九年级数学上册课时精讲（全册，含答案，212页）

学期衔接训练

一、选择题

1．计算－9的结果是( B  )

A．－　　B.　　C．－　　D.

2．一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D  )

A．5  B.  C.  D．5或

3．种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数和众数分别是( C  )

A．13.5，20  B．15，5  C．13.5，14  D．13，14

,第5题图) ,第8题图)

4．根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为( A  )

A.1  B．－1  C．3  D．－3

5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是( B  )

A．2  B．3  C．4  D．5

二、填空题

6．若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是__－2或3___．(只需填一个)

7．若一组数据2，－1，0，2，－1，a的众数为2，则这组数据的平均数为_____．

8．如图，已知一条直线经过点A(0，2)，B(1，0)，将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交于点C，D.若DB＝DC，则直线CD的函数解析式为__y＝－2x－2___ .

三、解答题

9．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，且AE＝AB.

(1)求证：∠ABE＝∠EAD；

(2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．

解：(1)证∠ABE＝∠AEB＝∠EAD　(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBE，∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，∴∠ABE＝2∠ADB，∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，∴AB＝AD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形

10．某市出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下面的问题：

(1)出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；

(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．

解：(1)由图象得：出租车的起步价是8元；设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由函数图象，得

解得

故y与x的函数关系式为y＝2x＋2

(2)当y＝32时，32＝2x＋2，x＝15，则这位乘客乘车的里程是15 km

第二十一章　　　　　　

第二十一章　一元二次方程

21．1　一元二次方程

1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为__2___的整式方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式为__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___．

3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的__解___，也叫做一元二次方程的__根___．

知识点1：一元二次方程的概念

1．下列方程是一元二次方程的是( D  )

A．ax2＋bx＋c＝0　　　　B．3x2－2x＝3(x2－2)

C．x3－2x－4＝0  D．(x－1)2－1＝0

2．关于x的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a2－9＝0，其中a的取值范围为( C  )

A．a＞3　　　　　　　　B．a≥3

C．a≠3  D．a＜3

3．已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当m__≠±2___时，它是一元二次方程；当m__＝－2___时，它是一元一次方程．

知识点2：一元二次方程的一般形式

4．方程3x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( B  )

A．3，5，－1  B．3，－5，1

C．3，－5，－1  D．3，5，1

5．将一元二次方程2y2－1＝y化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

解：一般形式为2y2－y－1＝0，其中二次项系数是2，一次项系数是－，常数项是－1

知识点3：一元二次方程的解(根)

6．下列关于x的方程中，一定有实数根－1的是( C  )

A．x2－x＋2＝0  B．x2＋x－2＝0

C．x2－x－2＝0  D．x2＋1＝0

7．(2014·长沙)已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝__2___．

知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系

8．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( B  )

A．x(5＋x)＝6  B．x(5－x)＝6

C．x(10－x)＝6  D．x(10－2x)＝6

9．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．

(1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；

解：6x2＝54，一般形式为6x2－54＝0

(2)x个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队数x.

解：x(x－1)＝30，一般形式为x2－x－30＝0

10．下列是方程3x2＋5x－2＝0的解的是( C  )

A．x＝－1  B．x＝1

C．x＝－2  D．x＝2

11．已知实数a，b满足a2－3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，则关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的说法中正确的是( D  )

A．x＝a，x＝b都不是该方程的解

B．x＝a是该方程的解，x＝b不是该方程的解

C．x＝b是该方程的解，x＝a不是该方程的解

D．x＝a，x＝b都是该方程的解

12．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2015－a－b的值是( A  )

A．2020  B．2010

C．2016  D．2014

13．若方程(m－2)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是__m≥0且m≠2___．

14．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长x厘米，则另一边长__(17－x)___厘米，列方程得__x2＋(17－x)2＝132___．

15．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等．设小矩形的长为x，则可列出的方程为__x(2x－8)＝24___．

16．分别根据下列条件，写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般形式．

(1)a＝5，b＝－4，c＝－1；

(2)二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为2.

