2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第02章 第3讲 基本不等式

[基础题组练]

1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，则的最小值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选A．因为正实数x，y满足x＋y＝2，

所以xy≤＝＝1，所以≥1.

2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)

A．[0，2]  B．[－2，0]

C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]

解析：选D．因为1＝2x＋2y≥2＝2，(当且仅当2x＝2y＝，即x＝y＝－1时等号成立)所以≤，所以2x＋y≤，得x＋y≤－2.

3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A．  B．2

C．2  D．4

解析：选C．因为＋＝，所以a＞0，b＞0，

由＝＋≥2＝2，

所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，

所以ab的最小值为2.

4．(多选)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)

A．a＋b≥2   B．＋>

C．＋≥2  D．a2＋b2≥2ab

解析：选CD．因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号．所以选项C正确，又a，b∈R，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab一定成立．

5．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)

A．2  B．2

C．4  D．2

解析：选C．因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以lg(2x·8y)＝lg 2，所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.

因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋3y)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号，所以＋的最小值为4.故选C．

6．设P(x，y)是函数y＝(x>0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．

解析：因为x>0，所以y>0，且xy＝2.由基本不等式得x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y时等号成立．所以x＋y的最小值为2.

答案：2

7．函数y＝(x>－1)的最小值为________．

解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，

所以y≥2－2＝0，

当且仅当x＝0时，等号成立．

答案：0

8．(2020·湖南岳阳期末改编)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．

解析：因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为＋＝·＝(5＋＋)≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为.

答案：2　

9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；

(2)设0<x<2，求函数y＝的最大值．

解：(1)y＝(2x－3)＋＋

＝－＋.

当x<时，有3－2x>0，

所以＋≥2＝4，

当且仅当＝，

即x＝－时取等号．

于是y≤－4＋＝－，

故函数的最大值为－.

(2)因为0<x<2，所以2－x>0，

所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，

即x＝1时取等号，

所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.

10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

解：(1)由2x＋8y－xy＝0，

得＋＝1，

又x>0，y>0，

则1＝＋≥2 ＝.

得xy≥64，

当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64.

(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

则x＋y＝·(x＋y)

＝10＋＋≥10＋2 ＝18.

当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，

所以x＋y的最小值为18.

[综合题组练]

1．设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　)

A．16  B．9

C．4  D．2

解析：选C．在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥2 ＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号)．

由题意知2＋1≥5，所以a≥4.

2．(2020·福建龙岩一模)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)

A．3  B．5

C．7  D．9

解析：选C．因为x>0，y>0.且＋＝，所以x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2(1＋1＋＋)≥2(2＋2)＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C．

3．已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为________；②若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：因为x＋y＝1，所以xy≤＝，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，所以x2＋y2的最小值为.

若a≤＋恒成立，则a小于等于的最小值，因为＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，所以＋的最小值为9，所以a≤9，故实数a的取值范围是(－∞，9]．

答案：　(－∞，9]

4．(2020·洛阳市统考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．

解析：因为＋＝1，所以2x＋y＝xy，所以xy＋x＋y＝3x＋2y，因为3x＋2y＝(3x＋2y)·(＋)＝7＋＋，且x>0，y>0，所以3x＋2y≥7＋4，所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.

答案：7＋4

5．已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.

(1)求＋的最小值；

(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由．

解：(1)因为＋＝＝≥＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以＋的最小值为2.

(2)不存在．理由如下：

因为x2＋y2≥2xy，

所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．

又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.

从而有(x＋1)(y＋1)≤≤4，

因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5.

6．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2020年的促销费用投入为多少万元时，厂家获取利润最大？

解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，

所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)，

每件产品的销售价格为1.5×(元)，

所以2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m

＝－＋29(m≥0)．

(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，

所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．

故该厂家2020年的促销费用投入为3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．