北师大版数学八年级上期末复习题

2019-2020学年重庆市沙坪坝区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1．9的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．±
2．计算（x3）2的结果是（　　）
A．x5 B．x6 C．x8 D．x9
3．在实数，，，π中，无理数是（　　）
A． B． C． D．π
4．重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植某种草皮，以美化环境．已知长方形空地的面积为（3ab+2b）平方米，宽为b米，则这块空地的长为（　　）
A．（3a+2）米 B．（3ab+b）米
C．（3ab+3b）米 D．（3ab2+2b2）米
5．实数在数轴上位于两个连续整数之间，这两个连续整数为（　　）
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
6．三角形边长分别为下列各数，其中能围成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
7．下列命题中，真命题是（　　）
A．对顶角不一定相等
B．等腰三角形的三个角都相等
C．两直线平行，同旁内角相等
D．等腰三角形是轴对称图形
8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
9．如图是我市某景点6月份内1～10日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温26℃出现的频率是（　　）

A．3 B．0.5 C．0.4 D．0.3
10．甲乙两地铁路线第约500千米，后来高铁提速，平均速度是原来火车速度的1.8倍，这样由甲到乙的行驶时间缩短了1.5小时；设原来火车的平均速度为x千米/时，根据题意，可得方程（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，△ABC的周长为26cm，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线DE与AB边交于点F，与AC边交于点G，连接BG，△GBC的周长为14cm，则BF的长为（　　）

A．6cm B．7cm C．8cm D．12cm
12．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
13．实数﹣的相反数是　 　．
14．有一种球状细菌，直径约为0.0000015cm，那么0.0000015用科学记数法表示为　 　．
15．如图，△ABC≌△DEF，∠B＝120°，∠F＝20°，则∠D＝　 　°．

16．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝5，则△ABD的面积为　 　．

17．若x+y＝5，且（x+3）（y+3）＝26，则x2+3xy+y2＝　 　．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC∥BD，BC＝BD，在AB上截取BE，使BE＝BD，过点B作AB的垂线，交CD于点F，连接DE，交BC于点H，交BF于点G，BC＝7，BG＝4，则AB＝　 　．

三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．计算：
（1）（﹣1）0+3﹣2+
（2）×﹣÷
20．如图，点F、C在BD上，AB∥DE，∠A＝∠E，BF＝DC．
求证：△ABC≌△EDF．

四、解答题：（本大题5个小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．计算：
（1）（a﹣2）2﹣2a3+a
（2）（x+2y）（x﹣3y）+（x+y）（x﹣y）
22．我市教育行政部门为了解初二学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初二学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）请你根据图中的信息，回答下列问题：
（1）该校初二学生总人数为　 　，扇形统计图中的a的值为　 　，扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对圆心角度数为　 　；
（2）请把条形统计图补充完整．

23．先化简：（+x﹣1）÷，然后在﹣3，﹣1，1，3中选择一个合适的数，作为x的值代入求值．
24．如图，小区有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC．为响应沙区创文，美化小区的号召，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点A作了垂直于BC的小路AE．经测量，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．
（1）求这块空地ABCD的面积；
（2）求小路AE的长．（答案可含根号）

25．对任意一个三位数P，将它任意两个数位上的数字对调后得到一个首位不为0的新的三位数q（q可以与P相同），记q＝，在所有可能的情况中，当|a﹣2b+c|最小时，我们称此时的q是p“幸福快乐数”，并规定：K（p）＝a2﹣2b2+c2．例如：318按上述方法可得新数有381、813、138，因为|3﹣2×8+1|＝12，|8﹣2×1+3|＝9，|1﹣2×3+8|＝3，而3＜9＜12，所以138是318的“幸福快乐数”，
此时K（318）＝12﹣2×32+82＝47．
（1）计算：K（168），K（243）：
（2）若m＝100x+10y+8（1≤x≤y≤9，x、y都是正整数），交换其十位与百位上的数字得到新数n，若m+n是13的倍数时，求K（n）的最大值．
五、解答题：（本大题1个小题，共12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
26．如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，点E在AC边上．
（1）如图1，连接BE，若AE＝2，，求FC的长度；
（2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转α0（0＜α＜1800），旋转过程中，直线EF分别与直线AC、BC交于点M、N，当△CMN是等腰三角形时，直接写出α的值；
（3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B、E、F在同一条直线上，点P为BF的中点，连接AE．猜想AE、CF和BP之间的数量关系并证明．