解：(1)5x2－4x－1＝0

(2)3x2－7x＋2＝0

17．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．

(1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有756条消息；

(2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．

解：(1)x(x－1)＝756，x2－x－756＝0

(2)设这两个连续奇数分别为n，n＋2，则n2＋(n＋2)2＝130，2n2＋4n－126＝0

18．关于x的方程(a－3)x|a|－1＋x－5＝0是一元二次方程，求a的值．

解：由定义可得解得a＝－3

19．已知k是方程x2－101x＋1＝0的一个不为0的根，不解方程，你能求出k2－100k＋的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由．(用方程根的定义解答)

解：∵k2－101k＋1＝0，∴k2－100k＝k－1，k2＋1＝101k，原式＝k－1＋＝－1＝－1＝100

21．2　解一元二次方程

21．2.1　配方法

第1课时　直接开平方法

1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝__±___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．

3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝__±___或mx＋n＝__±___．

知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法

1．方程x2－16＝0的根为( C  )

A．x＝4　　　　　　　　B．x＝16

C．x＝±4  D．x＝±8

2．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D  )

A．m＞0  B．m≥0

C．m＜0  D．m≤0

3．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C  )

A．0个  B．1个

C．2个  D．3个

4．若4x2－8＝0成立，则x的值是__±___．

5．解下列方程：

(1)3x2＝27；

解：x1＝3，x2＝－3

(2)2x2＋4＝12；

解：x1＝2，x2＝－2

(3)5x2＋8＝3.

解：没有实数根

知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法

6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D  )

A．x－6＝－4  B．x－6＝4

C．x＋6＝4  D．x＋6＝－4

7．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D  )

A．k＜1  B．k＜－1

C．k≥1  D．k＞1

8．一元二次方程(x－3)2＝8的解为__x＝3±2___．

9．解下列方程：

(1)(x－3)2－9＝0；

解：x1＝6，x2＝0

(2)2(x－2)2－6＝0；

解：x1＝2＋，x2＝2－

(3)x2－2x＋1＝2.

解：x1＝1＋，x2＝1－

10．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝__1___．

11．若的值为0，则x＝__2___．

12．由x2＝y2得x＝±y，利用它解方程(3x－4)2＝(4x－3)2，其根为__x＝±1___．

13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋2)*5＝0的根为__x1＝3，x2＝－7___．

14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C  )

A．x2－3＝0  B．(x－1)2－4＝0

C．x2＋2x＝0  D．(x－1)2＝(2x＋1)2

15．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A  )

A．x1小于－1，x2大于3

B．x1小于－2，x2大于3

C．x1，x2在－1和3之间

D．x1，x2都小于3

16．若(x2＋y2－3)2＝16，则x2＋y2的值为( A  )

A．7  B．7或－1

C．－1  D．19

17．解下列方程：

(1)3(2x＋1)2－27＝0；

解：x1＝1，x2＝－2

(2)(x－)(x＋)＝10；

解：x1＝2，x2＝－2

(3)x2－4x＋4＝(3－2x)2；

解：x1＝1，x2＝

(4)4(2x－1)2＝9(2x＋1)2.

解：x1＝－，x2＝－

18．若2(x2＋3)的值与3(1－x2)的值互为相反数，求的值．

解：由题意得2(x2＋3)＋3(1－x2)＝0，∴x＝±3.当x＝3时，＝；当x＝－3时，＝0

19．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．

(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；

(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．

解：(1)ab－4x2　(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入，得x2＝3，解得x1＝，x2＝－(舍去)，即正方形的边长为

第2课时　配方法

1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法．

2．配方法的一般步骤：

(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；

(2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；

(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．

知识点1：配方

1．下列二次三项式是完全平方式的是( B  )

A．x2－8x－16　　　　　　　B．x2＋8x＋16

C．x2－4x－16  D．x2＋4x＋16

2．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C  )

A．3  B．－3

C．±3  D．以上都不对

3．用适当的数填空：

x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；

m2__±3___m＋＝(m__±___)2.

