y0),

∴x1+x2=,y1+y2=-2x1+m-2x2+m=-2(x1+x2)+2m=-2·+2m=,

则x0=,y0=.

∵,∴y0=x0,

∴点P在直线y=x上,

又点O(0,0),M也在直线y=x上,

∴P,O,M三点共线.