参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．9的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．±
【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的平方根．
解：±，
故选：A．
2．计算（x3）2的结果是（　　）
A．x5 B．x6 C．x8 D．x9
【分析】根据幂的乘方的法则进行计算．
解：根据幂的乘方法则，得：（x3）2＝x3×2＝x6．
故选：B．
3．在实数，，，π中，无理数是（　　）
A． B． C． D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：在实数，，，π中，无理数是π．
故选：D．
4．重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植某种草皮，以美化环境．已知长方形空地的面积为（3ab+2b）平方米，宽为b米，则这块空地的长为（　　）
A．（3a+2）米 B．（3ab+b）米
C．（3ab+3b）米 D．（3ab2+2b2）米
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
解：由题意可得，这块空地的长为：
（3ab+2b）÷b
＝3a+2．
故选：A．
5．实数在数轴上位于两个连续整数之间，这两个连续整数为（　　）
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
【分析】根据最接近整数，进而得出其范围．
解：∵＜＜，
∴的值在两个连续整数之间，这两个连续整数是：4和5．
故选：B．
6．三角形边长分别为下列各数，其中能围成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
解：A、22+32≠42，
即以2、3、4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、32+42＝52，
即以3、4、5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、42+52≠62，
即以4、5、6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、52+62≠72，
即以5、6、7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．下列命题中，真命题是（　　）
A．对顶角不一定相等
B．等腰三角形的三个角都相等
C．两直线平行，同旁内角相等
D．等腰三角形是轴对称图形
【分析】根据对顶角相等、等腰三角形的性质、平行线的性质判断即可．
解：A、对顶角相等，本选项说法是假命题；
B、等腰三角形的两个底角相等，本选项说法是假命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法是假命题；
D、等腰三角形是轴对称图形，本选项说法是真命题；
故选：D．
8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
9．如图是我市某景点6月份内1～10日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温26℃出现的频率是（　　）

A．3 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【分析】用气温26℃出现的天数除以总天数10即可得．
解：由折线统计图知，气温26℃出现的天数为3天，
∴气温26℃出现的频率是3÷10＝0.3，
故选：D．
10．甲乙两地铁路线第约500千米，后来高铁提速，平均速度是原来火车速度的1.8倍，这样由甲到乙的行驶时间缩短了1.5小时；设原来火车的平均速度为x千米/时，根据题意，可得方程（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，根据题意可得：由北海到南宁的行驶时间动车比原来的火车少用1.5小时，列方程即可．
解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，
由题意得，﹣1.5＝．
故选：C．
11．如图，△ABC的周长为26cm，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线DE与AB边交于点F，与AC边交于点G，连接BG，△GBC的周长为14cm，则BF的长为（　　）

A．6cm B．7cm C．8cm D．12cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求解．
解：由画图可知：
DE是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，AG＝BG，
∵△GBC的周长为14cm，
即BC+BG+CG＝14cm，
∴BC+AC＝14cm，
∵△ABC的周长为26cm，
即AB+BC+AC＝26cm，
∴AB＝12cm，
∴BF＝6cm．
故选：A．
12．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【分析】根据二次根式有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程的解为x＝，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
13．实数﹣的相反数是　　．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解：﹣的相反数是．
故答案为：．
14．有一种球状细菌，直径约为0.0000015cm，那么0.0000015用科学记数法表示为　1.5×10﹣6　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.0000015用科学记数法表示为1.5×10﹣6．
故答案为：1.5×10﹣6．
15．如图，△ABC≌△DEF，∠B＝120°，∠F＝20°，则∠D＝　40　°．

【分析】根据全等三角形的性质求出∠E，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝40°，
故答案为：40．
16．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝5，则△ABD的面积为　10　．

【分析】过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E，利用角平分线的性质得出DE＝DC，进而利用三角形的面积公式解答即可．
解：过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E，
∵∠ABD＝∠DBC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝5，
∴△ABD的面积＝，
故答案为：10．
17．若x+y＝5，且（x+3）（y+3）＝26，则x2+3xy+y2＝　27　．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x+y＝5代入，根据完全平方公式可得x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy，即可求出答案．
解：∵x+y＝5，（x+3）（y+3）＝xy+3（x+y）+9＝26，
∴xy+3×5+9＝26，
∴xy＝2，
∴x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝25+2＝27．
故答案为：27．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC∥BD，BC＝BD，在AB上截取BE，使BE＝BD，过点B作AB的垂线，交CD于点F，连接DE，交BC于点H，交BF于点G，BC＝7，BG＝4，则AB＝　　．