知识点2：用配方法解x2＋px＋q＝0型的方程

4．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( D  )

A．(x＋2)2＝1  B．(x－2)2＝1

C．(x＋2)2＝9  D．(x－2)2＝9

5．下列配方有错误的是( D  )

A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4

B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1

C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5

D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝124

6．(2014·宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C  )

A．x1＝x2＝1

B．x1＝1＋，x2＝－1－

C．x1＝1＋，x2＝1－

D．x1＝－1＋，x2＝－1－

7．解下列方程：

(1)x2－4x＋2＝0；

解：x1＝2＋，x2＝2－

(2)x2＋6x－5＝0.

解：x1＝－3＋，x2＝－3－

知识点3：用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的方程

8．解方程3x2－9x＋1＝0，两边都除以3得__x2－3x＋＝0___，配方后得__(x－)2＝___．

9．方程3x2－4x－2＝0配方后正确的是( D  )

A．(3x－2)2＝6  B．3(x－2)2＝7

C．3(x－6)2＝7  D．3(x－)2＝

10．解下列方程：

(1)3x2－5x＝－2；

解：x1＝，x2＝1

(2)2x2＋3x＝－1.

解：x1＝－1，x2＝－

11．对于任意实数x，多项式x2－4x＋5的值一定是( B  )

A．非负数  B．正数

C．负数  D．无法确定

12．方程3x2＋x＝6，左边配方得到的方程是( B  )

A．(x＋)2＝－  B．(x＋)2＝

C．(x＋)2＝  D．(x＋)2＝6

13．已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列的( B  )

A．(x－p)2＝5  B．(x－p)2＝9

C．(x－p＋2)2＝9  D．(x－p＋2)2＝5

14．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x2－18x＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．

15．当x＝__2___时，式子200－(x－2)2有最大值，最大值为__200___；当y＝__－1___时，式子y2＋2y＋5有最__小___值为__4___．

16．用配方法解方程：

(1)x2＝2－x；

解：x1＝，x2＝－2

(2)3y2＋1＝2y.

解：y1＝y2＝

17．把方程x2－3x＋p＝0配方得到(x＋m)2＝，求常数m与p的值．

解：m＝－，p＝

18．试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，无论a为何值，该方程都是一元二次方程．

解：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≠0，∴无论a取何值，该方程都是一元二次方程

19．选取二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2＋(2－4)x，或x2－4x＋2＝(x＋)2－(4＋2)x；③选取一次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－)2－x2.根据上述材料，解决下列问题：

(1)写出x2－8x＋4的两种不同形式的配方；

(2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求xy的值．

解：(1)x2－8x＋4＝x2－8x＋16－16＋4＝(x－4)2－12；x2－8x＋4＝(x－2)2＋4x－8x＝(x－2)2－4x　(2)x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，(x2＋xy＋y2)＋(y2－3y＋3)＝0，(x＋y)2＋(y－2)2＝0，又∵(x＋y)2≥0，(y－2)2≥0，∴x＋y＝0，y－2＝0，∴x＝－1，y＝2，则xy＝(－1)2＝1

21．2.2　公式法

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__b2－4ac≥0___时，x＝，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式___．

2．式子__b2－4ac___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根___．

知识点1：根的判别式

1．下列关于x的方程有实数根的是( C  )

A．x2－x＋1＝0　　　　　　　B．x2＋x＋1＝0

C．(x－1)(x＋2)＝0  D．(x－1)2＋1＝0

2．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B  )

A．b2－4ac＝0  B．b2－4ac＞0

C．b2－4ac＜0  D．b2－4ac≥0

3．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D  )

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

4．利用判别式判断下列方程的根的情况：

(1)9x2－6x＋1＝0；

解：∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根

(2)8x2＋4x＝－3；

解：化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根

(3)2(x2－1)＋5x＝0.

