2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案）第02章 阅读与欣赏(一)　应用基本不等式的八种变形技巧

　　　　　　　　　　　应用基本不等式的八种变形技巧

基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：

技巧一　加上一个数或减去一个数使和或积为定值

函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是(　　)

A．－4  B．1

C．5  D．－1

【解析】　因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2＋3＝－1.当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值是－1.

【答案】　D

技巧二　平方后再使用基本不等式

一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．

若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．

[思路点拨]　由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值．

【解】　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为.

技巧三　展开后求最值

对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．

已知a>0，b>0且a＋b＝2，求的最小值．

[思路点拨]　由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．

【解】　由题得＝＋＋＋1＝＋＋1＝＋1，

因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≥2，所以ab≤1，所以≥1.所以≥4(当且仅当a＝b＝1时取等号)，所以的最小值是4.

技巧四　变形后使用基本不等式

设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)

A．a＋b有最小值2(＋1) 

B．a＋b有最大值(＋1)2

C．ab有最大值＋1 

D．ab有最小值2(＋1)

【解析】　因为ab－(a＋b)＝1，ab≤()2，

所以－(a＋b)≥1，它是关于a＋b的一元二次不等式，

解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(舍去)，

所以a＋b有最小值2(＋1)．

又因为ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2，

所以ab－2≥1，它是关于的一元二次不等式，

解得≥＋1或≤1－(舍去)，

所以ab≥3＋2，即ab有最小值3＋2.

【答案】　A

技巧五　形如型函数变形后使用基本不等式

若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．

求函数y＝(x≠－1)的值域．

[思路点拨]　将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为f(x)＝Ax＋＋C的形式，然后运用基本不等式求解．

【解】　因为y＝＝

＝＝x＋1＋＋5，

当x＋1>0时，即x>－1时，y≥2＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)；

当x＋1<0，即x<－1时，y≤5－2＝1(当且仅当x＝－3时取等号)．

所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．

技巧六　用“1”的代换法求最值

已知＋＝1，且x>0，y>0，求x＋y的最小值．

【解】　法一：因为x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.

当且仅当＝，且＋＝1，即x＝＋1，y＝2＋时，上式等号成立．故x＋y的最小值是3＋2.

法二：因为＋＝1，所以x＝.

因为x>0，y>0，所以y－2>0.

所以x＋y＝＋y＝＝＝

y－2＋＋3≥3＋2.

求以形如或可化为＋＝1型为条件的cx＋dy(a，b，c，d都不为0)的最值可利用“1”的代换求乘法．本题中的条件＋＝1也可化为2x＋y－xy＝0.

若a，b为常数，且0<x<1，求f(x)＝＋的最小值．

[思路点拨]　根据待求式的特征及0<x<1知x>0，1－x>0.又1＝x＋(1－x)，因此可考虑利用“1”的代换法．

【解】　因为0<x<1，所以1－x>0.

所以＋＝·1＋·1＝·[x＋(1－x)]＋·[x＋(1－x)]

＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.

上式当且仅当＝时，等号成立．

所以＋≥(a＋b)2.

故函数f(x)的最小值为(a＋b)2.

若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)·(b＋2)的最小值是__________．

[思路点拨]　由于所给条件式中含两个变量a，b，因此可以用一个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值．

【解析】　因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝＝4＋.

又因为a>1，所以b>0.所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋＋9＝6(a－1)＋＋15.

因为a－1>0，

所以6(a－1)＋＋15≥2＋15＝27.

当且仅当6(a－1)＝(a>1)，

即a＝2时取等号．

【答案】　27

已知条件含形如ax＋bxy＋cy＋d＝0(abc≠0)型的关系式，求关于x、y一次式的和或积的最值问题．常将关系式中ax＋bxy＋cy＋d＝0变形，用一个变量x(或y)表示另一个变量y(或x)后求解．

技巧七　代换减元求最值

设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为__________．

【解析】　x2－3xy＋4y2－z＝0⇒z＝x2－3xy＋4y2，①

所以＝＝＋－3≥2－3＝1.

等号成立条件为x＝2y，

代入到①可得z＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2，

所以x＝2y，z＝2y2，

所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2

＝－2(y2－2y)＝－2(y－1)2＋2≤2.

【答案】　2

在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解．

技巧八　建立求解目标不等式求最值

已知x，y均为正实数，且xy＝x＋y＋3，则xy的最小值为__________．

【解析】　因为x，y均为正实数，

所以x＋y≥2，xy＝x＋y＋3可化为xy≥2＋3，

即(－3)(＋1)≥0，

所以≥3，xy≥9，

当且仅当x＝y时，xy取得最小值9.

【答案】　9

利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．