【分析】根据∠BEH＝∠BDG，又∠DBC＝∠ABF＝90°，可得：∠EBH＝∠DBG，再根据AAS即可证明△EBH≌△DBG，根据全等三角形的性质BH＝BG＝4，∠EBH＝∠BDG，然后再证明△ABC≌△HDB得到得到AC＝BH，在直角△ABD中，利用勾股定理即可求解．
解：∵∠ACB＝90°，AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝90°，
∵BF⊥AB，∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠ABF＝90°，
∴∠DBC﹣∠CBF＝∠ABF﹣∠CBF
∴∠EBH＝∠DBG，
∵BE＝BD，
∴∠BEH＝∠BDG，
∴△EBH≌△DBG（ASA），
∴BH＝BG＝4，∠EBH＝∠BDG，
∵∠ACB＝∠DBC＝90°，BD＝BC，
∴△ABC≌△HDB（AAS），
∴AC＝BH＝4，
∴AB＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．计算：
（1）（﹣1）0+3﹣2+
（2）×﹣÷
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：（1）原式＝1+﹣2
＝﹣；

（2）原式＝3﹣
＝2．
20．如图，点F、C在BD上，AB∥DE，∠A＝∠E，BF＝DC．
求证：△ABC≌△EDF．

【分析】求出BC＝DF，根据平行线的性质得出∠B＝∠D，根据全等三角形的判定定理AAS推出即可．
【解答】证明：∵BF＝DC，
∴BF﹣FC＝DC﹣FC，
即BC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
在△ABC和△EDF中

∴△ABC≌△EDF（AAS）．
四、解答题：（本大题5个小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．计算：
（1）（a﹣2）2﹣2a3+a
（2）（x+2y）（x﹣3y）+（x+y）（x﹣y）
【分析】（1）首先利用完全平方公式进行计算，再合并同类项即可；
（2）首先计算多项式乘法，再合并同类项即可．
解：（1）原式＝a2﹣4a+4﹣2a3+a，
＝﹣2a3+a2﹣3a+4；

（2）原式＝x2﹣3xy+2xy﹣6y2+x2﹣y2，
＝2x2﹣xy﹣7y2．
22．我市教育行政部门为了解初二学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初二学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）请你根据图中的信息，回答下列问题：
（1）该校初二学生总人数为　200　，扇形统计图中的a的值为　20　，扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对圆心角度数为　108°　；
（2）请把条形统计图补充完整．

【分析】（1）从两个统计图可得，“4天”的有60人，占调查人数的30%，可求出调查人数；计算出“6天”的40人所占200人的百分比即可求出a的值，样本中“4天”占30%，因此圆心角占360°的30%，可求出度数；
（2）求出“3天”“5天”的人数，即可补全条形统计图．
解：（1）60÷30%＝200人，40÷200＝20%，360°×30%＝108°，
故答案为：200，20，108°；
（2）200×15%＝30人，200×25%＝50人，补全条形统计图如图所示：

23．先化简：（+x﹣1）÷，然后在﹣3，﹣1，1，3中选择一个合适的数，作为x的值代入求值．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，再将x的值代入计算即可求出值．
解：原式＝÷＝•＝，
由题意得：x≠﹣3，x≠﹣1，x≠3，
当x＝1时，原式＝＝﹣2．
24．如图，小区有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC．为响应沙区创文，美化小区的号召，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点A作了垂直于BC的小路AE．经测量，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．
（1）求这块空地ABCD的面积；
（2）求小路AE的长．（答案可含根号）

【分析】（1）作辅助线，构建高线DG，利用勾股定理计算DG的长和AC的长，根据面积和可得结论；
（2）利用三角形的面积公式求解即可．
解：（1）过D作DG⊥AC于G，

∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝9，AB＝4，
∴AC＝＝＝，
设CG＝x，则AG＝﹣x，
由勾股定理得：DG2＝AD2﹣AG2＝CD2﹣CG2，
∴＝42﹣x2，
x＝，
∴CG＝＝，
∴DG＝＝＝，
∴这块空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝＝+＝2+14
答：这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；
（2）S△ABC＝，
4×＝9×AE，
∴AE＝m．
25．对任意一个三位数P，将它任意两个数位上的数字对调后得到一个首位不为0的新的三位数q（q可以与P相同），记q＝，在所有可能的情况中，当|a﹣2b+c|最小时，我们称此时的q是p“幸福快乐数”，并规定：K（p）＝a2﹣2b2+c2．例如：318按上述方法可得新数有381、813、138，因为|3﹣2×8+1|＝12，|8﹣2×1+3|＝9，|1﹣2×3+8|＝3，而3＜9＜12，所以138是318的“幸福快乐数”，
此时K（318）＝12﹣2×32+82＝47．
（1）计算：K（168），K（243）：
（2）若m＝100x+10y+8（1≤x≤y≤9，x、y都是正整数），交换其十位与百位上的数字得到新数n，若m+n是13的倍数时，求K（n）的最大值．
【分析】（1）根据题意，写任意两个数位上的数字对调后得到的所有新数，然后计算每个数中|a﹣2b+c|的值，确定最小为“幸福快乐数”，再由K（p）＝a2﹣2b2+c2公式进行计算便可；
（2）根据题意找出s、s′，根据“1≤x≤y≤9”即可得出x、y的可能值，进而可找出s的“幸福快乐数”和K（s）的值，取其最大值即可．
解：（1）168任意两个数位上的数字对调后得到的新三位数是618，186，861
，，
∵3＜6＜12
∴168的“幸福快乐数”为861
∴K（168）＝82﹣2×62+12＝﹣7
243任意两个数位上的数字对调后得到的新三位数为423，234，342．
，，．
∵0＜3＝3
∴243的“幸福快乐数”为234．
∴K（243）＝2；

（2）∵m＝100x+10y+8（1≤x≤y≤9，x、y都是正整数），交换其十位与百位上的数字得到新数n
∴n＝100y+10x+8，m+n＝100x+10y+8+100y+10x+8＝100（x+y）+10（x+y+1）+6＝110（x+y）+16＝105（x+y）+13+5（x+y）+3
∵m+n是13的倍数，又105（x+y）+13是13的倍数，
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果是13的倍数，则原数能被13整除．
∴＝整数；符合条件的整数只有7
∴x+y＝6
∵1≤x≤y≤9，x、y都是正整数，∴n有可能是：608、518、428、338、248、158
∵|6﹣2×0+8|＝14，|5﹣2×1+8|＝11，|4﹣2×2+8|＝3，
五、解答题：（本大题1个小题，共12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
26．如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，点E在AC边上．
（1）如图1，连接BE，若AE＝2，，求FC的长度；
（2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转α0（0＜α＜1800），旋转过程中，直线EF分别与直线AC、BC交于点M、N，当△CMN是等腰三角形时，直接写出α的值；
（3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B、E、F在同一条直线上，点P为BF的中点，连接AE．猜想AE、CF和BP之间的数量关系并证明．

【分析】（1）利用勾股定理求出AB＝AC＝5，求出EC＝EF＝3即可解决问题．
（2）分三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可．
（3）结论：CF+AE＝BP．如图3中，在BE上取一点D，使得AD＝AE．利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质求解即可．
解：（1）如图1中，

在Rt△ABE中，AB＝＝＝5，
∴AC＝AB＝5，
∴EF＝EC＝AC﹣AE＝3，
∵∠CEF＝90°，EC＝EF＝3，
∴CF＝＝＝3．

（2）①如图2﹣1中，当CM＝CN时，α＝∠MCE＝∠ECN＝∠ACB＝22.5°．

如图2﹣2中，当NM＝NC时，α＝∠MCN＝45°．

如图2﹣3中，当CN＝CM时，∠NCE＝∠BCM＝67.5°，α＝∠ACE＝45°+67.5°＝112.5°．

综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．

（3）结论：CF+AE＝BP．
理由：如图3中，在BE上取一点D，使得AD＝AE．

∵∠BAC＝∠BEC＝90°，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠AEB＝∠ACB＝45°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE．
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC＝EF，
∵BP＝BF＝（2EF+DE），CF＝EF，DE＝AE，
∴BP＝（CF+AE），
∴CF+AE＝BP．