解：化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根

知识点2：用公式法解一元二次方程

5．方程5x＝2x2－3中，a＝__2___，b＝__－5___，c＝__－3___，b2－4ac＝__49___．

6．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__25___，可得x1＝__3___，x2＝__－2___．

7．方程x2－x－1＝0的一个根是( B  )

A．1－  B.

C．－1＋  D.

8．用公式法解下列方程：

(1)x2－3x－2＝0；

解：x1＝，x2＝

(2)8x2－8x＋1＝0；

解：x1＝，x2＝

(3)2x2－2x＝5.

解：x1＝，x2＝

9．(2014·广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B  )

A．m＞  B．m＜

C．m＝  D．m＜－

10．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有实数根，则实数k的取值范围是( C  )

A．k＞－1  B．k＜1且k≠0

C．k≥－1且k≠0  D．k＞－1且k≠0

11．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．

12．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是__a≥－5___．

13．用公式法解下列方程：

(1)x(2x－4)＝5－8x；

解：x1＝，x2＝

(2)(3y－1)(y＋2)＝11y－4.

解：y1＝，y2＝

14．当x满足条件时，求出方程x2－2x－4＝0的根．

解：解不等式组得2<x<4，解方程得x1＝1＋，x2＝1－，∴x＝1＋

15．(2014·梅州)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.

(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

解：(1)a＝，另一个根为x＝－

(2)∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根

16．关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．

(1)求a的最大整数值；

(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．

解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤且a≠6，∴a的最大整数值为7　(2)当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝＝4±，即x1＝4＋，x2＝4－

17．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．

(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形　(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形　(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1

21．2.3　因式分解法

1．当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为__两个一次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．

2．解一元二次方程，首先看能否用__直接开平方法___；再看能否用__因式分解法___；否则就用__公式法___；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__配方法___．

知识点1：用因式分解法解一元二次方程

1．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是( C  )

A．x＝2　　　　　　　　　B．x＝－3

C．x1＝－2，x2＝3  D．x1＝2，x2＝－3

2．一元二次方程x(x－5)＝5－x的根是( D  )

A．－1  B．5

C．1和5  D．－1和5

3．(2014·永州)方程x2－2x＝0的解为__x1＝0，x2＝2___．

4．方程x2－2x＋1＝0的根是__x1＝x2＝1___．

5．用因式分解法解下列方程：

(1)x2－4＝0；

解：x1＝2，x2＝－2

(2)x2－2x＝0；

解：x1＝0，x2＝2

(3)(3－x)2－9＝0；

解：x1＝0，x2＝6

(4)x2－4x＋4＝(3－2x)2.

解：x1＝1，x2＝

知识点2：用适当的方法解一元二次方程

6．解方程(x＋1)2－5(x＋1)＋6＝0时，我们可以将x＋1看成一个整体，设x＋1＝y，则原方程可化为y2－5y＋6＝0，解得y1＝2，y2＝3.当y＝2时，即x＋1＝2，解得x＝1；当y＝3时，即x＋1＝3，解得x＝2，所以原方程的解为x1＝1，x2＝2.利用这种方法求方程(2x－1)2－4(2x－1)＋3＝0的解为( C  )

A．x1＝1，x2＝3  B．x1＝－1，x2＝－3

C．x1＝1，x2＝2  D．x1＝0，x2＝－1

7．用适当的方法解方程：

(1)2(x－1)2＝12.5；

解：用直接开平方法解，x1＝3.5，x2＝－1.5

(2)x2＋2x－168＝0；

解：用配方法解，x1＝12，x2＝－14

(3)x2＝2x；

解：用因式分解法解，x1＝0，x2＝

(4)4x2－3x－2＝0.

解：用公式法解，x1＝，x2＝

8．方程x(x－1)＝－x＋1的解为( D  )

A．x＝1  B．x＝－1

C．x1＝0，x2＝－1  D．x1＝1，x2＝－1

9．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A  )

A．(2x＋2)(3x＋4)＝0化为2x＋2＝0或3x＋4＝0

B．(x－3)(x＋1)＝1化为x－3＝1或x＋1＝1

C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3

D．x(x－2)＝0化为x－2＝0

10．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是( C  )

A．11  B．11或13

C．13  D．以上都不对

11．(2014·陕西)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值是( B  )

A．1或4  B．－1或－4

C．－1或4  D．1或－4

12．已知x＝1是关于x 的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为__0或1___．

13．已知(x2＋2x－3)0＝x2－3x＋3，则x＝__2___．

14．用因式分解法解下列方程：

(1)x2－3x＝x－4；

解：x1＝x2＝2

(2)(x－3)2＝3(x－3)．

解：x1＝3，x2＝6

15．用适当的方法解下列方程：

(1)4(x－1)2＝2；

解：x1＝，x2＝

(2)x2－6x＋4＝0；

解：x1＝3＋，x2＝3－

(3)x2－4＝3x－6；

解：x1＝1，x2＝2

(4)(x＋5)2＋x2＝25.

解：x1＝－5，x2＝0

16．一跳水运动员从10 m高台上跳下，他离水面的高度h(单位：m)与所用时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？

解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到入水所用的时间为2 s

17．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：

材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.

问题：

(1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；

(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．

专题训练(一)　一元二次方程的解法及配方法的应用

一、一元二次方程的解法

1．用直接开平方法解方程：

(1)(4x－1)2＝225；

解：x1＝4，x2＝－

(2)(x－2)2＝8；

解：x1＝2＋2，x2＝2－2

(3)9x2－6x＋1＝9；

解：x1＝，x2＝－

(4)3(2x＋1)2－2＝0.

解：x1＝－＋，x2＝－－

2．用配方法解方程：

(1)2t2－3t＝－1；

解：t1＝，t2＝1

(2)2x2＋5x－1＝0；

解：x1＝，x2＝

(3)(2x－1)(3x－1)＝3－6x；

解：x1＝，x2＝－

(4)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.

解：x1＝4，x2＝2

3．用公式法解方程：

(1)x2＝6x＋1;

解：x1＝3＋，x2＝3－

(2)0.2x2－0.1＝0.4x；

解：x1＝，x2＝

(3)x－2＝2x2.

解：原方程无实数根

4．用因式分解法解方程：

(1)(x－1)2－2(x－1)＝0；

解：x1＝3，x2＝1

(2)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)；

解：x1＝3，x2＝

(3)(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.

解：x1＝x2＝3

5．用适当的方法解方程：

(1)2(x－3)2＝x2－9；

解：x1＝3，x2＝9

(2)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2；

解：x1＝，x2＝

(3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.

解：x1＝1，x2＝－3

二、配方法的应用

(一)最大(小)值

6．利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值．

解：－x2－x－1＝－(x＋)2－，∵－(x＋)2≤0，∴－(x＋)2－＜0，故结论成立．当x＝－时，－x2－x－1有最大值－

7．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.

(1)求m，n的值；

(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？

解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5

(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5

(二)非负数的和为0

8．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．

解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝12

9．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．

解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形

21．2.4　一元二次方程的根与系数的关系

1．若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－p___，x1x2＝__q___．

2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－___，x1x2＝_____．

3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax2＋bx＋c＝0___；(2)二次方程，即__a≠0___；(3)有根，即__b2－4ac≥0___．

知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值

1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，则x1＋x2的值是( C  )

A．0　　　　B．2　　　　C．－2　　　　D．4

2．(2014·昆明)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于( C  )

A．－4  B．－1  C．1  D．4

3．已知方程x2－6x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为( D  )

A．－8  B．－4  C．8  D．4

4．已知x1，x2是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则(x1－2)(x2－2)＝__－6___．

5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：

(1)x2＋3x＋1＝0；

解：x1＋x2＝－3，x1x2＝1

(2)2x2－4x－1＝0；

解：x1＋x2＝2，x1x2＝－

(3)2x2＋3＝5x2＋x.